Supposons en second lieu que l'on ait

l'équation (10) admet alors deux racines nulles en ;jl, quel que soit le point A choisi sur la droite D ; cette droite est tangente double.

Pour déterminer les points de contact, il suffit d'écrire que

réquation (10) a trois racines nulles, c'est-à-dire que

Cette équation exprime que la droite {u\ v\ iv') passe par deux points dont l'équation est

(uz-j + vz-j+w/;;), -0 (^).

On peut d'ailleurs remarquer a priori que cette équation représente deux points. Car si elle représentait une véritable conique, par tout point de la droite D on pourrait mener deux tangentes à cette conique, les coordonnées u', v\ w' de l'une de ces tangentes annuleraient le coefficient de [jl-, et par suite par tout point de la droite on pourrait mener à la courbe trois tangentes confondues avec la droite D, ce qui est impossible si toutes les dérivées partielles du second ordre de la fonction ne sont pas nulles.

On peut donc dire que les points de contact sont déterminés par l'équation

49. Si, maintenant, les dérivées partielles du second ordre de la fonction /"(w, v, w) sont nulles pour les coordonnées de la droite D, cette tangente sera multiple d'ordre trois^ etc. . . ; on continuera aisément le raisonnement, et on sera conduit au résultat suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une tangente soit multiple d'ordre p est que les coordonnées de cette tangente

(1) Il est aisé de voir que le' discriminant du premier membre est nul, car on a

(m - l)/-^ = uQ, + vf:^ + i^^C = 0,

[m - i)a = uf'^^ H- <, + <4 = 0, ■

(^ - i)/X = ^fL + ^A:« + ^<^ = 0 ;

ces trois équations admettant des solutions non toutes nulles en u, v, ic, leur déterminant est nul.

unnulent toutes les dérivées partielles d'oindre p — 1 de la fonction f(u, u, tv). ^^)

L'équation de Vensemble des p points de contact sera

le premier membre est décomposable en un produit de p facteurs linéaires.

50. Principe de dualité. — Les considérations qui précèdent vont nous permettre maintenant de bien faire comprendre en quoi consiste le principe de dualité.

Dès le premier chapitre, on reconnaît à chaque instant l'analogie complète qui existe entre l'équation ponctuelle d'une droite et l'équation tangentielle d'un point, entre l'équation générale des droites passant par un point et l'équation générale des points situés sur une droite, . . . etc.

Plus loin, nous avons vu qu'une courbe est représentée aussi bien par son équation tangentielle que par son équation ponctuelle, les calculs qui conduisent de l'une de ces équations à l'autre étant semblables dans les deux cas. L'équation du point de contact d'une tangente (wi, Vi, lUi) à la courbe

f{u, V, IV) = 0 (C)

a même forme que l'équation de la tangente au point (xi, ?/i, ^i)

à la courbe

Ax, y, z) = 0. (r)

On constate la même analogie en ce qui concerne les conditions pour qu'une droite soit tangente multiple d'ordre déterminé à la courbe (C) et pour qu'un point soit point multiple du même ordre de la courbe r.

D'une manière générale, imaginons une propriété quelconque relative à une figure plane composée de points, de droites, de courbes quelconques ; cette propriété s'exprime par une ou

(1) Si cette condition est remplie, la fonction f{u, i\ ic) et toutes les dérivées partielles d'ordre inférieur à p — i sont également nulles pour les coordonnées de la tangente.

plusieurs relations entre des coordonnées de points {x, ?/, z) et des coordonnées de droites (w, ?;, w).

Changeons la signification de ces quantités dans ces mêmes relations, c'est-à-dire supposons que les lettres a?, y, z représentent des coordonnées de droites, et que les lettres w, v, lo représentent des coordonnées de points ; aux équations ainsi modifiées correspondra une nouvelle propriété qui se rapportera à une nouvelle figure, et l'on dira que cette propriété est corrélative de la première.

A l'aide de cette simple remarque, nous obtenons un moyen de doubler en quelque sorte chaque théorème de la géométrie plane, et le principe qui permet ce dédoublement est ce qu'on appelle le principe de dualité.

51. Il est à peine utile de faire observer que la première propriété se déduit de la seconde par le même procédé ; c'est pourquoi l'on peut dire que les deux propriétés sont corrélatives l'une de l'autre, ainsi que les deux figures auxquelles se rapportent ces propriétés.

D'après cela, à un point ayant pour coordonnées a, ^, c, appartenant à Tune des figures correspond dans l'autre figure une droite qui a pour coordonnées a, b, c, c'est-à-dire pour équation ax -\- by -\- cz = 0, et réciproquement.

A une courbe (r) ayant pour équation ponctuelle

€t appartenant à la première figure, correspond dans la seconde une courbe (C) ayant pour équation tangentielle

f{u, V, îo) = 0 ; (C)

aux points de la courbe (r) correspondent les tangentes de la courbe (G).

Le degré d'une courbe est égal à la classe de la courbe correspondante.

52. A des points en ligne droite correspondent des droites passant par un même point.

Considérons en effet l'équation d'une droite

ax -h by -i-cz = 0, < '

a?, r/, z désignant les coordonnées d'un point variable de cette droite, et a, 6, c les coordonnées fixes de la droite. Changeons la signification de ces coordonnées, l'équation précédente exprimera que toutes les droites qui ont pour coordonnées X, y, z passent par le point fixe (a, b, c).

Nous voyons en même temps que la droite sur laquelle sont les points correspond au point par lequel passent les droites correspondantes.

En particulier, au point de rencontre de deux droites correspond la droite qui joint les deux points correspondants.

Observons aussi qu'à la droite de l'infini correspond l'origine des coordonnées, qu'à des points à l'infini correspondent des droites passant par l'origine et qu'à des droites parallèles correspondent des points en ligne droite avec l'origine.

53. Applications. — Soient M et M' deux points voisins de la courbe (r), T et T' les tangentes correspondantes de la courbe (C) ; ces deux tangentes se coupent en un point H qui correspond à la droite MM'.

Supposons que le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite MM' a pour limite la tangente en M à la courbe (r) ; mais alors la droite T' se rapproche indéfiniment de la droite T, et le point H a pour limite le point de contact de la droite T, et comme le point H correspond toujours à la droite MM', il en résulte que le point de contact de la langente T correspond à la tangente au point M.

Dès lors l'équation de la tangente au point M(a?i, î/i, Si) étant

l'équation du point de contact de la tangente T (qui a pour coordonnées Wi = a^i, v^ = j/i, ivi = Zj) sera