SYSTÈMES ORTHOGONAUX TRANSFORMÉS

Siirfoc<>6 orthogonale» transformées. — Transformation conique p.nr rayon*i \ccteurs réciproques. — Application au problème des lompt^raturcs stationnaires. — Tr.insl’ormation cylindrique, — Application aux systèmes cylindriques isothermes

§ GXXIX.

NOÜVEU.E.S KOUMUI.RS.

Le système (le coordonnées curvilignes, délini jiar Ic^ é(|ualions

du § IV, peut l'èlre aussi par trois équations de la forme

(II) « -- 'T. (.0, pi, ?.)■ • • 3,

desquelles on pourrait déduire les évpalions (a) ellesmêmes, ou celles des surfaces orthogonales conjuguées, en isolant successivement les p, .i l’aide de l'élimlualion. 11 esl évident que les trois familles de surfaces, qui résultent de celte opération, dépendent des fonctions ou qu’elles changent avec ces fonctions, puisque le système résultant (a) change avec les fonctions f,.

Si l’on exprime les dérivées des e,- en //, par celles des u en 0,, .à l’aide des relations (8), § A 111, les formules (a) et (4)i S transforment ainsi :

S lllt itll il U, (t ri J

a 3 8 1 Ki^O.NS

les pr(‘inièrf->. iléliiiisscnt d’iino autre niunière les lonctioiis/i,, les secondes expriment encore rorlliogonalilé des surfaces conjuguées.

Ainsi, lorsqu’on est arrivé à des valeurs (b), donnant les U à l’aide des p,, si l’on constate tpie les relations (2) sont vérifiées, on doit conclure que les surfaces avant les p,- pour paramétres, et dont les équations (a ) s’obtiendraient par l’élimination, se coupent orthogonalcment. La formule (i) donne alors les fonctions //., desquelles on peut déduire les courbures, les paramètres différentiels du second ordi-e, tous les éléments géométriques et analytiques «lu système obtenu.

§ exxx.

TRANSFORMATION PAR RAYONS VECTEURS Rftf.IPROQUES.

On trouve un emploi remarquable de celte marche et de ces règles, lorsqu’on applique la transformation par rayons vecteurs réciproques, aux fonctious-dc-poinl et à leurs systèmes coordonnés, comme plusieurs géomètres l'ont fait aux surfaces et aux courbes.

Pour transformer, ou plutôt transposer, un point quelconque M ; sur le rayon vecteur R, qui mesure sa distance à l’origine O, on prend un point AI', tel que son rayon

vecteur R' soit égal ^ étant une longueur qui reste la

même pour toutes les transpositions. Alors, les rapports —1

des coordoiiiu^s ti de M' à celles u de M, seront égaux a

— 1 ou a — « il nu R R'