PREMIÈRE LEÇON

FORMULES DE ITIANSFORMATION.

Définition d'une fonction^de^point, et de ses paramètres difiérentiels.— - Problème général des sarfaces orthogonales, ou des coordonnées curvilignes. — Relations primUives. — Caractères ebdéflnitions des fonctions h..

DÉFINITION D'UNR 1

nON- DE -POINT.

.rappollcrai fonction-de-point, toute quantité qui a une valeur déterminée et particulière, en chaque point d’un e.space limité ou indéfini; laquelle valeur change d'un poiâtà un autre, (iette quantité , ou cette fonction-de-pHvint, sera évidemment exprimable à l’aide d’un système de coordonnées quelconques, rectilignes ou curvilignes.

J’admettrai que cette quantité varie d'une manière continue, lors même qu’elle n’aurait de valeurs assignables que pour des points disséminés , et non contigus , tels que nous imaginons que doivent être réunies les molécules matérielles des milieux pondérables. On conçoit, ch edet, que l’interpolation puisse déterminer une fonction, reprodui-

DigitiZ! : ijy G*

LECUNS

saut pour churuii (k*s points mntrriels «'xistauls la valrur (|ui lui a|>parli<‘nt. Ce sera alors cette foiietion iiilerpolaire qui représentera la fonclion-de-point ; elle sera nécessaireinent coHliiiue , car elle liouncra aussi tics valeurs |M)ur les points {»éoin'élriqnes inicrniéiliaires. D’ailleurs, quand on l’introtluira dans les soinniatiniis de la plivsi(|iie mathématique , elle s’y trouvera loujoitrs aeeom|)agnée d’un faetetir analogue à la masse; ce qui écartera riiiiluence des points géomélri(|ites ,.poitr lesquels le facteur sera tuil. *

D’après la définition ([iii prétède, le |>oletitiel dans la mécanique céleste, la pression dans un fluide en repos, la température dans un solide en c^uilihre de chaleur, appartiennent à la classe des fonctions-de-point.

L’nc fonctioii-<lc-poiiit égalée à une consiante, peut représenter une famille de surfaces, dont celte t onslante est le paramètre. Ou, autrement, le paramètre de toute famille de surfaces est une fonetion-de-|)oint. Dans l’un on l’autre cas , chaque surface individuelle est le lieu géométrique des points de l’espace, pour lesrpiels la fonction a une même valeur. S’il s’agit du ]>otcntiel, ou <ie la pression d’un fluide, on a une famille de sut faces de. niveau-, s’il s’agit de l'a température, une famille de surfaces isothermes.

Line fonction de trois (tjordonnées et tlu temps t, donne à chaque instant une nouvelle famille de surfaces, ou une fonction -de-point nouvelle, que l’on peut étudier isolément en regardant l comme constat. t. Mais, une c^uation entre les coordonnées et le temps a une tout autre signification ; elle représente une famille de surfaces d’ondes, dont / est le paramètre; alors le temps lui-mème est une fonctionde-poinl, fixe et déterminée.

Au point de vue de la géométrie, une certaine fonctionde-jK)int particularise l’étendue à trois dimensions, comme une certaine surface, ou comme une certaine courbe, particularisent l’étendue h deux dimensions, ou à une seule

dimension. De même (|ue la surface, de même que' la courbe, la fonction-de-poinl ptmt être indiflëremmenl rapportée à une inliiiité de systèmes coordonnés didérents. Mais, en chaque point de la courbe, la direction de la tan-' gente, et la grandeur de la courbure simple ou double, en chaque point de la surface, l’orientation du plan tangent, les directions des lignes de courbure, et la grandeur de la courbure sphérique, sont complètement indépendantes du système de 'coordonnées , auquel la surface et la courbe sont rapportées. Ces divers éléments caractéristiques restent invariables , lorsqu’on passe rl’un svslème à un autre. A la fonction -de-point doivent correspondre des éléments, tout aussi caractéristiques, qui partagent la même indépendance; Il importe de découvrir quels .sont ces éléments, et ({uelle

est leur délinition naturelle.

FfmMUI.Kÿ OF.S (XKtRIMtN.NÈKS HEf.TlUGNES.

Une première élude, dans ce sens, exige l’emploi des formules qui servent à passer d’un système de coordonnées rectilignes et orthogonales à un autre. Ces formules, dont nous ferons usage plusieurs fois, sont toutes groupées dans la feuille A.

LF.CONS

Feuille /t.

St'R LES COORUONKÉES CL R V ILlUft ES , ETC. 5

Le tableau (i) définit les neuf cosinus des angles que les nouveaux axes font avec les anciens. Les formules (2) et ( 3 ) donnent les anciennes coordonnées en fonction des nou- •velles, cl réciproquement. La relation ( 4 ) exprime que la distance du point à l’oli'cine doit rester la même. Sa vérification nécessaire, palets groupes (2) et ( 3 ), établit immédiatement, soit les wR^i^les (5 j et (6) , sÿt les formules inverses (7) et (8)< LeS-yaleurs (10) des (m, n, p), multipliées par un même coefficient K , vérifient les deux dernières éijuations du groupe (6), cl, d’après le théorème d’algèbre (g), K’ doit être égal à l’unité, ou K égal à ± i. Si l’on prend K = -)-i, on a les valeurs (10), d'où l'on déduit, à l’aide de l’élimination, les valeurs (ii) et (12).

§ lll-

INTRODUCTION DES A, ET DES i,.

Abordons uctuellement notre première étude. Une fonclion-de- point F étant suc’cessivemenl exprimée , à l’aide des deux systèmes de coordonné'es rectilignes et orthogonales, de la feuille A, les règles ordinaires du <'alcul différentiel établissent, facilement, que les prciirières dérivées partielles de F en z'), seront Hchjs à celles en [x,j, a),

comme les coordonnées mêmes {x\ y', z'), le sont aux {x, J, z). C’est-à-dire que, dans les groupes (2) cl ( 3 ), on peut substituer à chaque coordonnée, ancienne ou nouvelle, la dérivée de F par rapport à cette coordonnée. La même substitution peut donc être faite dans la formule (4), laquelle n’est qu’une conséquence des valeurs (2), en vertu des relations ( 5 ) et (6). On aura donc

D’après les mêmes règles de diflérenliatioti , pour oblinir

LEÇO«S

rf’F f/'F rf’F

les dérivées secondes -7-7-1 -7-7-1 -rT"' i»* peulélever aucar- ’ dy'‘ az’’ .

ré les valeurs du groupe ( 5 ), puis, remplacer loin carré, rf’F ï/'F

Ici que .X'", x‘ , par ^-t;i ^-71 toul reclangle. Ici que ,/iF

par ^ ^ -1 et cela, sans changer les coelîicienls. De là rcsulle

(]ue, sf l’oii aA ilionne les trois dérivées oblenues, les relations (7) cl (8) donneront

dx” d f'’ fiz'^ dx‘ rfr’ dz‘

Ainsi toute Iduclion-de-poinljouil de la double propriété, que les expressions dillérenlielles

A/’ F >/»F ^/'Fi

\ dx^ rf) ’ Jz‘ ) ’

conservent les mêmes formes, et reprotluiseuL les mêmes valeurs numériques en chaque point, quel que soit le système de coordonnées réctilignes et orthogonales que Ton ait employé.

J’ai donné à ces deux <-xpressions les noms de paramètres rUffèrentieh tiu premier ordre, et du second ordre, de la Ibnction-de-point F. On jieut les désigner par les symboles .A, F et A,F. T/inlroduclion de ces dénominations, dans les diverses ijueslions de la physique mathématique, permet d’en simplifier et d’en généraliser les énoncés. De plus, l’emploi presque constant, dans ce genre de (|uestions, des paramètres dont il s’agit, conduit à la définition la plus complète et la plus naturelle de ces mêmes paramètres.

Kemarquons, ici, que toute fonction F, qui contient trois coordonnées parmi ses variables, peut être traitée

SMI I.KS C0I1I111(>^^É^■.S Cl RV I I.ICISES , ETC. 7

comme une i’oiiction-de-poiiii. Alors les expressions A, F et Ajl"’, que l’on calcule en laissant eon^tanles les autres vanables , sont particilcs , eouinlic les dérivées (|ui les eom- [loseiit.