Réciproquement^ étant donnée l'équation d'une courbe
cp(a:, y, z) = 0,
on sait que les coordonnées des tangentes à cette courbe satisfont à une équation homogène en w, u, iv. On obtient cette condition en éliminant x, y, z entre les équations
30 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉ03IÉTRIE PLANE
et
ux -+- vy -+- tvz = 0.
33. Ainsi, à côté de réquation d'une courbe, c'est-à-dire de la relation à laquelle satisfont les coordonnées de tous les points de cette courbe, vient se placer une nouvelle équation, non moins importante, entre les coordonnées des tangentes à cette courbe.
Nous appellerons cette dernière équation Yéquation tangentietle de la courbe , et, pour éviter toute confusion, nous qualifierons de ponctuelle l'équation entre coordonnées de points que l'on considère au début de la géométrie analytique.
En résumé, l'e^/wa^/on far?^^n/ie//e d'une courbe est la relation que doivent vérifier les coordonnées d'une droite pour que cette droite soit tangente à la courbe, de même que réquation ponctuelle est la relation que doivent vérifier les coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la courbe.
On déduit ces équations l'une de l'autre à l'aide des calculs indiqués plus haut ; on en constatera sans peine l'analogie complète.
On voit ainsi qu'une courbe est aussi bien déterminée par son équation tangentielle que par son équation ponctuelle.
34. Classe d'une courbe. — Supposons que l'équation tangentielle d'une courbe soit algébrique, il en sera de même de son équation ponctuelle ; on dit alors que la courbe est algébrique.
Nous allons montrer que l'équation tangentielle a toujours le même degré, quels que soient les axes de coordonnées auxquels on rapporte la courbe.
Nous établirons dans ce but les formules très importantes de transformation de coordonnées qui nous seront très utiles dans la suite.
Soit ux 4- vy -+- ir = 0
l'équation d'une droite D rapportée à deux axes de coordonnées xOy faisant l'angle 6.
Considérons un deuxième système d'axes, x-'0'y\ définis parles coordonnées /9, q de l'origine 0' et parles angles a et p que fait Ox avec les directions O'x' et O'y'.
L'équation de la droite D dans ce nouveau système sera de
la forme
u'x' -{- v'y' -\- lo' = 0 .
Nous nous proposons de calculer w, v et w en fonction de i/, v' et îc'.
Entre les coordonnées x, ?/, et x\ ij d'un môme point, on a les formules connues
x' sin (0 — a) -f- y' sin (0 — S)
sin 0
x' sin cn-^y' sin [3 sin 0
de telle sorte que l'équation de la droite D par rapport au système x'O'y' sera
[a?'sin(6— a)-i-î/'sin(0— B) n ra?'sina+?/'sin B i sm 6 'J L smO ^J
ou
wsinfO — a)-!-t^sina , i^sinfO — 8)4-1; sin B , smO sinO '^
Mais comme nous écrivons aussi l'équation de cette droite
sous la forme
u'x' -\-v'y'-\-îv' = 0,
on aura
u sin (6 — a) + u sin a ,
w sin (6 — C:) + î;sin^ ,
sin 0 — ^ '
vp -^vq -\- V) = X?r',
X étant un nombre arbitraire, différent de zéro. En résolvant par rapport à w, u, te, on obtient
. u' sin 3 — v' sin a U=k' ^ — ■ ■ ,
sin ([â — a) , — i/ sin (0 — S) -+- 1;' sin (e — a) ^ ^,,
sni 0 — a) '
" — /)sin3-h(7sin(0 — 3) , wsina— <7sin(0-a)
sin ([3 — a) sin(ii — a^
Telles sont les formules générales de la transformation de coordonnées.
Si
f{u, V, iv) = 0
est Téquation tangentielle d'une courbe G par rapport aux axes xOy^ on aura Féquation de cette même courbe par rapport aux axes x'O'y' en remplaçant w, u, w par leurs valeurs (4) en fonction de u\ v', w'.
Comme w, v, iv sont des fonctions linéaires et homogènes de ?/, v', iD\ le premier membre de l'équation de la courbe conservera le môme degré.
C'est ce nombre qu'on appelle la classe de la courbe.
Le nombre A disparait dans la substitution.
Si les nouveaux axes sont parallèles aux premiers et ont le même sens, les formules (4) deviennent
u = Àa', \
V = Iv', i (5)
IV = l{ — pu' — qv' -h w'). j
Enfin, on peut aussi définir les directions O'x' et O'ij' en donnant les coordonnées de leurs points directeurs ; c'est-àdire les coordonnées des points situés à l'unité de distance de l'origine 0 sur les parallèles à ces directions menées par ce môme point 0. Si a, ^ et a', ^' désignent les coordonnées de €es points directeurs, on a les formules de transformation
X = eux' -+- ol'}j' -1-/9,
on en déduit les formules
Iv' = wa' -H vi\ y (6).
\tv' = up-\-vq -h IV, ) d'où Ton peut tirer w, t», ic en fonction de u\ v\ w' .
35. La classe d'une courbe est égale au nombre de tangentes qu^on peut mener à la courbe par un point quelconque du plan.
Si rco, î/o, Zq désignent les coordonnées du point, les tangentes issues de ce point à la courbe seront déterminées par
les équations
f(u, V, iv) = 0,
ux^ -h vij^ -h ivz, = 0,
et le nombre de solutions est égal au degré de la fonction
36. On sait qu'en général par un point on peut mener m(m — 1) tangentes à une courbe de degré m; il en résulte que la classe de cette courbe est en général m{m — 1) ; mais ce nombre peut se réduire si la courbe présente des points multiples.
Comme les équations tangentielle et ponctuelle d'une courbe se déduisent l'une de l'autre par des calculs entièrement analogues, le degré d'une courbe de classe m est en général m {m — 1); mais il peut se réduire, comme nous le verrans plus loin, si la courbe présente des tangentes multiples.
37. Nous allons maintenant appliquer ces considérations générales à quelques cas particuliers.
Nous avons vu au numéro 23 que si l'on suppose
COORDONNEES. — 11
réquation
f{u,v,2v) = au^ -ha'v^ ^ a"iv^ -i-'^bviv-h^b'wu-h^b"uv = 0 (7)
représente deux points.
Supposons maintenant a 7^ 0 ; l'équation représente alors une courbe de deuxième classe dont nous allons chercher réquation ponctuelle.
Les relations
fu Jv Jw
UX -^ VIJ -\- IVZ = 0,
entre lesquelles on doit éliminer w, v, lo, peuvent s'écrire
au H- b"v H- b'io — \x = 0,
b"u 4- a'v H- bîv — X?/ = 0,
b'u -+-bv -^ a"iv — Iz = 0, l
ux-i- vij-\- iVZ = 0. /
Le résultat de l'élimination est
équation qui est du deuxième degré ; donc les courbes de deuxième classe sont du deuxième degré.
En développant le déterminant qui figure dans le premier membre, on obtient un résultat fort remarquable, qu'on peut d'ailleurs faire apparaître plus simplement en dirigeant l'élimination d'une manière différente.
Résolvons les trois premières équations du système (8) par rapport à w, u, iv en appliquant la règle de Cramer, et en désignant comme nous l'avons déjà fait par A, A', A", B, B', B" les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement du déterminant a.
On obtient
XV = l{B"x-^\'ij-i-'Bz), XIV == l{B'x-hBij-{-X"z);
il ne reste plus alors qu'à transporter ces valeurs de w, v, w dans la dernière équation du système (8), ce qui donne
o{x, y, :;) = Aa?2-hAy-f-AV-|-2Bî/s-t-2B'«a?-f-2B"a?iî/ = 0; (9)
on a ainsi Téquation ponctuelle de la conique.
On vérifiera aisément que
si Ton désigne par A' le discriminant de la fonction o[x^ ?/,z),
on sait que
on en conclut que a' ^ 0, et par suite que l'équation (9) représente une véritable conique.
38. Réciproquement, si Ton donne Téquation ponctuelle d'une conique, l'équation (9), par exemple, on aura Téquation langentielle par un calcul identique ; on obtiendra Téquation
B' B k" lu
(1) On le démontre en faisant le produit des deux déterminants A et a' ; on obtient un déterminant de même ordre dont tous les éléments sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à A- On a alors
