CXXVI

PUISMES A BASES DISCONTINUES.

Exemple II J. La base du corps cylindrique ii'esl que le f[uarl de la précédente, cou|)ée par les droites CC' et sa perpendiculaire en ü. Il s’agit d’un prisme à base discontinue, ayant cinq faces latérales. On a (i' = o, P" = t: (sur les deux faces planes formant l’angle dièdre droit en O), a.' =. — a', a" positif. La fonction V sera donnw par la formule ( 1 5 ), § CII ; les limites des intégrales définies étant, O et 7t pour les A.O\ — a' et -+-a'' pour les ttSjO).

Si la base du corps cylindrique est la moitié de celle de l’exemple II, coupée seulement par la perpendiculaire en O h CC', il semble, au premier abord, que la formule citée est applicable, en prenant Çi' — — k, (3" = Mais, le

paramètre a ne variant, sur les faces planes et/3", qu’entre — a' et zéro, tandis que la masse solide comprend des points où retic coordonnée a des valeurs positives, on tombe dans rincompatibiliié signalée au § CXM, à moins <jue a" ne soit zéro, on que l’ovoide intérieur ne soit la moitié de la leniniscnle radicale.

Piu- â.

Exemple IV . Sur la base ilu double tube de l'exemple II, on mène par le point deux courbes (3, l’une audes.sus de (iC' et dont le paramètre est |3 = /», l'autre an"

Stu I.ES CO0lll>O.\>ÉES Cl nVU.I(;^ES, ETC. a3l • (li'ssüUs et syiuéli'iijue de la première; la base lolale est divisée par ees deux courbes iS, en deux parties, qu’il s’agit de traiter, cliacune séparément quand on supprime l’autre.

Kijj. r*.

La fonction V sera donnée par la formule (i5), ^ ClI, dans les deux cas. Mais, s'il s’agit de la partie située à gauche, les limites des intégrales pour les seront |S' = 6 et /3" = 4rr — et, s'il s’agit de la partie située à droite, ces limites seront (3'= — b, {i" = +/'. Quant aux limites des intégrales pour les ell&s seront a' = — a et a" positif, pour les deux parties.

On remarquera que le premier cas suppose essentiidleiiietit la eonuaissanre des températures Gxes, existant sur la moitié complète, et renfermée, du eylindre a", laquelle est vide. Si cette moitié était pleine et solide, l’autre moitiérestant vide et tronquée, la formule citée ne serait plus applicable, et celle dont il faudrait alors se servir, est à trouver.

§ CXXVIl.

l’.Ut.VMfcTKE DlKKKHK.NTIl-L DU SYSTÈME.

D’autres applications ilu système cylindrique des letnniscates, avec ses coordonnées tliermométri(|ues, exigeraient la connaissance de son double paramètre dilférentiel du premier ordre, que l’on détermine ainsi qu’il suit.

La première (a) et la seconde (3) donnent le couple

d'équations

LKÇO^S

retranchant la seconde de la première, observant que le premier membre de la dilTérence est ( 4 c*a:’ - 1 - 4 '^* J"* )> duisant, puis extrayant la racine carrée, on a

(9) 2x/ = c>e"“sinp,

sans double signe : car le produit xy doit avoir le même signe que sin ) 3 , d’après l’ensemble des valeurs du paramètre | 3 , et le sens adopté des x ety positifs. Avec la valeur (9) de 2.ry, la seconde ( 3 ) devient

(10) x’ — = c’ ( 1 -t- e — « cos P ) .

Les équations (9) et (to), élevées au carré, puis ajoutées, donnent, en extrayant la racine,

lorsqu’on pose, pour siinpliher,

(12) V I -t- cos 8 = À ;

quantité qui est nulle à l’origine O dont les coordonnées tliermométriques sont a = o, {3 = 7:, et qui se réduit ;i

a cos - sur la lemniscate radicale, a

(’ctle préparation faite, si l’on diflérentie les équations (9) et (10) par rapport au paramètre a, on a les valeurs

/ rfx

da) ~

\ ""ds. ’

r’e “ sin p, cos p.

StR LKS COORDOWNÊKS Ct R V lUC > ES, ETC-

qui, élevées au carré, puis ajoutées, donnent facilement

ou bien, substituant à la première parenthèse sa valeur (i i), à la seconde la valeur -J-)

ce qui donne détinitivement, pour le paramètre dillèrenticl cherché,

Ce paramètre différentiel est donc nul, avec À, à l’origine O. Ce qui devait être, puisque, pour le potentiel cylindrique partirulier a (i), h est la résultante de deux attractions, qui sont égales et directement opposées pour la molécule placée en O.

Le point, aux coordonnées x, y, étant situé sur le plan des bases, si r, r\ R, représentent respectivement ses distances aux points C, C', O, on aura, d’après (ii) et la première (i).

A — , c‘ c =z rr .

et la valeur (i4) prendra la forme caractéristique

c’est-à-dire que le paramètre différentiel est égal au double de la distance à l’origine O, divisé par le produit des distances aux points C et C’. D’où il suit que la résultante des deux attractions varie, proportionnellement à la dis-

Digifeed by Goc^le

a34 i.m,;oNS

lance R sur une même leinniscatc. en raison invi'rse de r sur un même eerele au rapport roustant de r^siir un

iiieiue eerele au rapport eonstnni — •

§ CXXVIll.

AIRE DK LA LKMMSC.ATE RADICALE.

Si les coordonnées thermoniélriques, du système cylitidriqtie des lemniscales, sotil celles cpi'il faut employer, dans les questions delà théorie analviique de la chaleur, comme étant alors les plus naturelles et les plus simples, il n’en est plus de même lorsqu’on se propose d’étudier les propriétés ^'éométriques d’une courbe individuelle appartenant au même système ; là, «l’autres coordonnées sont évidemment préférables.

P,^r exemple, s’il s’agit d évaluer la surface de l’un des ovoïdes de la lemuiscate radicale (.|), on l’obtient rapidement à l’aide des coordonnées polaires, car les formules

.r = ccosif, ^ = rsiii^, transformant ainsi l’équation ( 4)

> • — f'- rus 2 »,

la surface elicrehée est

ros 2 ç f/i)( ;

c'est-à-dire qu’elle érpiivaut au carré construit sur la largeur c, et dont la diagonale donne le demi-axe de la courbe, l'andis (|u’avcc les «-oordonnées thermométriques a cl rélément di- surface étant

thth I =

SI II I.ES COomiONîlf.KS Cl KVIIJ^.^ES, ETC.

d après la relaliuii (i3), il faudra inlègrer col cloinoiil, do jS = O à (5 = 7t, de 3 = O .i a = t3C -, opération boauroup • jdus pénible quo la précédonto.

Toutefois l’idontilédes résultats oxigoaiitque l’on ait

I + f ^ 3. r — ^ ros P

voilà une intégrale définie double dont la \aleur, ijui est exacte, se trouve immédiatement posée. Cette évaluation synthétique d'intégrales définies simples ou doubles, se reproduisant pour tous les systèmes connus de surfaces isothermes, parait constituer un avantage inhérent à l’emploi des coordonnées curvilignes, et qu’il importait de signaler.

Les deux systèmes, étudiés dans cette leçon et la précédente, signalent plusieurs lois, qui régissent les limites et les signes des coordonnées therniométriques (i), ^ XCIX. En résumé, voici les conséquences princijiales de ces lois. Pour un système cylindri<|uc, isotherme et quelconque, toutes les valeurs du potentiel angulaire [3, sont comprises ; soit entre zéro et un certain multiple a/tf, de la circonférence 27:; soit entre — i~ et + ir^. Suivant la question que l’on traite, il faut adopter l’un ou l’autre de ces deux ilasscments.

S’il s’agit, par exemple, d’ajipliquer les séries (i5) et (i8) de la XI'' leçon, à un prisme rectangle, curviligne et indéfini, dont les faces appartiennent au système considéré, les sommations nécessaires pour évaluer les coellicients .1.0'), déterminent le classement essentiel. Alors les séries citées donnent les températures stationnaires, pour les seuls points dont les deux coordonnées^ 2 e/ ,3, aiiiiarliennent, chacune, à une des f;énéralrices de la surl'nce ; c’est-

a36 i.Eçons

à-dire, ou les lenipéralures de-> sc-uls points intérieurs au prisme rertangle curviligne, ou exclusivement celles des points extéi’ieurs.

Pour établir ces propositions, nous avons choisi le système cylindrique bi-circulaire, et celui des lemniscates, comme étant ceux (jui s'offrent le plus naturellement aux a])plications. Or, ils sont aussi les plus simples parmi les nouveaux. Kn effet, sur la liste des systèmes orthogonaux formés par des lignes planes, le premier est celui des coordonnées rectilignes, qui comprend deux familles d(? droites parallèles; le second, celui des coordonnées polaires, ipii réunit une famille de droites divergentes, avec une famille de cercles concentriques; immédiatement après, vient le système détini dans la XII' leçon, lequel comprend deux familles de cercles; et le système étudié dans la leçon actuelle, est inséparable du précédent, dans la classe des |K)tenticls cylindriques. Il y a lieu de s’étonner que le troisième système n'ait ]>as été introduit plus tôt: puisqu’il suffisait de rapprocher les deux seuls lieux géométriques du Cours le plus élémentaire.

SIR I.KS (:üOHI^Ü^^ÉF.S CtRVII.U;>FS KTC.

UÜ4T0KZIÉME LEÇON.