DISCOURS PRÉLIMINAIRE

iiianiÙTe continue, tons ces triples éléments pourront former, de proclie en |)roche, trois familles de surfaces orthogonales, composant ce qu'on appelle un système isostatiqiie, et qui jouissent de la jiropriété fondamentale {l’étre seules sollicitées normalement par les forces élastiques.

Dans tout système isostatique, chacune des trois familles de surfaces conjuguées a son paramétre, constant pour chaque surface, variable d’une surface à une autre. Ia?s trois paramétres forment évidemment un système de coordonnées, car en leur donnant des valeurs particulières, elles appartiennent à trois surfaces individuelles, qui se coupent orthogonalement en un point, lequel est complètement déterminé jiar ces valeure. De là est venue l’idée des coordonnées curvilignes, dont l’emploi est indispensable quand on veut traiter des corps de formes données, dans les diverses branches de la Physique mathématique.

En eff(!t : dans touft’s ces branches, il s’agit toujoni*s d’intégrer, ou <le déterminer, une ou plusieura fonctions qui doivent vérifier une on plnsieui-s équations aux différences partielles du second ordre, exprimant les lois |ihysiques qui régissent les fonctions dont il s’agit. Et, en outre, ces fonctions, on leurs intégrales générales, doivent vérifier d’autres équations aux différences partielles du premier ordre, pour tous les points appartenant à la surface qui limite le corps <pie l’on veut traiter.

Or, ce jirohléme de double intégration serait complètement inabordable, si l’on ne parvenait pas à rapporter les |)oints du corps, à un sy stème de coordon-

niscouns pkéumin.ure.

nét!S ti-1 que la surface, ou les divers(“s parties qui la » composent, soient exprimées par une de ces coordonnées égalée à une constante. C’est ainsi qu’on a pu traiter : le prisme rectangle à l’aide des coordonnées rectilignes; le cylindre droit par les coordonnées polaires; la sphère à l’aide des coordonnées sphériques; l’ellipsoïde par les coordonnées elli[)tiques.

Dans la théorie de l’attraction, la lonction est le potentiel ; dans celle de la chaleur, c’est la température. L’équation générale aux différences partielles du second ordre, est la même pour les deux théories, quand on ne considère (jiie l’état statique. De là résidte que les paramétres des surfaces d’égal potentiel, et ceux des surfaces isothermes, ohéisseut aux mêmes conditions géométriques. C’est-à-dire que ces deux classes de surfaces se superposent complètement, ou n’en forment qu’une seule. Coïncidence remarquahle, qui rapproche les deux théories, à tel point, qu’en résolvant analytiquement certaine question particulière, chez l’ime, on a immédiatement la solution d’une question correspondante, chez l 'autres.

Ainsi, la théorie du potentiel se balance entre deux analogies : runc avec l’hydrostatique, qui lui a donné la délinition des surfaces de niveau ; l’autre avec la théorie de la chaleur, dont elle peut s’approprier toutes les familles de surfaces. La première analogie re|)ose sur une propriété mécanitpu- commune, la seconde sur l’identité des lormules analytiques; et cette deriiiére (rst certainement la plus utile, puis- (pi’il s’agit d’intégrations.

Dans la théorie matliéinalifjue de l’écpiihhre d’élas-

mSCOUUS l’IlKUMINAIItE.

licite des inliieiix solidi*.s, il y a trois iunctions, reprc*seiitâiil les projections du déj»lacenieiit inoléculain*, et trois équations aux difféi'ences partielles du second ordre, qui régissent simultanément ces trois fonctions.

Lt>s systénms isostalicju*^ correspondants ne paraissent assujettis à aucune autre condition essentielle, (jue celle de l’ortliogonalité des trois famill»‘s de surfaces cpii les composent. Mais, à chacune des trois fonctions, .correspond une certaine famille de surfaces d’égale, intensité. El ces nouvellc^s familles, ou leurs paraméirc's, sont régis par une équation aux différences partielles du cpiatnéme ordre, |)résentant cette identité, en quelque sorte composée, avec l’é- 4|uation unicpie cpii régit le potentiel et le paramétre lhermoméirique, qu’il suffit dédoubler l’ensemble des o[)érations différentielles donnant cette dernière, pour obtenir la première.

Nouvi'an rap|)rocbement ipii fait entrevoir l’avéïiement futur d’une science rationnelle unicpie, embrassant, par les mcmc's formules, les trois brancbc^s des malbématicpies applicpiéc'S, cpie je viens de définir, et, en outre, la tbéoi'ie des ondes soiiorc*set celle dt>s ondcis lumineuses, qui ne sont autres cpie la tbc^orie générale de l’élasticité dans l’état dynamicpie.

Ces considérations me parai.ssent établir, et même démontrer, rimportance, ou pbilc>l la necc'ssité d’une étude spéciale des familles de surfaces et des s\slénu*s oi’tbogonaux. C.etle étude constitue en qiiebpie sorte une nouvelle braiicbe de la Géométrie aiialv licpic* : apri's celb’ des ligues droites ou cciiirbes. aprc's celle (b‘s plans ou ib's surfaces iiidividiielb’S, vient ni'ces-

DISCOUIIS PI1ÉUM1^.\IKK. XI

sairt‘iiu‘111 i’étuclt* des volumes, ou di^ réleiidueà trois diiiK'Usioiis, découpée en éléments de formes divers<*s, suivant l’objet spécial que l’on se propose.

A ces diverses branches de la géométrie analytique, correspondent les diverses j)arties du Galcul intégral. L’intégration des équations différentielles ordinaires, ou des fonctions d’une seule variable, c’est l’étude classique des courbes planes, et à doubles courbures. L’intégration des équations aux différences partielles des fonctions de deux variables seulement, c’est l’étude des surfaces individuelles, ou l’analyse applique!' de Monge, complétée par des travaux nombreux, dt' Gauss, de Liouville, et d’autres géomètres. Enfin, Pintégration des équations aux différences partielles des fonctions de trois variables, correspoiul à l’étude, qui fera l’objet du cours actuel, (b's surfaci's réunies en familb's, des surfaces isotbermes, <les surfaces de niveau, d«'s surfaces d’ondes, des surfaces isostatiques * ou orthogonales.

C’est pourétendre les cas d’intégration des fonctions de plusieurs variables, ipii se pré-sentent eupbjsique mathématique, que cette dernière tliéorie a été iinaginée. Son but était donc pun'ment analytique. Aussi est-ce par l’analyse que les propriétés qui la composent ont été déi'ouvertes. Celles de ces propriétés qui peuvent s’énoncer dans le langage de la géométrie pure, ont ensuite été établies directement, avec plus ou moins de simplicité ou d’élégance. Mais ces procédés d’après coup n<‘ iloivent être considérés que comme de pures xérifications. L’in\<‘ntion ne leur appartient pas; ils la mascjuent ou la déguisent, à la

XII niSCOUIlS PnÉUMINAlIlK.

niailièn' sléiàle dos anciens, el <les géoinélwes du XVII® siècle.

Toutefois, parmi les propriétés des systèmes ortliot;onaux, il en est une, ipii avait été découverte antérieurement par M. Cil. Dupin, i-t ([ni consiste en ce (jiie, deux des familles de surfaces conjuguées tracent, sur chaque surface de la troisième famille, toutes ses lignes de courbure. (Jette belle propriété, reconnue par un trait de génie, est sans doute la première et la [)lus importante. Toutes les autres en sont pour ainsi dire les consécpiences différentielles. Mais leur déduction e\ig<“ l'emploi de la métbode analytique ([ui les a signaléi’s. Et ce sont précisément ces conséquences seules, qui répondent directeimait aux (]U(‘stions de physique mathématique (|u’il fallait résoudre.

S il s’agissait d’une science où tout serait découvert, on pourrait substituer partout, sans inconvénient, sinon avcîc avantage, des vérifications géométriques aux démonstrations analytiqiii'S et primitivi^s. Mais il r<‘ste encore beaucoiq) à chercher, une multdiide de points à éclaircir, et même une nouvelle scienc(“ à édifier. (Jonservons donc avec soin la méthode d’invention, (pii, avant fait ses jireuves, est seule capable d’aborder h‘s dernières difficultés.

En effet, les familles de surfaces, considért-es i.solément ou [>ar association, éclaircissent incontestablement l’état stati(|ue, dans les diverses branches de la |)bysi([ue matbéniati([iie, tel (|ik‘ ré(|iiilihre des tem- [lératiires dans les corps solides, ou r(''(piilibre d’élasticité dans les milieux pondérabl(‘s. Mais, pour étu-

niscou us l-U l'iJ >1 1 N A I R K .

Xllt

ilici' avec succès, el (lèdiiir c()m|ilèleiiieiit l’étal (lyiianiiqiie, il iamlrnit considérer les vaiialiuns des surfaces conjuguées, leurs transformât ions successives, savoir comment se modifient les surfaces isolliermes, les surfaces isostatiques, d’un instant au suivant.

Nouvelle étudt;, (jui éclaircirait et compléterait ; la plupart des problèmes de la mécanique céleste; toute riiydrod\ namique ; la propagation des ondes à la surface «les liquid«‘s; celle des ondes souor«*s ou l’acoustique; celle des ondes lumineuses ou la tliéorie de la lumière; enfin les lois de réchauffement el du refroidissement des milieux pondérables.

C’est toute une quatrième branche de la gf-ométrie transcendante, à peine entrevue, à peine ébauclu'-e, qu’il faudra créer, avant que la plivsi«|ue mathématique, aujottrd’hui stationnaire, puisse faire des progrès nouveaux et définitifs, lit cette branche correspondra à l’intégration des équations aux différences |)artielles d«;s fonctions de «piatre variables, des coordonnées et du temps.

ün ne .saurait trop insister sur cetl«“ correspondance, entre deux branches, l'une de la haute g«'ométri(‘, l’autre de l’analyse infinitésimale. FJb's se |)roposent nu même but, «pi’elles atteignent en restant unies, i n travaillant constamment de conserve; mais, dont elles s’éloiguerai«'iit à jamais, en se s«'-parant, {K)ur s’occuper de recherches divergentes.

Quand on nullité sur l’Iiistoire des malhéuiatiqu«‘s appliquées, on est elfi'clivement conduit à attribuer leurs priuci|)ales décojiverles, leurs progrès les plus

DISCOURS l’RliUMINAlIlK.

(l(Visifs, à l’association de l’analyse et de la géométrie. lit 11*8 travaux, que produit l’imqiloi exclusil de chacun «le ces instruiuents, apparaissent alors coiiiim* des pré|)arations, des perfectionnements, en attendant l’époque qui sera fécondée par letir réunion.

Puisqu’il s’agit ici d’un Cours de Physique mathématique, destiné à r«'pandre la connaissance de cette science, à faciliter les imuvadles recherches, à indiquer les progrès qu elle l'éclaine, je regarde comme un devoir, de respecter l’association créatrice de l’analyse et de la géométrie, lorsque j’«ixposerai la théorie des surfaces orthogonales; de n’avoir r*;cours à la géométrie seule, que pour énoncer, d’une manière claire et précise, les résidtats obtenus; de conserver, enfin, une mt'thode d’invention, qui est loin d’avoir dit son derni(‘r mot.

La Ceométrie pure a certainement la puissance «le faire d«*s découvertes sur son propre teri-ain, commt' le témoignent, si ahondamment, les travaux des Dupin, des Poncelet, des (ihasles, des Steiner, et de leui’s nomhnnix élèves. Admirons ces belles txscherches; cédons parfois à l’attrait qu’elles offrent, en nous essayant sur les mêmes sujets. Mais, si un grand nombre des résultats, ainsi obtenus, ont été utilisés dans les sciences d’application, gardons-nous cependant de croire à une omnipotence de la géométrie seide, qui n’existe pas, et que l’histoiiv de la science dément .

Trop éblouis par la simplicité, la lucidité, l’élégance «le certaines démonstrations pur«>ment géométriqu«*s, ne les substituons pas.partout, en mécanique.

niSCüUKS HHKUMINAinE.

en pliysii|iit‘ inalliéinatiqiit*, aux niclliotlc's analyli<|ii(;s qui oui vorilabliMiieut signalé l(‘s théorèmes énoncés, et qui, bicMi pi-ésentées, sont aussi simples, aussi lucitles, aussi élégantes, et ont de plus le méritf* <h“ l’iiiveution.

Après avoir établi la nécessité d’introduire une nouvelle branche de la géométrie transcendante, et justifié l’emploi de la méthode analytique dans l’enseigiu'ment de cette science, il me reste à indiquer, succinctement, l’ordre des matières qui composeront le Cours actuel. Quelques détails préliminaires sont indispensabliîs pour tracer ce programme.

Dans tout .système orthogonal, outre les trois paramètres des surfaces conjuguées, qui sont les coordonnées cun ilignes, il y a lieu d’introduire trois autres quantités, ou coefficients, dont la considération est nécessaire, pour la complète définition du système. Isolons une des familles, deux de ses surfaces infiniment voisines, et la valeur du paramètre qui appartient à l’une d’elles. Généralement, ces deux surfaces ne sont pas partout également distantes, et l’épaisseur de la couche, qu’elles comprennent, varie d’un<> normale à une autre. Si donc on divise l’accroissement constant du paramétre, par cette é|>aisseiir, ce rapport sera variable, non-seulement d’une couche à une autre, mais aussi dans toute l’élendue d’niie même couche.

Je désigne ce rapport sous le nom de paramètre différentiel de la famille de surfaces considérée. Les paramétres différentiels des trois familles de surfaces conjuguées sont les quantités, ou les coefficients, qui

üisooi: us imii!;i.i M i N a i u !■: .

|)arfiiulariscnt l*> svslème orlliogoiial. Ils sont, (mi gi'iicral, lonctioii des trois roordoiiiices curvilignes, lit, les formules de translorination, l<;s courbures des surfaces, s’expriment à l'aide de ces fonctions, et th* leurs premières dérivées.

Ixnsqu’une des familles conjuguées doit être d’une certaine classe, ou c|u’elle doit ol>éirà des conditions géométriques jiarticuliéres, ces conditions se traduisent analytiquement par une certaine relation entre les paramétres différentiels. Par exemple, si celle famille doit se composer lie surfaces isothermes, et qu’on ado])te le paramétre thermométricpie pour la coordonnée curv iligne (pii lui corn^spond, son paramétre différentiel, divisé par le produit des paramétres différentiels des deux autres familles, doit donner un rapport indépendant de la coordoiiné'e thermométrique, ou qui ne soit fonction cpie des deux autres coordonii(*es. 1^ forme même de cette relation, et des relations analogues qui caractériseraient des familles de surfaces de nature différente, fait bien voir qu’il s’agit ici d’une géométrie analytiipie tout autre que celle de Monge.

Les triais paramétres différentiels, dans tout système isostaticpie, sont loin d’être indépendants, tiar la condition de l’orthogonalité, traduite aualytiipiement, conduit à six équations aux différences parti«;ll(*s du stxond ordre, simultanées el non linéaires, que ces fonctions doivent vérifier.

Ces six écpiationsaux différences partielles forment, en (piehpie sorte, le |irincipe, ou la hase, de la tln'orie des surfaces orthogonales, ou dc's coordonnées cur-

DISCOURS l’RliLIMINAIIU:.

viligiies. Traduites géoniélriqueineiit, elles expriiiieiil les lois qui régissent les courbures des surfaces conjuguées, et leurs variations. Et c’est en les intégrant dans des cas particuliers, ou avec l'adjonction de conditions nouvelles ou simplifiantes, que l’on est parvenu à résoudre des questions importantes pour les Mathématiques appliquées.

Il me sera facile, maintenant, de définir la première partie du Cours, ou la partie théorique. Elle comprendra, ou établira : i° les formules qui servent à passer des coordonnées rectilignes à des coordonnées curvilignes ‘quelconques (1" et III® leçons); a® les expressions des courbures des surfaces conjuguées et <le leurs intersections, à l’aide des paramètres différentiels et de leurs premières dérivées ( II® et IV® leçons); 3° les équations aux différences partielles qui régissent les paramètresdifférentiels, et leur traduction géométrique, ou les lois des variations des courbures (V® leçon).

Pour donner un exemple de la marche à suivre, dans l’intégration des équations précédentes, lorequ’on se propose de déterminer un système orthogonal, satisfaisant à des conditions données, j’exposerai la méthode de recherche qui m’a réellement con- <luit aux coordonnées elliptiques (VI®, Vil®, et VIII® leçons).

Les applications commenceront par la transformation, en coordonnées curvilignes , des équations du mouvement d’un point matériel. Ce sujet, déjà traité dans une thèse remarquable, par M. le professeur Guiraudet, conduit à la généralisation de la théorie

IJISCOÜHS I•RKL1M1NAIHE.

d**s motiv(“mL‘nls relalifs, due à Coriolis. L’emploi d«’S équations transformées, dans le cas d’un potentiel cylindrique, donne lien à des conséquences nouvelles sur le travail des forces (IX* et X* leçons).

Les poteiiti«‘ls cylindriques, linéaires et angulaires, formant une infînité de systèmes orthogonaux triplement isothermes, je donnerai la solution générale du problème de l’équilibre des températures dans tous CCS systèmes; et je considérerai, particulièrement, le système cylindrique hi-circulaire, et celui des lemuiscates (XI*, XII* et XllI' leçons).

.l’appliquerai les coordonnéescurvilignes, aux transformations, conique et cylindri(|ue, des systèmes orthogonaux, parrayonsxicteurs réciproques; lesquelles douueut la solution du problème des températures stationnaires pour les systèmes transformés, loi-squ’ou la connaît pour les systèmes primitifs (XIV* leçon).

I.a dernière partie du Cours sera consacrée à la théorie mathématique de l’élasticité. Elit* comprendra : 1 “ la transformation, eu coordonnéescurvilignes, des équations de cette théorie, la loi des surfaces isostaliques, et son application à la résistance des parois sphériques, cylindriques, ou planes (XV* et XVI' leçons); a” la solution complète du problème de l’équilibre trélaslicité des euveloppi's sphéri<pies, comme exemple de la marche à suivre, dans rintégration des écjuations générales (XVll*, XVII T et XIX* leçons); 3“ eiilin, l’examen des principes qui doivent servir de base à la théorie de l’élasticité (XX* leçon).