XVI
ÉQUATION DE LA CHALEUR PAR LES p,.
Il ne sera pas inutiln.de montrer ici ([ue l’on peut établir directement l’équation générale de la théorie de la chaleur, en coordonnées curvilignes quelconques. On obtient ainsi une démonstration nouvelle de la formule (a6), d'où l’on peut déduire ensuite les valeurs (aa).
La temprralure des dilférents points d’un solide homogène, non cristallisé, étant toujours désignée par V, on sait que le flux de chaleur <pji traverse, dans le temps d/, un él(hn(!nt-plan w, pris dans l’intérieur du corps , a pour expression
(J étant le coeflicienl de la conductibilité, d« l’accroissement de la normale à
Le corps étant rapporté au sy.iième des coordonnées p , , sou élément de volume, W, est un parai léli pi pède rectangle dont les côtés .sont les
U6' LEÇO»>
Si l’on désigne généralement par <ti,, ci>' , les faces de cet .élément, situées sur- les surfaces p, , p, + dp,, on peut regarder W. dont le volume s’exprime indifféremment par
comme recevant de la chaleur par les trois faces w, , et en perdant, au contraire, par les trois faces respectivement opi*osées 0 )'. .
Le flux qui entre par une face w, sera , d'après l’expression (3o),
ou bien
augmentant cette expression de sa dilTérentielle prise par rapport à p, , on aura le flux qui sort par o)' , et retranchant ce dernier flux du premier, il restera
dt>,
remplacaiil ti), d (5, pat rfp , valeur déduite
groupe (3i ) , el additionnant les trois excès semblables, siura
du
on
7 d^d P do,
O dfi
rfp,
|>our le gain total de chaleur que fait W pendant le temps d t.
C«; gain élèvera sa Icmpératurc de-j^dt, ci sera conséqurminriil égal .à celle élévalion , multipliée par le calo-
SI R l.ES COORDONNÉES CIJR¥1LICNES, ETC. ‘IJ
lique spécifique C du corps, par la'densilél), el parle volume (3i ) de W , c’est-à-dire à
. dù doi dp, d\ • •
CD d t “ — •
Jpes deux expressions dilTéreiiles , de la -chaleur, donnera, en supprimant les facteurs commfïtns, multipliant par o, divisant par q, et
représentant par k la fraction — >
Enfin, l’égalilë^ môme quanti)
dt '
pour l’équation générale el]
Particulièrement , si les edSï^nnées étaient rectilignes, . ou si les surfaces Orthogonales étaienS^ois familles de plans
parallèles, les A, , et par suite cr, devenant tous ^aux à /al\ I. t, .
l’unité, l’équation (3à) prendrait Ja forme^
rfV ^ £V *
dt ^ du'
Or, l’accroissement de la température, en chaque point, est évidemment indépendant du système de coordonnées; les seconds membres des équations (32) et (33) doivent donc être identiquement égaux.
Ce qui établit directement la valeur, (28) ou (26), du paramètre différentiel du second ordre de \ , représentant d’ailleurs une fonction-de-point quelconque. Et si la fonction V, des p, , se réduit particulièrement à l’une des coordonnées curvilignes, cette valeur (28) donnera, inversement, la formule (29), ou les valeurs (22).
LECOISS
