COURBURES DU SVSTÈ.ME SPHÉRIQUE

Alin d’éclaircir et de vérifier plusieurs des théorèmes établis dans cette leçon, considérons particulièrement le système des coordonnées sphériques. Les trois familles de surfaces conjuguées, sont ; i” les plans méridiens passant par l’axe polaire, et dont le paramètre est la longitude ou l’azimut <{<', 2 ° les cônes droits entourant l’axe, et dont le paramètre est la latitude q>-, 3° les sphères concentriques dont le paramètre est le rayon r. Posant donc

les ds, dont les valeurs sont connues, donnent les éija-

Comme rela était d’ailleurs évident, des si\ courbures trois sont milles, savoir: les deux courbures du pian méridien, et la courbure du cône de latitude qui correspond ii sa ligne de courbure rectiligne. Des trois courbures (jiii restent, celles de la sphère sont égales entre elles, et à celle d'un grand Cercle (ce que l’on savait) ; mais elles sont négatives (ce que l’on ne savait pas bien ), parce que leur centre commun est placé sur la partie négative de la normale à la sphère, c’est-à-dire du côte où le paramètre r diminue. Enfin, la courbure du cône de latitude, correspondante à sa ligne de courbure circulaire, et dont la valeur absolue était facilement assignable, csl positive , parce que son centre, situé sur l’axe polaire, est placé sur la partie positive de la normale au cône; c’est-à-dire sur la partie

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de cette normale, dirigée du côté où le paramètre & va en augmentant.

Les trois courbures paramélricpes sont nulles dans le système sphérique; car il résulte des valeurs (27), que h ne varie pas avec p ou i|/, ni h, avec p, ou ip, ni A, avec p, ou (Les courbures paramétriques étant pareillement nulles dans les deux autres systèmes idassiques de coordonnées, on comprend (|ue ces courbures aient pu rester inconnues; on verra, par les leçons qui vont suivre, que leur considération est utile dans la théorie générale des coordonnées curvilignes. ) Appliquant ici le second corollaire du § XXXI, on a immédialenient

, , . lanu O 7.

§ XXXllI.

SES CfXlKDONNÉES THERM0.MÉTR1QUES.

Le rapprochement des valeurs (ay) et (29) conduit aux rapports

A, f siii <f

cos<?’

d’où Ton conclut, d’après les règles du § XXJ, d'abord, que le système sphérique est (ormé par trois familles de surfaces isothermes; ensuite, que les paramètres thermométriques de ces familles sont

/ étant une longueur constante quelcon(|ue.

Lorsqu’on adopte ces coordonnées p, et p, ( 3 i), au lieu de p et r (26), leurs paramètres diflérentiels du premier

SL'R'ltS CUORUO.NAtES CL R V ILIUAES, ETC. 5j

ordi-c, que nous désignerons par h\^h,, ne sont plus les //,i h,{ay). f>'ailleurs, en diÜ'éreniiaiu les deux dernières (3i)’ ou a

lif, I .rfç

fiu cos f du

du 7>’

puis élevant au carré, faisant la soiniiiation > cxlrayaiit

la racine can-ée, c*t cela sur chacune de.s deux dérivées précédentes, on obtient

r cos Ÿ

Avct ces valeurs (3a), et celle (27) de h qui est conservée, la formule (36), § XXII, donne jvour l’expression siinpliliéedes A, , dans le système sphérique, celle-ci

„ I /rf'F rf>F\ l‘d^V ( 33) ■ A,F = -p- — “ ( -t- -j-TT ) H — ^ -T-f i

r'ros’ç \dp‘ “P,/ r' rfp;

où l’on doit considérer cos 9 comme une fonction de la coordonnée 0,, r comme une fonction de la coordonnée p^.

Ce dernier paramètre p, représente le potentiel dans la famille des surfaces de niveau, sphériques et concentriques. Par rélimiiiatiiiu de r, faite à l’aide de la dernière (3i), les valeurs (3a) deviennent

(3a bis)

I eus f

et leur substitution dans les formules (24) donne A', d/l /i,d/i'.

pour la valeur commune des deux courbures de la surface p,.