DE LA

Définition du lever des plans. — Des échelles. — Des instruments employés pour le dessin. — Tracé d'une ligne droite sur le terrain. — Description et usage de la chaîne d'arpenteur. — Lever au mètre. — Description et usage du graphomètre. — Lever au moyen du graphomètre. — Mesure de la distance d'un point à un point inaccessible.

Définition du lei^er des plans.

1 . Le plan d'un terrain dont la surface est sensiblement plane est une figure semblable à celle que forment les dillerents points remarquables de ce terrain. On donne aussi quelquefois à cette figure le nom de carte.

L'ensemble des opérations nécessaires pour la construction des cartes constitue le lei^er des plans,

Des échelles,

2. Si Ton considère une certaine étendue de terrain, et la carte qui la représente, il y aura, entre la distance de

2 PREMIERE LECOIV.

deux points quelconques de la carte et la distance des points homologues du terrain , un rapport constant que Fon appelle échelle de réduction ou simplebdent échelle.

Le choix de l'échelle dans la construction d'un plan n'est pas indifférent. Elle dépend de Tétendue de la surface , de la nature des détails à représenter, et du degré d'approximation dont on a besoin dans Févaluation d'une distance sur le terrain qui correspond à une distance donnée sur la carte ou inversement.

Les seules échelles usitées aujourd'hui sont celles qui ont l'unité pour numérateur, et pour dénominateur un nombre formé de facteurs 2 et 5 ; elles sont appelées échelles décimales. Telles sont ;^Vo ^ rrrô» nru î ^^c.

3. On a aussi donné le nom dH échelles à des figures géométriques par lesquelles on peut évaluer facilement les longueurs des lignes du terrain , à l'aide de leurs homologues .sur la carte , ou réciproquement. Nous dirons Un mot de ces figures.

Considérons , par exemple , un lever à l'échelle de , ^\ ^ , en sorte que i mètre de la carte corresponde à 25oo mètres sur le terrain, et par suite o™,ooo4 à i mètre. Traçons onze lignes parallèles et équidistantes, dont l'écartement soit, du reste, arbitraire (jftg'. i). Portons dix fois o"*,oozf, à partir d'un point A de la première ligne jusqu'en B, puis répétons cette distance AB autant de fois qu'on veut avoir d'hectomètres sur l'échelle. Par les points de division de la première de nos onze lignes , menons-lui des perpendiculaires AA', aa'^ hb'^ etc. 5 enfin joignons A a', ab\ bc\ etc.

Comme A! a' représente 10 mètres, les longueurs pp'^ qq^ ^ . . . , zz' représenteron 1 1 , 2 , . . . , 9 mètres, d'après les propriétés des triangles semblables. *En outre, la portion de chacune des onze parallèles comprises entre deux des lignes successives Aa', ab\ bc\ etc., est constamment égale à 10 mètres. 11 est aisé de voir maintenant comment, ayant

pris avec un compas la distance de deux points de la carte, on peut, à Taide de réchelle, obtenir la distance des points homologues du terrain , puisque sur les onze parallèles se trouvent marquées respectivement les distances de i , 1 1 , 21 mètres, etc. ^ de 2, 12, 22 mètres, etc. ^ etenûnde9, iQj 29 mètres, etc.

Les échelles sont quelquefois disposées d'une manière pins simple que celle qui vient d'être indiquée. Elles se réduisent à une seule ligne droite divisée en parties égales entre elles et à la longueur qui représente , à l'échelle de réduction adoptée, l'unité de longueur, mètre, kilomètre ou myriamètre suivant les cas.

Des instruments employés pour le dessin,

4. Les instruments que l'on emploie pour le dessin des cartes sont la règle, Véquerre , le rapporteur et le compas,

La règle sert à tracer des lignes droites. Pour vérifier si une règle est bien dressée , on marque deux points sur le papier avec un crayon très-fin , on fait passer l'arête de la règle par ces deux points, et on la marque au crayon 5 on recommence ensuite l'opération après avoir retourné la règle. Si les deux traits obtenus coïncident , on est sur de l'exactitude de la règle.

5. Uéquerre se compose de deux règles rectangulaires assemblées entre elles , ou d'une pièce de bois ayant la figure d'un triangle rectangle ; elle sert à mener une parallèle ou une perpendiculaire à une droite donnée. On vérifie, comme pour les règles, que les arêtes de l'équerre sont bien dressées. Quand on veut obtenir un dessin trèsexact , on ne se sert pas de Féquerre pour mener des perpendiculaires aux droites déjà tracées ,^ mais bien du compas, ainsi que cela se trouve expliqué dans tous les Traités

de géométrie.

lé

Pour mener par un point C une parallèle à une droite AB, on fait coïncider Tun des côtés de l'ëquerre avec AB, puis on applique une règle sur l'un des deux autres côtés , et l'on fait glisser Téquerre le long de la règle, jusqu'à ce que le côté qui coïncidait avec AB vienne passer par le point C ; la position occupée alors par ce côté est la parallèle cherchée.

6. Le rapporteur est un demi-cercle en corne transparente , terminé, dans le sens de son diamètre, par une petite bande rectangulaire faisant l'office de règle. Le limbe porte une double graduation , l'une de o à i8o*^, l'autre de i8o*^ à 05 enfin, le milieu de chaque degré est indiqué par un trait. On emploie le rapporteur pour faire en un point et avec une droite un angle donné, lorsque cet angle est donné en degrés. Pour cela, on place le rapporteur de manière que son centre et l'extrémité de l'arc qui comprend le nombre donné de degrés soient sur la droite, et que le bord de la règle passe par le point. Alors le trait tiré contre la règle, dans cette position , donne le second côté de l'angle. Lorsque l'angle qu'il faut construire n'est pas donné en degrés, mais qu'un angle égal se trouve déjà tracé sur la carte ou ailleurs, on peut encore faire usage du rapporteur 5 mais alors le compas est préférable et donne un plus grand degré d'exactitude.

Tracé d'une ligne droite sur le terrain .

7. Pour tracer sur le terrain la ligne qui passe par deux points A et B (fig* 2) , on se sert de jalons^ ce sont des pièces de bois de forme prismatique , terminées à l'une des extrémités par une pointe ferrée pour qu'on puisse les enfoncer plus aisément en terre , et munies à l'autre extrémité d'un signal destiné à faciliter la direction du rayon visuel. On planté en A et en B deux jalons dont la direction soit bien verticale , puis de distance en distance on plante de

même d'auires jalons qui soient tous dans le plan vertical ABy ce dont Tobservateur s'assure facilement en se plaçant à une petite distance du jalon A ou B. La direction ainsi déterminée prend le nom A^ alignement ,

Si la ligne AB qu'on doit jalonner est longue et qu'on veuille opérer avec une grande précision , on se sert d'une lunette. Cette lunette étant fixée en A ou en B, on plante les jalons , qui déterminent l'alignement, dans le plan vertical passant par l'axe de la lunette.

La manière d'opérer est la même , que le terrain soit horizontal ou incliné. Dans tous les cas, il faut avoir soin d'employer un nombre de jalons assez grand pour que la direction de la ligne jalonnée soit suffisamment indiquée.

8. Si l'on veut, dé terminer sur le terrain le point de rencontre de deux directions AB et CD [fig- 3) , on commencera par planter des jalons pour figurer les deux alignements; puis l'observateur étant placé en A et dirigeant son rayon visuel dans le plan vertical de AB, un aide partira du point C pour se diriger vers D et s'arrêtera, à un signal de l'observateur, au moment où il atteindra l'alignement AB en un point I, qui sera l'intersection cherchée.

Descnption et usage de la chaîne d'arpenteur,

9. La chaîne sert à mesurer les distances 5 elle a ordinairement 10 mètres de long, quelquefois 20 (fig- 36); elle se compose de chaînons en gros fil de fer réunis par des anneaux. La longueur de chaque chaînon est de o°',a; sur cinq anneaux consécutifs, quatre sont en fer et le cinquième en cuivre , en sorte que les anneaux de cuivre indiquent les mètres. L'anneau qui occupe le milieu de la chaîne est ordinairement un peu plus gros que les autres \ enfin, les extrémités sont munies de deux poignées, qui sont comprises chacune dans la longueur du chaînon ex-

trème. Il importe , avant de se servir de la chaîne, de vérifier sa kmgaeur et celle de ses parties , à Faide d'un mètre étalon.

10. Pour mesurer une ligne avec la chaîne, il faut deux chaineurs. L'un des chaineurs est muni de dix fiches en fer {fig. 37) ,. terminées à une extrémité par une pointe qu'on enfonce dans le sol , et dont l'autre extrémité porte un anneau. Soit AB la ligne qu'on veut mesurer 5 cette ligne ayant été préalablement jalonnée et tracée au cordeau, le second chaineur place la chaîne dans la direction de l'alignement, l'extrémité de la première poignée restant en A. Cela fait, les deux chaînenrs tendent la chaîne horizontalement à quelques centimètres du sol , et le premier chaineur plante une fiche en terre dans l'intérieur de la seconde poignée- Alors les deux chaînenrs relèvent la chaîne et se mettent en marche jusqu'à ce que le second chaineur soit arrivé auprès de la fiche laissée par le premier -, la chaîne est de nouveau tendue horizontalement, à partir de ce point, dans la direction de la ligne AB, et de manière que la première poignée touche extérieurement la fiche. Le premier chaineur plante une deuxième fiche dans la seconde poignée , et le second enlève la première fiche laissée par le premier. L'opération se continue ainsi jusqu'à ce que le premier chaineur ait planté ses dix fiches. Alors, en supposant qu'il s'agisse d'une chaîne de 10 mètres, la distance mesurée est de 100 mètres. Le second chaineur remet au premier les dix fiches, et l'opération se continue. On doit avoir soin de noter chaque échange de fiches; car dans cette opération, si simple qu'elle soit, on commet souvent dés erreurs, et il serait imprudent de se fier à la mémoire des chaineurs.

41. Lorsqu'on arrive à la fin de la mesure, l'extrémité de la chaîne dépasse généralement le point B; alors on compte le nombre entier de chaînons compris en deçà de

LEVER DES PLAKS. n

B et l'on évalue à vue la fraction excédante, ou, si Ion veut opérer avec plus de précision , on se sert d'un double décimètre gradué.

Supposons que dans la mesure d'une ligne il y ait eu trois échanges de fiches, que le second chaineur ait daus la main six fiches à la fin de l'opération , et que dans la dernière portion de chaîne employée il y ait sept chaînons plus une longueur évaluée à o'", 1 7 5 la longueur de la ligne sera

loo'^xS -\- 10"' X 6 4- o",2X 7 4- o™,i7 ou 36i",57.

12. On fait quelquefois usage, pour mesurer les distances, de doubles ou de quadruples mètres que Ton place bout à bout; mais ce procédé n'est guère employé que pour le lever des détails de constructions.

Lever au mètre,

13. Le seul instrument que l'on emploie pour le lei^erau mètre est la chaîne , ou simplement le double ou quadruple mètre. Supposons qu'on ait à lever un terrain limité par le contour ABCDEF (j^g. 4)» Oii mesurera d'abord les côtés AB, BC, etc., de ce polygone j puis à partir du sommet A on prendra sur les côtés AF et AB deux longueurs quelconques A A', A A'', de 10 mètres par exemple, et Ton mesurera A'A'^ On connaîtra ainsi les trois côtés du triangle \Mh!'. En faisant la même opération à tous les autres sommets, on connaîtra les côtés de chacun des triangles BB'B'', CC'C", etc.

Ces mesures suffisent pour construire la carte. A cet effet, on trace une ligne quelconque sur la feuille de papier destinée à recevoir le lever, et l'on rapporte, à l'échelle adoptée, suivant cette ligne, le côté AF en a/'; ensuite on construit un triangle aa' a" semblable au triangle A A' A'' et dont les sommets a, a'^ a" soient les homologues des sommets A, A', A". L'angle a"aa' étant ég^l à A"AA', le

8 PREMIÈHE LEÇON.

côté €Ul" sera sur la carte la direction du côté homologue à AB; sur cette direction, et à partir du point a, on rapporte à réchelle le côté AB en ah. Le point h ainsi ob> tenu est l'homologue du point B; et, en continuant ainsi , on rapporte sur la carte tous les autres sommets du polygone. On a une vérification des constructions effectuées; car le dernier sommet/ homologue de F doit se retrouver sur le côté a/" qu'on a tracé le premier.

Pour relever un point tel que M, situé hors du polygone principal ou dans son intérieur, on joindra ce point aux extrémités de l'un des côtés du polygone, AB par exemple , et l'on relèvera , d'après le même procédé , le triangle ABM , dont un côié AB est déjà tracé sur la carte en ah.

Du graphomètre,

14. Le graphomètre sert à mesurer les angles; il- se compose d'un limbe demi*circulaire A {fig* 38 et Sg) de o™, lo à o™,3o de diamètre , et de deux alidades à pinnules, l'une fixe C, dirigée suivant le diamètre du limbe et faisant corps avec lui ; l'autre B , mobile autour du centre du limbe et située dans son plan. En outre, l'alidade mobile porte à ses extrémités des verniers dont les zéros sont situés dans le plan des fils des pinnules h et h\

15. On nomme pinnule (fig- 4^) une plaque de cuivre portant deux fentes dans le sens de sa longueur , et situées l'une au-dessus de Taulre. L'une de ces fentes, qui est trèsétroite, est appelée œilleton; Tautre, assez large, est nommée croisée. Un fil très- fin, dirigé dans le sens de la longueur de la pinnule , divise la croisée en deux parties égales.

V alidade à pinnules {fig* 4*) est une règle portant perpendiculairement à ses extrémités deux pinnules. Dans l'une d'elles , l'œilleton est à la partie inférieure ; dans l'autre , au contraire , c'est la croisée qui est en bas, et Tceilleton oc-

cupe la partie supérieure. Par cette disposition ^ on aperçoit le fil de l'une quelconque des croisées en approchant son œil de l'œilleton correspondant ; la direction du rayon visuel prend le nom de ligne de visée,

16. Le limbe du grapliomètre porte, comme le rapporteur décrit au n° 6, une double graduation en demi-degrés, de o^ à i8o*^. Les pinnules c, c' de l'alidade fixe doivent être disposées de manière que la ligne des deux points du limbe marqués o soit dans le plan des fils.

Le limbe est fixé, par son centre a, à une tige/" qui traverse à frottement une sphère g. Cette sphère est embrassée par deux coquilles h que l'on peut rapprocher, au moyen d'une vis /, de manière à la fixer. Cet assemblage porte le nom de genou à coquilles. L'instrument est terminé par une douille rou cylindre creux, dans lequel s'emmanche l'axe M du trépied.

17. Pour mesurer un angle, on dispose le graphomètre de manière que son centre soit sensiblement sur la verticale qui passe par le sommet de Tangle. A cet effet, on place l'instrument à peu près dans cette position , puis on dirige un fil à plomb suivant l'axe du trépied 5 si l'extrémité du plomb tombe au sommet de l'angle , l'instrument est convenablement établi \ dans le cas contraire , on enfonce en terre l'un des supports du trépied et l'on arrive aisément à remplir la condition exigée. Ensuite on fait tourner la sphère g* entre les coquilles jusqu'à ce que le plan du limbe contienne les deux point§ dont on veut mesurer la distance angulaire -, avec un peu d'habitude on y arrive après quelques tâtonnements. Dans ce mouvement , le centre du limbe se déplace , mais d'une quantité négligeable. Enfin on fait tourner le limbe dans son plan, jusqu'à ce que la ligne de visée de l'alidade fixe coïncide avec l'un des côtés de l'angle , et on fait mouvoir l'alidade mobile jusqu'à ce que sa ligne de visée

lO PRBMtÈ&E LEÇON.

coïncide avec la direction de l'autre côté*, l'arc du limbe compris entre son tjéco et le zéro du vemier donne la mesure de Tanglc.

18. Les alidades du graphomètre peuvent être remplacées avantageusement par des lunettes portant des réticules, L We d*elles est fixée au-dessous du limbe suivant son diamètre *, l'autre peut tourner autour du centre du limbe et est munie d'une vis de pression qui permet, en la desserrant , de lui donner un mouvement rapide \ une vis de rappel sert à lui donner un mouvement lent ('^).

L'emploi des lunettes et des réticules permet d'obtenir une plus grande précision dans la ligne de visée.

Levier au moyen du graphomètre.

19. La mesure des lignes sur le terrain présente des difficultés plus grandes que celle des angles 5 aussi est-il trèsavantageux d'avoir à sa disposition un graphomètre quand on veut faire un lever, car il suffira de mesurer une seule ligne, à laquelle on donne alors le nom de base.

En efiet, supposons qu'après avoir mesuré une base sur un terrain uni , on ait marqué par des signaux les extrémités de cette base , ainsi que les points principaux du terrain dont on veut prendre le lever. Imaginons aussi tous ces points réunis aux extrémités de la base par des droites idéales, de manière à former autant de triangles : on pourra, avec le graphomètre, mesurer les auglès de chaque triangle. Rapportant ensuite la base sur la carte, à l'échelle adoptée , et construisant sur cette base , à l'aide du rappor-

{*) Une Tis de rappel est une vis d'un trèfr-petit pas portée par un collet fixé à une pièce mobile le long d'une pièce fixe ; Técrou de cette vis porte une pince qui, à l'aide d'une seconde vis, peut serrer les bords de la pièce fixe. Dans cette position, la pièce mobile ne peut être mise en mouvement que par la vis de rappel.

LEVEIL DES PLAKS. II

leur, des triangles seml>lables à ceux du terrain et semblablement placés, les sommets de ces triangles formeront le lever. Nous croyons, quant à présent, devoir nous borner à ce qui précède , à cause des développements qui seront donnés plus tard dans l'exposé des méthodes usuelles pour les levers. Nous indiquerons pourtant ici un moyen de relever un nombre quelconque de points où l'on peut stationner lorsqu'on a préalablement déterminé les positions de trois points.

20. Trois points A, B, C étant situés sur un terrain uni y et rapportés sur une carte, y retrouv^er le point M, tToii les distances AB et BG ont été vues sous des angles a et & qiion a déterminés.

Soient a, h^c^m (fig* 5) les points de la carte homologues des points A , B, C , M du terrain -, on décrira sur ab un segment capable de l'angle a , et sur bc un segment capable de l'angle 6 : le point m sera l'intersection des deux segments.

Si l'on veut retrouver le point M du terrain, on évaluera, à l'aide du rapporteur, l'angle abm = ABM, et, à l'aide de l'échelle décrite au n° 3, on déduira de bm la distance BM du terrain \ on n'aura donc ensuite qu'à tracer un alignement dans la direction connue de BM, puis à mesurer avec la chaîne une distance connue dans cette direction.

Remarque. — Le problème est indéterminé dans le cas où les deux segments capables des angles <a: et 6, construits sur ab et bc respectivement^ appartiennent au même cercle^

Mesure de la distance d'un point à un point inaccessible,

21 . La méthode employée pour le lever au mètre peut servir à déterminer la distance d'un point à un point inaccessible.

Première solution. — On prendra une base à partir du point donné , et Ton fera le lever au mètre du triangle formé par cette base et le point inaccessible^ puis, à l'aide deTéchelle , on évaluera la distance demandée. Il faut remarquer que dans cette opération il n*y a pas de véri6cation , puisqu'on ne peut se transporter au point inaccessible.

22. Deuxième solution. — Pour effectuer le lever du triangle dont il vient d'être parlé, il suffit, quand ou a à sa disposition un graphomètre , de chaîner la base et de mesurer avec le graphomètre les deux angles adjacents.

23. Troisième solution, — On peut encore employer le procédé suivant , pour résoudre le même problème avec le graphomètre et la chaîne : on mesurera une base quelconque à partir du point où l'on stationne , puis on déterminera les angles adjacents à cette base dans le triangle qui a pour sommet le point inaccessible \ on pourra alors , en faisant usage du procédé du n^ 8, figurer sur le terrain le triangle symétrique de celui-là par rapport à la base , et , par conséquent, mesurer avec la chaîne la distance cherchée.

24. Quatrième solution. — Soient A le point donné [fis* 6) et X le point inaccessible dont on veut connaître la distance au point A \ on tracera par des jalons un alignement dans la direction de AX , puis un second alignement dans une direction quelconque AM. Ensuite on mesurera sur AX, avec la chaîne, deux distances AB et AC quelconques , et l'on prendra sur AM les dislances AB' et AC respectivement égales à AB et AC. Imaginons tracées les lignes BC et CB' qui se coupent en D; Tégalité des triangles ACB' et AC'B entraine celle des angles BCD et B'C'D. Comme d'ailleurs les côtés BC, B'C sont égaux, ainsi que les angles BDCetB'DC opposés par le sommet, les triangles BCD et B'C'D sont égaux, d'où il suit que

LEVER DES PLANS. l3

BD = B'D ; donc , les triangles ABD et AB'D étant égaux , la ligne AD est la bissectrice de l'angle MAX, et si sur AM ou suppose AX'= AX, les droites XC etCX' se couperont (*n un point E de AD. Voici comment on aura sur le terrain le point X': on aura d'abord le point D en formant deux alignements suivant BC et CB', comme il a été dit au n® 8 ; on formera deux nouveaux alignements , Tun suivant AD, l'autre suivant C^X , et l'on déterminera de même l'intersection E de ces deux alignements ; enfin on formera un dernier alignement suivant CE , et l'on prendra , toujours par le même procédé , son intersection avec la ligne AM : on aura alors le point X'. On chaînera la distance AX' et l'on aura le résultat cherché.

25. Cinquième solution, — Soient A le point donné {fig- 7) ^^ ^ ^® point inaccessible ; on plantera un jalon en A , puis deux autres en deux points B et C situés de part et d'autre de A et en ligne droite avec lui , puis un quatrième jalon en un point D quelconque de la direction AX ; on prendra l'intersection des deux alignements suivant BX et CD , ce qui déterminera le point F, et celle des deux alignements ex et BD, ce qui déterminera le point E^ enfin on tracera un alignement suivant EF, et l'on prendra son intersection G avec AX. Cela posé, dans le quadrilatère BCEF, la ligne DX , qui joint le point de rencontre des diagonales avec celui de deux côtés opposés , est partagée harmoniquement par les deux autres côtés. On a donc