CLXXV

ISOLEMENT l)K„S PREMIEUS OOEEITCIENTS.

Le premier théorème (i 4 ) est seul nécessaire pour déterminer les coefficients K,, tX,- , dans les deux premières équations (t i). Car il suffit de multiplier l’une ou l’autre de ces équations par le facteurP fia, P étant la fonction même que multiplie le coefficient dont on veut obtenir la valetir, puis

8UK LES (.OORUO^■^ÉES Cl R V I LIGiV ES, ETC. .3.3 l

d’iulégrer entre li‘S limites — i et +i tic a; ce qui fera disparaître tous les autres termes, d'après (i4) ^ on a ainsi

P Xi cos /^jl rfij/ t/a

ïîi

PXisin

Telles sont les valeurs générales, que doivent avoir les coefficients qui composent les séries du premier membre delà première équation (8), pour que ce premier membre reproduise identiquement les fonctions données X,.

§ CLXXVl.

DÉVEI.OPPEMENTS SIMULTANÉ.

Les quatre dernières équations ( 1 1 ) forment deux coiqties semblables à celui-ci

C aa

les seconds membres étant des fonctions connues de «; les séries des premiers membres ayant le même / constant, et les mêmes limites pour «, tjue les séries du groujte (t 1). 11 s’agit d’isoler les coefficients E, C, dans ces équations (21).

Si l’on accentue la fonction P des secondes séries 5 si l’on ajoute ensuite les deux équations, multipliées, la première

par le facteur c — da., la seconde par P étant la fonc-

tion même qu’emploient les termes ayant le coefficient F.

LEÇONS

dont ou veuloblonir la valeur; cnfîn, si on intègre la somme obtenue entre les limites — i et -t-i de a : il ne restera, dans la première série de celte somme, que le seul coeflicient choisi, tous les autres ayant disparu, d’après le théorème (i8) ; et l’on aura

/P' rfP

rfp' /p\ rfa c )

rfa.

OU bien, l’élément de l’intégrale, que multiplie chaque coeflicieiit i’ de la série qui reste, se réduisant à Id (PP^), plus simplement

Or, la série (aa) aux cociïlcicnts C disparait dans tous les cas : i“ par le facteur / s’il <-sl nul ; a° et si / n’est pas zéro, par le facteur c' de P [(ai ) § CLXV J, qui s’évanouit aux deux limites. On a donc définitivement

/? ( rt -f- I ) CT‘‘

car le coefficient C s'obtiendrait de la même manière, en intervertissant les deux facteurs, lors de la sommation.

sim LES cooRnoNNÉES ci hvilignes, etc. 33 i.'?

Avec les coefiieients (i 3 ), les équ.H ions (21) dounent les développements simultanés de deux fonetions connues de a, dans le système déiiui par une valeur Cxe de /, c’est-à-dire exclusivement composé avec les fonetions P où ce nombre est le même. En adoptant successivement toutes les valeurs de /, on aurait autant de développements simultanés diflérents, d’un même couple de fonctions. Mais, pour le système eorrespondani à /= O, la simultanéité cesse, leséquatioiA (21) et les coefficients ( 23 ) 'ne donnent plus qu'un seul genre de développement distinct, qui est

le coefficient E ayant pour expression

On arriverait directement à eette valeur ( 25 ), en établissant d’abord ce théorème particulier, (jue les fonctions P où l est zéro, dounent

(juaiid P et P sont dilVérents, et

i/P rfP' ,

lorsque P= P, ou n'= n. Résultats qui se déduisent d’ailleurs des formules générales (18) et (ly), en annulant /.