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CVRACTÈRE ET UTILITÉ UES à,.
J’insiste principalement sur l’équation (26) ou (28). F.lle donne une définition du paramètre différentiel du second ordre, beaucoup plus générale que celle du § III. Car si l’on rapportait successivement la fonction-depoint à tous les systèmes imaginables de surfbces orthogonales, la forme (26) serait toujours la même, et reproduirait une même valeur numérique pour chaque point.' Particulièrement, lorsque les familles conjuguées sont trois familles de plans parallèles, les /i,, ou les parainèlres différentiels du premier ordre, soni tous égaux à l’unité, cl
a4 • LEÇoris
l’équatloii (a8), $e réduisant alors à
du''
comprend la première définition.
Cette constance de forme et de valeur explique, en quel- • que sorte, comment il se fait que presque toutes les équations aux différences partielles , qui concentrent les lois des phénomènes physiques , peuvent s’exprimer à l'aide de certaines fonctions-dc-point et'de leurs paramètres différentiels du second ordre, sans qu’il soit nécessaire de spécifier le système de coordonnées que l’on adopte.
En effet : dans la théorie du potentiel , P, l’équation générale est
Dans la théorie analytique de la chaleur, la température. Y, est régie par l’équation
lors de l’état permanent, et par celle-ci
dt
lors du refroidissement. Dans la théorie mathématique de l’élasticité des solides homogènes non cristallisés, la dilatation cubique, 6, est régie par l'équation
lors de l’état statique , et par celle-ci
dt^
~ fl' A, (
lors des vibiations ; de plus, les projections du déj)laccment moléculaire, et les coin|X)santcs des forces élastiques.
SOI» LKS (OORUONNÉES C» KVII.ICRF.S, ETC. 3J
lors (le l’état d'équilibre, véiüiem toutes l'équation A, . 4, F = O.
En résumé, lorsqu’une classe de phénomènes physiques dépend des variations d’une certaine fonction-dc-point , c'est presque uniquement par son paramètre dillérentiel du second ordre que celte fonction intervient. Comme si ce paramètre était une dérivée naturelle, plus essentielle, plus simple, et en même temps plus complète, que toutes les dérivées partielles, choisies plus ou moins. arbitrairement, que l’on a l’habitude de considérer.
