LEMME DE LA TORSION SIMPLE

Le second lemme consiste en ce que, si la loi des déplacements est

( 2 ) U — — ozjr, D = az.r , w = o ,

et indi({ue une simple torsion autour de OZ, la force élastique exercée, en M, sur sera nulle, et celle exercée, au même point M, sur l’élément-plan o, perpendiculaire aux Z, sera tangentielle et parallèle aux y. Considérant le même élément de volume cylindrique u de base o, que dans le lemme précédent, la force élastique exercée sur u, sera la résultante des actions exercées sur u> par les quatre angles trièdres situés à droite de o,, et désignés par la

tableau suivant

vu d’un i>oint pris sur le prolongement de OM. Or, il résulte de la loi (a) que les déplacements relatifs seront symétri- (juement les mêmes dans les quatre angles trièdres, (px’ils auront un même premier sens pour le couple (A, A',), et un même second sens pour le couple (A,, A'), mais symétriquement opposé au premier. Les deux actions de (A, A\) sur w donneront une première résultante suivant la bissectrice OX, et les deux actions de (A,, A') tine seconde résultante suivant la même bissectrice, de môme intensité que la première, mais de sens opposé. La résultante totale sera donc nulle.

Prenons maintenant pour ro le cylindre de base o. dont les génératrices sont dirigées vers les z négatifs, la force élastique exercée sur o. sera la résultante des actions exercées sur (i) par les quatre angles trièdres désignés par le nouveau tableau

vu d’un point pris sur la perpendiculaire élevée en INI sur a.. Les déplacements relatifs dans A' sont respectivement les mêmes que ceux dans A, mais symétriquement de sens opposés-, on en conclut que la résultante des actions de ces deux angles trièdres sera dirigée suivant une bissectrice parallèle aux y. On arrive à la même conclusion pour la résultante des actions du couple (Ao, A',). Donc la résultante totale sera la somme de ces deux résultantes partielles, et dirigée, comme elles, parallèlement auxj'.

LEÇONS

"âT a',

SUU LES f.OORDOWWÉES CURVILIGNES, ETC.

CONCLUSIUNS.

Avec ces nouvelles démonstrations, substituées h celles des XM et XVII des Leçons sur l'Élasticité, rétablissement des formules iuscrites aux deux derniers tableaux de la feuille C, et qui se rapportent à l’élaslieilé constante, est complètement dégagé de toute hypothèse, de toute idée préconçue. Et tel est précisément le but que nous nous étions proposé.

Il résulte des leçons précédentes, que, si l'idée des coordonnées curvilignes est venue de la théorie mathématique de l'élasticité, c'est aussi dans cette théorie, que le nouvel instrument conduit aux lois les plus complètes, et rcncoii- \ ^ tre le plus grand nombre d’applications.. Comme on l’a vu, les équations aux dillérences partielles de l’élasticité, transformées à l’aide des divers paramètres du système orthogonal, se présentent sous la forme qui se prête le mieux aux intégrations. Eàt outre, étant exprimées par les courbures des surfaces conjuguées et les variations suivautlesarcs d’intersection , elles donnent elles-mêmes leur interprétation géométritpic, ou les lois ditlérenticlles du phénomène étudié. Il semble, d’après cela, que cette théorie, et cet instrument, fassent deux parties d’un même tout, et tpie l’une ne paisse plus être considérée sans l'autre; sorte de fusion naturelle, qui justifie l'étendue que nous avons donnée à cette dernière partie du (iours.

Si quelque personne trouvait étrange et singulier, que l’on ait pu fonder un Cours de Mathématiques, sur la seule idée des systèmes de coordonnées, nous lui ferions remarquer, que ce sont précisément ces systèmes qui caractérisent

368 LEço^s svn les cooRnONNéEs, etc.

les phases ou les étapes de la science. Sans l’invention des coordonnées rectilignes, l’algèbre en serait peut-être encore au point où Diophante et scs commentateurs l’ont laissée, et nous n’aurions, ni le Calcul infinitésimal, ni la Mécanique analytique. Sans l’introduction des coordonnées sphériques, la Mécanique céleste était absolument impossible. Sans les coordonnées elliptiques, d'illustres géomètres n’auraient pu résoudre plusieurs questions importantes de cette théorie, qui restaient en suspens; et le règne de ce troisième genre de coordonnées spéciales ne fait que commencer. Mais quand il aura transformé et complété toutes les solutions de la Mécanique céleste, il faudra s’occuper sérieusement de la Physique mathématique, ou de la Mécanique terrestre. Alors viendra nécessairement le règne des coordonnées curvilignes quelconques, ({ui jx)urront seules aborder les nouvelles questions dans toute leur généralité. Oui, cette époque définitive arrivera, mais bien tard ; ceux qui, les premiers, ont signalé ces nouveaux instruments, n’existeront plus et seroht complètement oubliés; à moins que quelque géomètre archéologue ne ressuscite leurs noms. Eh! qu'importe, d’ailleurs, si la science a marché!

LlBRiVlRlE DE MALLET-BACHELIER,

Quai des Gi'ands-Aiiguslins, 55.