PROJECTION DE
IlO
3oo
93 . Veut-on , par exemple, réduire à Thorizon une base de 1 57^,75 pour une pente de i i",3o'^ on prendra la moyenne entre 0,9816 et 0,9781 : cette moyenne est 0,97885, et Ton multipliera par ce nombre i57™,75. Voici le type du calcul :
Pour I oo***, — 50"",
Base réduite à Thorizon. i54",4'
Réduction des angles à l* horizon.
94. Supposons qu'un observateur placé au point O {Jig. 26) ait mesuré les angles i, c formés avec la verticale 00' par les rayons visuels OP et OQ dirigés vers deux points fixes P et Q. et qu'il ait mesuré aussi Tangle a
formé par ces rayons visuels*, il s'agit de trouver l'angle P'O'Q', qui est la projection de a sur le plan horizontal.
Si Ton imagine une sphère décrite du point O comme centre, avec l'unité pour rayon , elle sera coupée par les trois faces de l'angle trièdre en O , suivant un triangle sphérique ABC, dont les côtés seront précisément les angles observés a, i, c\ tandis que l'angle P'O'Q', qu'il faut trouver, est égal à l'angle A du triangle sphérique. En désignant donc par ip \e périmètre a-j-i-f-c, l'angle A pourra se calculer par la formule
^^ /sin^sin]^ ' V sin b sin
cosiA=%/ — - . , ". ^
sine
Type du calcul, a = 29* 35', ^ = 79° 25', c =z 84° 3o'.
cosiA==i/^^SçEî).
V sin^smc
/? = 96045', |logsin(83oi5').... 4,9984896
180— /? = 83**i5', 7logsin(67°io'). , . . 4998^^801
p — a = 670 10', comp7logsin(79®25'). . . . 5,0037267
comp-5-logsin{84°3o'). . . . 5,0010020
îog cos| A 9,9854984
Détermination des différences de nii^eau,
95. Soient A et B [fig» aS) Jes deux points dont on veut mesurer la différence de niveau. On opérera comtne il a été dit au n° 91, et l'on obtiendra l'inclinaison y de la ligne AB sur l'horizon : soit C l'intersection de la verticale du point B et du plan horizontal passant par A \ le côté BC du triangle ABC sera la différence de niveau cherchée^ ce tri-
LEVER d'uW pays DE MONTAGNES. 63
angle donne
BC= ABsintï?,
et l'on pourra calculer BC par logarithmes, puisque l'angle 9 a été mesuré.
96. La méthode que nous venons d'indiquer n'est pas généralement emjJoyée ^ aussi croyons-nous devoir présenter quelques détails sur le procédé usuel de nivellement. Les instruments dont on se sert pour cet objet sont un nii^eau et une mire (*).
Du nweau (Teau.
97. Il existe plusieurs sortes de niveaux. Le niveau d^eau, quoique l'un des moins parfaits, est souvent employé de préférence à des instruments plus précis , à cause de sa simplicité et de l'extrême facilité avec laquelle on le manie ; aussi nous bornerons-nous à la description de ce niveau, en renvoyant aux ouvrages spéciaux les lecteurs qui voudraient prendre connaissance des instruments dé précision dont on fait usage dans le nivellement.
98. Le niveau d'eau se compose d'un tuyau A {fig^ 53) , en fer-blanc ou en cuivre, dont les extrémités sont recourbées à angle droit et portent chacune un pas de vis c, sur lequel s'ajuste , à l'aide d'un écrou J, une fiole B. Chaque fiole est formée d'une monture en cuivre b , dans laquelle est fixé , avec du mastic de fontainier , un tube de verre a ^ des rondelles^ en cuir gras servent à rendre parfaitement étanche l'ajustement des fioles et du tuyau A. Un étui g^ en fer-blanc , noirci intérieurement , enveloppe en partie chaque fiole. La partie de la fiole non enveloppée correspond à la face latérale du tuyau A. Le tuyau A est réuni à un
(*) Le procédé de nivellement que nous allons indiquer, n'est point exigé des candidats à l'École Polytechnique .
04 CINQUlkMË LE<;ON.
trépied par un genou à coquilles, semblable à celui décrit au n° l(î.
99. Si l'on verse de Peau dans Tune des fioles , celte eau traverse le tuyau  , et s'établit dans les deux fioles à un même plan de niveau. En dirigeant dans Tun des deux plans à peu près verticaux que l'on peut mener tangentiellement aux deux fioles , un rayon visuel qui af&eure le bord des ménisques produits à la surface de Teau par la capillarité , on aura une horizontale nommée ligne de visée; et si Ton fait tourner le tuyau A autour de l'axe du genou , cette droite restera toujours dans le même plan horizontal. D'après cela , pour avoir la cote d'un point a inférieur à ce plan, il sufËt de placer en ce point une règle verticale , et de diriger la ligne de visée vers cette règle , ce que l'on nomme viser Ui règle. La portion de règle comprise entre le point a et le ^oint où la ligne de visée rencontre cette règle donne la cote cherchée. Au lieu de prendre une règle ordinaire, on se sert de la mire , qui permet d'obtenir les cotes avec beaucoup plus d'exactitude.
Ordinairement, pour une même station du niveau, on détermine les cotes de plusieurs points^ alors on fait tourner le tuyau A autour de l'axe du genou pour viser la mire placée successivement aux divers points dont on veut avoir les cotes. A chaque station, il faut avoir soin de disposer le tuyau dans une position sensiblement horizontale. Le niveleur doit se placer à une distance au moins d'un mètre de l'instrument, afin de bien diriger le rayon visuel sur le bord des ménisques. Avant d'opérer, il est nécessaire de faire sortir les bulles d'air qui restent dans l'eau du tuyau ; il suffit, pour cela , de pencher l'une des extrémités en bouchant la fiole qui y est fixée. 11 faut aussi attendre que la surface de l'eau se soit tranquillisée. Les fioles doivent avoir leurs diamètres assez grands et sensiblement égaux,
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pour que l«s ménisques aient une très-petite épaisseur, et que, par suite, la ligne de visée soit plus précise.
De la mire.
\ 00. La mire se compose d'une règle en bois BB' [fig^ 54 v 55 , 56) , de 2 mètres de hauteur, dont une extrémité porte un sabot en ievf\ une pédale g^ tenant au sabot, permet de maintenir la règle verticalement. La règle BB' porte dans le sens de sa longueur une coulisse dans laquelle pénètre la languette d'une autre règle AA', aussi de 2 mètres. L'ensemble des règles A A' et BB' en forme une seule de section carrée. La partie de BB' engagée dans le sabot y ne porte pas de coulisse et présente une section égale à celle de l'ensemble de A A' et BB'. La languette de A A' est également interrompue à l'extrémité supérieure de cette règle, qui se termine par un sabot carré semblable à celui de la partie inférieure de BB'. Une embrasse en cuivre a a' entourant les deux règles AA' et BB' et fixée à la partie inférieure de la première, est soudée à une bride i'i', dans Pépaisseur de laquelle est taraudé un écrou qui porte une vis de pression c'; la partie postérieure d'd' de cette embrasse est découpée de sorte qu'elle présente une certaine élasticité qui lui permet de céder à l'action de la vis c'. Il en résulte la possibilité de presser l'une contre l'autre les deux règles AA' etBB', et de rendre impossible tout mouvement de glissement longitudinal.
Un voyant C, formé d'un morceau de fer-blanc partagé en quatre rectangles égaux par deux lignes, horizontale et verticale , est fixé à la bride b d'une embrasse aa mobile le long des deux règles. Cette embrasse, découpée à la partie postérieure comme la précédente , porte une vis de pression dont l'écrou est taraudé dans la bride i, qui permet de fixer le voyant à une hauteur quelconque de la double règle. Afin de rendre le centre du voyant plus vi-
sible , deu'x de ses rectangles opposés par un sommet sonc peints en rouge, et les deux autres en blanc.
La règle BB' porte deux divisions en centimètres ; l'une sur la face postérieure et qui commence à la pédale , Tautre sur la face latérale et qui commence au-dessus du sabot f. De plus , les embrasses aa et a'a^ portent deux divisions en millimètres e, e^ La division de la première embrasse est à sa partie postérieure, et son zéro correspond au centre du voyant-, la division de la seconde embrasse est sur sa face latérale , et commence à Fextremité de la règle AA'.
101 . Pour avoir, avec la mire, une cote , que nous supposerons d*abord moindre que 2 mètres , le niveleur se place au niveau \ un aide va poser le pied de la mire au point dont on veut avoir la cote : après avoir fait rentrer complètement la languette de la règle AA' dans la coulisse de BB', il serre la vis c , et, à l'aide de la pédale, maintient la mire verticalement; alors il desserre la vis c qui maintenait le vojf ant , et le monte ou le descend suivant le signe du niveleur, jusqu'à ce que la ligne de visée passe par le centre du voyant, ce qui lui est indiqué par un dernier signe. Il serre lavis c, et le niveleur vient prendre la mire pour y lire sur la division postérieure m la cote qui est la distance du centre du voyant au sol. Les centimètres sont donnés par la division de la règle BB', et les millimètres par la division e de Tembrasse a.
102. Quand la rote à mesurer dépasse 2 mètres , l'aide commence par élever le voyant jusqu'à ce que l'embrasse a vienne buter contre le taquet d'un ressort h placé à la partie supérieure de la règle AA', Farrète dans cette position en serrant la vis c , et place la mire verticalement. Le centre du voyant se trouve alors à 2 mètres au-dessus du sol et fixé seulement sur la règle AA'. L*aidedesserre alors la vis dépression c' et soulève la règle AA', en la faisant glisser le long de la
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règle fixe BB', jusqu'à ce que le nivelenr lui ait ilidiqué que le centre du Voyant est sur sa ligne de visëe; il arrête alors le voyant en serrant la vis <?', etieniveleur vient Kré sur la division latérale n , qui commence à 2 mètres , et sur la division e' de Tembrasse a'a\ les nombres dé ceftti-^ mètres et de millimètres qui donnent la distance du centre du voyant au sol.
Du nwellement.
103. Lorsque les cotes des diilérents points du terrain peuvent être obtenues à une même station du niveau , on dit que le nivellement est simple y et les cotes sont prises par rapport au plan de niveau déterminé par l'instrument.
Un encbainement de nivellements simples rattachés les uns aux autres par les cotes d'un même poiut, prises de deux stations consécutives , constitue un nwellement composé, La cote d'un point prise de la première station porte le nom de cote arrière y et celle du même point prise de la seconde se nomme cote aidant,
104. Dans tout nivellement composé , les cotes observées doivent être rapportées à un même plan de niveau, ce qui est facile, puisque la diflérence des cotes d'un même point prises de deux stations donne la distance' des deux plans de nivellement de ces stations; en sorte que, pour rapporter les points observés de la deuxième station au plan de la première, il suffit d^ajouter cette différence à toutes les cotes observées de la deuxième station. Cette différence peut être positifVe ou négative; par conséquent, les cotes rapportées au premier plan de nivellement peuvent être négatives. Comme ce premier plan est au-dessus des points observés de la première station , les cotes négatives indiqué*^ tout des points situés au-dessus de ce plan.
Si, par exemple, on a un nivellement composé dé trois nivellements simples ; savoir :
Un premier nivellement, qui donne les cotes i^^^3 et 3'°, 755 des points A et B -^ un deuxième , qui donne les cotes o"*,732 et 2", 320 des points B et C ; un troisième , qui donne les cotes 0*^,875 et i'^y982 des points C et D ^ et qu'on veuille rapporter les cotes des points A , B , C , D , au plan du premier nivellement; en opérant comme nous venons de le dire , on aura :
Pour la cote du point A i ,34^
Pour celle du point B * 3,755
Pour celle du point C . . . . 2,820 H- (3,755 — 0,782) = 5,343 Et pour celle du point D. 1,982 -f- (2,820 — 0,875)
Et si Ton veut rapporter ces points à un plan de nivellement situé à 10 mètres au-dessous du point A, il suffira de retrancher les cotes précédentes de 10 4- i,343. On aura ainsi :
Pour la cote du point A 10,000
Pour celle du point B lo+i ,348 — 8,755 = 7 ,588
Pour celle du point C 10 -f- i,343 — 3,755
-f- 0,782 — 2,820= 6,000 Pour celle du point D 10 -+- i ,343 — 3,755
105. Le plan unique auquel on rapporte en définitive les cotes des différents points du terrain est dit plan général, et l'opération par laquelle on détermine ces cotes est un niv^ellement général. Voici, diaprés ce qui précède, la règle à suivre pour exécuter cette opération.
Soient m la cote d'un premier point M rapportée au plan général , n celle d'un second point N , m' la cote arrière du point M , et enfin n* la cote avant du point N \ on aura , pour déterminer ti , la formule
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Pour établir clairement les résultats d'un nivellement composé, il nous parait convenable de disposer les calculs comme l'indique le tableau suivant :
LOflCUICRS
