CLXX

l’ROPRIKTfeS DE LA FONCTION P(a).

Pour appliquer le seeond procédé d’élimination, il faut établir les propriétés de la fonction P (|ui lui servent de base. Soient P et P' deux valeurs de <'ctte fonction, qui correspondent à la même valeur de l, et à deux entiers différents n Cl elles vérifici-ont les deux équations différentielles [(ao) § CLXV]

, rfP

(la

PP'

(la

(|ui donnent, par l’élimination de /’,

dr’ ( P P-i- )

[«'(/,'+i)-//(«H-i)]pp'= — — ‘hl.

aa

Si l’on intègre cette dernière éc)ualion, multipliée par cia, entre les limites — i et -F- 1 de la variable a, on a

Or, P et P' ainsi (jue leurs dérivées n’étant infinies pour aucune valeur de a, la parenthèse du second membre s’évanouit aux deux limites par le facteur c* = i — a’; le premier nienibia' doit donc être nul. I)’(»ù résulte c|uc l'on a

SUR LES (:OORDO^^ÉES CURVILIC>ES, ETC.

lu'cessairemenl

PP'rfï= O,

lorsque les entiers n et n' sont différents.

Quand n' = n, le premier membre (i 3 ) s’évanouit par son premier fauteur, et laisse indéterminée l’inlégrale définie

laquelle ne saurait être nulle, puisque tous ses éléments sont essentiellement positifs. Mous désignerons cette intégrale par le symbole pour indiquer qu’elle dépend à

la fois des deux entiers f et n. On sait que sa valeur générale est

[Leçons sur les fonctions inverses, p. 246)-

Au théorème (i 4 )) qui est très-connu, il faut en joindre un second, qui l’est moins. L’intégration par partie donne

dV df ^ rfa

d(Xy

d’où l’on déduit, en substituant à la dérivée qui se trouve sous la seconde int^rale, sa valeur donnée par la première équation (12)

33 o LEçons

ou bien, parla iranspcvsitioii d'un lermc

/ r , fPPP' ,

y* PPV/a.

Si r on prend les trois intégrales (i6) entre les limites — i et -f-i de a, le terme détache s’annulant à ces deux limites par le facteur c’, on a

(ix

dv

PP'dx.

Le premier membre (17), partage nécessairement les propriétés du second. C’est-à-dire que, d’après le théorème (i 4 )» on a identiquement.

quand P et P, ayant le même /, diflèrent par n et et que, d’après la valeur (i 5 ).

Xy '■ (s)'- *£

PP^ ■

— — d X — n (ri +1) a'i"\

lorsque les deux fonctions sont égales, ou si n' — n. Ce second théorème, (18) et (19), était indispensable pour achever la solution.