CLX
KgUILIBRIi DES ENVEUJPPES SPIlÉKigUES.
Le seul exemple <|ue I on puisse tlomier aujourd'liui, de la inarehe à suivre, lors(|u’on se propose d’ialéi^rer complètement les équations (' 25 ),§ GLIV, poui' un corps de forme définie, est celui (jui concerne ré([uilibre intérieur d’une envelopjM? sphérique, homof^èùe et d’élasticité constante, dont les parois sont soumises à des pressions ou à des tractions connues, difl'érant d’un point l’autre de ces parois. Tel est le problème qu’il s’agit de résoudre. Il faut d’abord traduire en coordonnées sphériques, toutes les équations qui se rapportent à l’équilibre d’éUsiieilé-, opération que les formules transformées de la leçon précédente, rendent très-facile.
Le rayon des sphères concentriques étant r, la latitude (p, la longitude t|<, posons ici
et désignons, pour simplifier, eos el sin'p par les lettres e el a. Les valeurs aeluelles, des ares des pai-amèlre»
■^oo LEÇONS
cliireiLMitifls h,, et des six courbures, seront
ds = dr, ds, = rd y, ds, = hd-}^,
h ziz I , /(, = — , A, — ,
r rc
r" r r' ne’ r, “ n, r'.
Employons maintenant les lettres (U, V', W) pour représenter les projections du déplacement très-petit de M, sur le rayon, sur la tangente au méridien et sur la perpendiculaire à son plan ; ou bien posons
Enfin désignons par (Ro, d>o, Ÿo) les composantes, suivant les mêmes directions, de la résultante des forces extérieures, rapportées à lunité de masse; c’est-à-dire posons encore
Par la substitution de ces diverses valeurs, les expressions (i3), § CLII, des composantes (A., P,) deviennent
SUR LES COORI>U^NÉES CfRVILlC.NF.S, ETC. I
<-t celles ( 9 ), ^ eu, lie la dilatation cubique Û, peuvent s'écrire ainsi ;
I idr'cX] dcr\ drV, \
r’c \ rfr rfi|' /
dU L' I dV a V I dW
dr r r d!f c r rc di|>
Puisqu'il s'agit d'une question d'équilibre, les dérivées par rapjwrt au temps n’existent pas. Alors l’équation (ay), ^ CLV, qui régit la fonction 0, est simplement = o, et si, pour simplifier les équations suivantes, on pose
on aura pareillement -f = n, ou bien, par l’expression générale des At, §XIV, écrite avec les A, (a), et après la suppression d'un facteur commun,
dr’
dr
I do
dr
\ ^ c- dij»’
ou encore, en prenant, avec Laplacc, sin ÿ ou a pour paramètre des cônes de latitude, c’est-à-dire remplaçant ^ par
c , et c’ par (i — a*),
Il X '
dr’
dr
dr da I — a’
Knfin, de tout ce qui précède, il résulte que les équa-
3o2 I.EÇO^S
lions (a’j), du § CLIV, devieiineiii
rfllS,
dV
df
“ dr
rfr
di
rfr ■
dA,
dtf
dr
t'I que les fonclions-de-point (-V., it!,, r) doivent se déduire des (IJ, V, W), par les relations
dr\
dreW
dre \V
dV
.. . - — f- vil.
dr
dr\ I
dr f
§ CIAI.
^\>UAT10NS A 1.A SÜRPACR.
Al)ordons luaintenanl la question posée, en eomniençant par l'-lablir les éijualions dites à la surfaee. Imaginons un milieu solide indéfini, en équilibre d’élasticité, et dans le- «jucl sont tracées deux sphères <oncenlriques ayant les mêmes rayons, r, et r„, (|ue les parois, extérieure et intérieure, de l'enveloppe ilont il s’agit. Ce milieu comprendra trois parties : la première, D, intérieure à la sphère de rayon r^, la seconde, F,, comprise entre les deux sphères, la troisième. G, extérieure à la sphère de rayon r, . Si, d’abord, on veut supprimer, la partie G sans troubler l'étal d'éipiilibre des deux autres parties, il l'audra appliquer, sur chaque élément plan de la sphère de rayon , des
Sun l.KS COORDONNl'.KS Cli I\V 1 i.ICN ES, ETC.
ell’oils (|ui i'ciu|ilai:eiii lus l'ouipüsauti's (A, G,, G,), des forces élasti<|iie$ que G, extérieur, exerce sur E, intérieur. Si, ensuite, on veut supprimer la partie D sans troubler l’état d'équilibre de la partie E, il faudra appliquer, sur chaque élément-plan de la sphère de rayon Tq, des efforts qui remplacent les composantes ( — A, — G,, — G,)jdes forces élastiques que D, intérieur, exerce sur E, extérieur. Cela fait, la partie E nstantc sera absolument dans le môme état d’équilibre d’élasticité que l’enveloppe sphérique proposée, SI les (A, G,, G,), sont précisément égales aux composantes correspondantes (-JT,,, 311.,, G,) des eflorts appli- (jués sur la paroi extérieure, et si les ( — A, — G,, — G,)„ sont précisément égales aux coinjKtsantes correspondantes ( — Jt-o, — 31L„, — Go) des efforts appliqués sur la paroi intérieure.
On a deviné, sans qu’il fût nécessaire de le dire d’avance, (]ue les (A, G,, G,) étant les composantes (a) des forces élasti(|ues exercées sur tout élément-plan perpendiculaire au ravon, les indices i,o, donnés aux parenthèses qui les groupent, indiquent (]u’elles les prennent avec r=r, , r= Co', f]ue (X.,, 3tl,, G,) sont les fonctiot)s connues de (ij), ip) »|ui représentent respt^ctivement les composantes des efforts extemes, suivant le ravon. suivant la tangente au méridien et suivant la.perpendirulaire à son plan; qu'enfin ( — X>o, — 3ll„, — Go) sont les fonctions connues de (ç, t|i) (jui représentent les composantes des efforts internes, suivant li-s directions de meme définition; toutes ces comjiosantes étant rapportétrs à l’unité de surface. [Dans les nouveaux groupes (X-, , 3K,, G,), la lettre G, , ou le symbole des composantes tangenti elles, désignera particulièrement celle qui est parallèle au plan de l’équateur.]
En résumé , les équations a la surface , qui sont au nombre <le six , seront définitivement données par les
3o4 l.KÇOWS
formules
écrites deux fois, l'une avec l’indice i seul, l’autre avec l’indice zéro.
