KH

SH=i36%38

Mesure des distances,

H4. Problème IV. — Trouver la distance d*un point à un point inaccessible.

Soient C le point où l'observateur peut stationner, A le point inaccessible , en sorte que la distance à mesurer est AC (fiS' ^^)' ^^ mesurera, avec la cliaine, une base CD-quelconque , à partir du point C , puis avec le graphomètre les angles ACD et ADC , d'où Ton déduira aussi la valeur de l'angle CAD 5 ensuite on calculera le côté AC par la formule

CDsinADC sinCAD

115. Problème V . — Tromper la dislance de deux points inaccessibles.

Soient A et B [fig' 3o) les deux points inaccessibles dont on veut déterminer la distance.

On mesurera , avec la chaîne , une base CD sur la portion du terrain où Ton peut stationner, puis , avec le grapbomètre , les cinq angles BDC , ADC , ACD , BCD et ACB. Alors , dans les triangles ACD et BCD , où l'on connaît le côté CD et les angles , on pourra calculer les côtés AC et BC. Cela fait, on connaîtra dans le triangle ACB l'angle C

PROBLEMES DE TRIGONOMÉTRIE PRATIQUE. j5

et les deux cètés qui le comprcnneiit ; on pourra donc calculer le côte AB, et la questicm sera résolue.

Voici le moyen le plus simple de diriger le calcul. Nous désignerons , comme à l'ordinaire , par A , B, G les angles du triangle ABC, et par a, i, c les côtés respectivement opposés , et nous ferons de plus CD =^ d. Les triangles BCD et ACD donnent respectivement

$ sin BDC £sinADC

" "^ sin CBD ' "" sin CAD ' d'où

log « = log ^ -h log sin BDC -h compl log sin CBD -— lo , log ô = log ^ H- log sin ADC -+- compl log sin CAD — i o.

Maintenant on a dans le triangle ABC [voir le Traité do Trigonométrie j n° 119, page m)

tang|(A — B) =: ^"~ cot|C.

Soit ç un angle auxiliaire tel que

b = a tangep, d*où tang y = - 5 on aura

tangj (A — B) = '""^"^"^ cot j C ,

^ I -H tang r ' '

ou , à cause de tang 45** = i ,

tangj(A--B) = *^''g^^'';Z„^°g% ot|C = tang(45«>--y)cotjC. ^^^ ' I-^ tang 45" tang (p ' ^^^ ^^ '

L'angle (p se calculera d'abord par la formule

log tang «p = log 6 — log a , ou . . ( ^og **ï^g ? = ïog sii^ ADC 4- log sin CBD

( + compl log sin CAD -+- compl log sin BDC — 20 ,

puis on aura ensuite l'angle j ( A — B) , par la formule (2) log tang |( A — B) = log tang (45** — y ) + log cot j C.

Connaissant A — B et A -4- B, on aura de suite l'angle A ; enfin on aura la distance cherchée à Taide de la formule

asinC sm A d'où l'on déduit

( log ^ = log S H- log sin BDC + compl log sin CBD ( 4- log sin C -+- compl log sin A — 20.

H 6. Remarque I, — L'emploi de Tangle auxiliaire y a pour effet d'éviter le calcul des côtés a et b qu'on n'a pas besoin de connaître.

Remarque II, — Il est nécessaire , comme nous l'avons dit, de mesurer directement l'angle ACB, car cet angle n'est égal à la différence des angles ACD et BCD que dans le cas très-particulier où les quatre points A , B , C , D sont dans un même plan.

H 7. Voici un exemple numérique de ce problème. 'Exemple. — On a trouvé

CD = 6o«, BDC = i2i°35', ADC = 49^20', ACD = 89° 36' 35", BCD = 3i°22'3o" et ACB = 6';»i5'4o".

On déduit de ces mesures,

CBD = 27«2'3o", CAD = 4i«3'25", 180» — BDC = 58° 25', iC = 33«37'5o'' et j(A + B) = 56022' 10".

Calcul de l'angle y [formule i).

log sin (490 20') 9*^799634

logsin (2702'3o"). . . . 9,6576661

compl log sin (4i"3'25"). . . . 0,1825490

compl log sin ( 58° 25') .... 0,06962 1 9

log fang(p . . . . 9,7898004

PROBLÈMES DE TRIGONOMÉTRIE PRATIQUE. 77

Calcul des angles j ( A — B) et k [formule 2. ).

log tang ( 1 3® 2 1 ' 1 5" ) . . . . 9,3754595 logcot(33®37'5o"). . . . 0,1770691

log tang Y (A — B ) . . . . 9,55a5286 |(A— B)=: 19038' a6",5 -i-(A-hB) = 56o?Vio''

Calcul (le la distance cherchée c [formule 3).

log 60 i,778i5i3

logsin (58® 25') 9,9303781

compl log sin ( 27® 2'3o") 0,3423339

logsin(67° i5'4o") 9,9648609

compllogsin(76*' o'36",5) 0,0130767

loge 2,0288009

c = ïo6",856.

H8. Problème VI. — Tromper la distance d'un point donné à la droite qui passe par deux points inaccessibles.

On mesurera, à partir du point donné C, une base CX) (fis- ^^) ' ®^5 comme dans le problème précédent, on mesurera aussi les cinq angles BDG, ADC, ACD, 6GD et AGB. Conservant aussi toutes les notations du n" 53, on calculera, à Faide des formules (i) et (2), les angles A et B du triangle ABC \ ensuite on aura la distance OC du point C à la droite AB, à l'aide de la formule OC = isinA, d'où Ton déduit

logOC=log(î4-logsinADC-hcompllogsinCAD-+-logsinA — 10.

Remarque. — On pourrait calculer de même les segments AO et BO compris entre les points A et B, et le pied de la perpendiculaire OC. En effet, les formules AO = b cos A , BO = a cos B , donnent

log AO = log 5 -t- log sin ADC + compl log sin CAD 4- log cos A— i o , log BO = log 5 H- log sin BDC -+- coinpl logsin CBD 4- logcos B — I o.

yS SIXIÈME LEÇON.

119. Problème VII. — Du sommet d'une tour dont la hauteur est donnée, on propose de déterminer la distance de deux points situés dans le même plan horizontal que la hase de la tour.

Soient SH = h (fig- 3x) la hauteur connue de la tour, et AB la droite située dans Thorizon de sa base, et dont il faut trouver la longueur. L'observateur placé en S mesurera Pangle ASB, ainsi que les angles ASH et BSH : alors les triangles SAH et SBH donneront

âH = A tang SAH , BH = A tangSBH ;

puis, réduisant Tangle ASB à Thorizon , on connaîtra, dans le triangle AHB, l'angle H et les deux côtés qui le comprennent, et, par conséquent y on pourra calculer AB.

Remarque. — Les applications de ce problème sont assez fréquentes. Quand un observateur est en un lieu élevé dont il connaît la hauteur, à Taide du baromètre , par rapport à rhorîzon qui est au-dessous de lui, il pourra, d'après ce qu'on vient de voir, mesurer très-aisément les distances des différents objets situés dans cet horizon.

Problèmes divers.

120. Problème VIII. — Par un point accessible sur un terrain unij tracer une ligne parallèle à une droite inaccessible.

Soient C le point accessible , et AB la droite inaccessible (fig* Sa) -, on opérera, comme il a été dit au n** 115, pour calculer l'angle CAB. Cet angle étant connu , on disposera 1« graphomètre en C, de manière que t'alidade fixe soit dirigée SOT» CA, et l'on fera mouvoir Falîdade mobile jusqu'à ce que l'arc du limbe, compté à partir du diamètre, soit précisément égal au supplément de Fangle CAB^ enfin, on formera ua align^nvent, à t'aide de jalons, dans la direc^ tion de l'aHdade, et l'on» aava la ligPM demandée.

PROBLÈMES ][dE TRIGONOMÉTRIE PRATIQUE. 79

121. Problème IX. — Prolonger une ligne sur le ter* rain au delà d'un obstacle quiemfjéche de voir la direction de cette ligne.

Soit AB {fig* 33) la droite dont il s'agit de tracer le pro^ lougement au delà de Tobstacle O.

On mesurera à la chaîne la longueur AB, et Ton prendra une station E, qu^on puisse apercevoir des points A et B, et de laquelle on puisse voir le terrain sur lequel doit se trouver le prolongement de AB. Des points A et B, on mesurera les angles A et B du triangle ABE', et on calculera le côté AE ', à partir du point E, on tracera un alignement EF dirigé vers la partie du terrain qui est au delà de Tobstacle O. On mesurera T angle AEF , et si C désigne le point de rencontre de l'alignement avec AB prolongée^ on connaîtra dans le triangle ACE le coté AE et les angles^ on pourra donc calculer EC , et l'on aura ensuite , avec la chaîne , le point G sur le terrain \ puis , traçant un alignement CD qui fasse avec EC un angle égal au supplément de ACE , on aura le prolongement cherché.

Remarque. — Si la droite AB était inaccessible , on se servirait d'une base auxiliaire menée par le point E, pour mesurer les éléments du triangle ABE, comme au n° 115.

122. Problème X. — Trouv^er le diamètre d'une tour circulaire inaccessible.

On mesurera à la chaîne une base AB {fig* 34) quelconque , puis on placera le graphomètre de maiiière que le limbe soit horizontal et que son centre se projette en A. On disposera les alidades de telle sorte , que les lignes de visée soient tangentes à la tour, et Ton évaluera Fangle CAD: ensuite on fera mouvoir F alidade mobile jusqu à ce qu'on puisse apercevoir un jalon planté en B, et Ton évaluera Tangle CAB \ en ajoutant à cet angle la moitié de CAD, on aura Fannie OAB formé par la ligne AB avec la distance

8o SIXIÈME LEÇON.

horizontale du point A à l'axe de la tour. Kii transportant rinstrument en B, on pourra de même mesurer Tangle des rayons visuels liorizontaux tangents à la tour, ainsi que FangleEBA, d'où Ton déduira aussi Fangle OBA. Connaissant un côté AB et les angles du triangle OAB, on pourra calculer OA , et alors le triangle rectangle OAD , où l'on connaîtra l'hypoténuse OA et Tangle aigu OAD = ~ DAC , permettra de calculer le rayon cherché OD.

123. Problème XI. — Étant données les latitudes et les longitudes de deux points à la surface de la ten^e , trouver la distance de ces deux points.

Soient C le pôle boréal , C le pôle austral , EOE' Téquateur , et I le point à pariir duquel se comptent les longitudes {fig' 35). Supposons que lE soit le sens des longitudes orientales, et lE' celui des longitudes occidentales. Soient CAMC et CBNC les méridiens qui passent par les deux points donnés A et B , dont on connaît les latitudes AM , BN, et les longitudes IM, IN 5 soit enfin AB Tare de grand cercle qui joint les points donnés A et B. Dans le triangle sphérique ABC , on connaît l'angle C et les deux côtés qui le comprennent. En effet , l'angle C est la différence ou la somme des longitudes données , suivant qu'elles sont toutes deux orientales ou occidentales , ou bien que l'une est orientale et l'autre occidentale. En outre , le côté CA est égal à 90*^ — ou -H la latitude du point A , suivant que cette latitude est boréale ou australe; et de même, le côté CB est égal à go*' — ou -h la latitude du point B.

On calculera la demi-somme des angles A et B de ce triangle par l'une des formules de Néper, savoir

1 /. «v I ^cos-5-(a — b) tang|(A-hB =:cotjC . ' ^

On peut ensuite calculer le côté c à l'aide de Tune des autres formules de Néper; mais il Vaut mieux employer l'une

PROBLÈMES DE TRIGONOMÉTRIE PRATIQUE. 8l

des formules de Delanibre (voirie Traité rie Trigonomctrie)^ savoir

cosj(« -H ^)sin7C

ros 7 c

cos|{A-4-B) '

qui n'exige que la recherche de deux nouveaux logarithmes. Le triangle sphérique CAB étant résolu , on connaîtra le nombre // de degrés de AB. Le quart de la circonférence d'un méridien terrestre étanl égal à looo myriamèlres , on aura , pour la longueur de AB en myriamètres,

AB = -X t oo.

124. Proposons-nous, comme ^ejxemple, de trouver en myriamètres la distance de Brest à Cayenne.

D'après la Connaissance des 7em^.v pour Tannée i845, les cooixionnées géographiques de Brest et de Cayenne sont

j Longilude occidentale ... . 6<*49'35", I Latitude boréale 4^° ^3' 35";

I Longitude occidentale. . . . 54°38'45", ^^ ( Latitude boréale 4*» 56' 28" ;

les longitudes étant comptées à partir du méridien de l'Observatoire national de Paris. Supposons que A représente la position de Brest, et B celle de Cayenne-, on aura

Calcul préliminaire.

|C = 23«54'35", logcotjC = 0,353261 1

logsinj C = 9,6079731 f (fl -h è ) = 63° 19' 58",5 , log cos| {a-hb)= 9,652o584 \{a ^b)= 2i°4V33",5, logcosi(/7 - h) = 9,9679993

CatciU de\ (A 4- B).

logCOtyC 0,353261 1

logcos|(« — ^).. 9,9679993 coinplogcosY(a+ />) 0,34794*6

]ogtang|(A -h B) . 0,6692020

i(A-4-B) = 77%54'37",87 tog cos 1 ( A -h B ; = 9,82 1 0576

Calcul de c.

logsin|C 9»6^7773i

log cos Y («-+-/;). . 9,652o584 complogcosKA 4- 6)0,6789424

logcos7<? 9,9387739

On a donc, pour la distance de Brest à Cayeniie, en niyl'iamètres ,

Questions proposées,

i. Quatre objets inaccessibles A, B, C, D sont en ligne droite , et ne peuvent être vus que du seul point O où l'on se trouve. On demande de calculer la distance BC, connaissant les longueurs AB et CD.

2. Déterminer Tangle sous lequel une droite inaccessible AB est vue d'un point C , également inaccessible.

3. Par yn point O, on demande de tracer un alignement qui passe par le point d'intersection de deux alignements inclinés, mais qu'on ne peut prolonger jusqu'à leur point de rencontre.

g /^ ^$ïi^«»5V%^^'