XY^O
f[, xz = 0,
UX + YY -h WZ = 0.
Si l'équation est du deuxième degré, si l'on a
/•(U, V,W) = aU--ha'V2H-a"W=^-f-2^VW-i-2ô'WUH-26"UV = 0, l'équation ponctuelle s'écrira
ou
AX^4-A'Y2+A"Z2-i-2BYZ
en supposant, bien entendu,
2B'ZX -h 2B"XY = 0,
b" a' b b' b a Tout ce qui a rapport aux tangentes, aux points de^contact^
COORDONNÉES TRILATÈRES 261
aux pôles et polaires dans les coniques, à Tintersection de deux coniques, en un mot à toutes les propriétés descriptives des figures se traite de la même manière en coordonnées homogènes et en coordonnées trilatôres.
232 Coniques inscrites dans le triangle de référence. —
En écrivant que Téquation
aU2-|-a'V^4-a"W^+26VW+26'WU + 2^"UV = 0
est satisfaite par les coordonnées des côtés du triangle, on
obtient
il en résulte que Féquation générale cherchée peut s'écrire
2<5>VW + 26'WU -h2^"UV = 0.
L'équation du point de contact d'une tangente Uq, Vq, W^ sera
^( VWo -t- WVo) 4- è'(WUo 4- UWo) 4- 6"(UVo + VUo) = 0.
Parexemple le point de contact A' du côté BC (Vo = Wo=:0) aura pour équation
ou
Il en résulte que les coordonnées de la droite AA' vérifient
l'équation
et la symétrie du premier membre montre que les coordonnées des droites BB' et CC satisfont également à cette équation.
Il en résulte que les droites joignant les sommets aux points
de contact des côtés opposés sont concourantes, et que le
point de rencontre a pour coordonnées trilatères —, - et
b"' Comme U, V, W représentent les premiers membres des
équations des sommets du triangle ABC, si Ton suppose que Ton prenne pour axes de coordonnées les droites CA et CB, et que Ton désigne par a et P les longueurs CA et CB, on aura
U = llOL -HIW,
W = w, et Téquation générale des coniques inscrites s'écrira
'^bw[v^
ÎU]
'2b"(ux-^iv){v'^-hiv) = 0.
233. Il est aisé, à l'aide de cette équation, d'établir qu'il existe une conique et une seule tangente à cinq droites dont quatre ne sont pas concourantes, et de montrer qu'on aune véritable conique si trois des droites données ne passent pas par un même point.
Prenons en effet trois des tangentes pour côtés du triangle de référence, et désignons par (Uq, Vq, WJ et (Ui, Vi, W,) les coordonnées des deux autres tangentes. L'équation de la conique cherchée sera de la forme
èVW-h^'WU + A'UV = 0,
et l'on aura pour déterminer 6, b\ b" les équations
ôViWi H- ô'WiUi -h ^'"UiVi = 0.
Supposons d'abord que ces deux dernières droites ne passent pas par un sommet du triangle; les relations précédentes peuvent s'écrire
on en tire
COORDONNÉES TRILATÈRES 263
et si les deux droites ne se coupent pas sur un côté du triangle, les trois nombres h, b', b" ne sont pas nuls, le discriminant du premier membre de l'équation de la conique n'est pas nul, et Téquation représente une véritable conique.
Si la droite (Uq, Vq, Wq), par exemple, passe par le point A, Uq est nul ; on trouve alors 6 = 0, la conique se réduit à deux points, dont le point A.
234. Étant donnée l'équation tangentielle des coniques inscrites à un triangle,
26VW + 26'WU-+-26"UV = 0, l'équation ponctuelle correspondante sera
b-X^ -h b''Y^ -^h"'Z' — Wb"YZ — '2b"bZX — 2bb'X.Y = 0, qu'on peut mettre sous la forme
v/M±:v/^ii=v/FZ=0, "
équation ponctuelle bien connue des coniques inscrites dans le triangle de référence.
Par un calcul tout semblable on verrait que les coniques circonscrites au triangle de référence ont pour équation ponctuelle générale
26YZ -h 26'ZX + -2b"X.Y = 0
et pour équation tangentielle générale
b^\]'-hb'^\'-hb"'W' — ^b'b"y'W — '2b"b'N\] — 2bb'UY = G
ou
s/b\]zhs/ày±^b"W = 0.
235. Coniques conjuguées par rapport au triangle de réfé rence. — Soit
/'(U,V,W)=:aU2 + a'V2+a"VV^H-26VW-h26'WU+26"UV= 0
Téquation d'une conique.
Le pôle d'une droite (U„, V^, Wq) a pour équation
UoAh-VoA + w„a- = o.
Il en résulte que le pôle de la droite^ BG a pour équation
pour que ce pôle soit le point A, il faut que cette équation se réduise à U = 0, c'est-à-dire qu'on ait b' = b" ^ 0.
De même en écrivant que le pôle de CA est le point B, on obtiendra la nouvelle condition
6 = 0, et alors on constatera aisément que le point G est le pôle de AB.
Les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation donnée représente une conique conjuguée par rapport au triangle de référence sont donc
b = b' = b" = ^', l'équation cherchée est alors
Nous avons obtenu cette équation au numéro 111.
236. Coniques circonscrites et inscrites à un quadrilatère. —
Soit le quadrilatère PQRS ; prenons comme triangle de référence ABC le triangle qui a pour sommets le point de concours des diagonales et les points de rencontre des côtés opposés.
Nous commencerons par chercher les équations des côtés et des sommets.
Étant donné le triangle ABG,
COORDONNÉES TRILATÈRES 265
on construira le quadrilatère en se donnant deux droites quelconques BP et BS conjuguées harmoniques par rapport à BA et BG, puis deux droites quelconques GR et CS conjuguées harmoniques par rapport à GA et CB ; on voit alors que les droites PR et QS se coupent au point A, car lorsque deux faisceaux harmoniques ont un rayon homologue commun, les trois autres couples de rayons homologues se coupent en des points en ligne droite.
Soient
