Y-Z = 0, (QS
Yh-Z = 0. (PRl
On déduit de là immédiatement les coordonnées des sommets et leurs équations.
Par exemple les coordonnées du point P satisfont aux équations
266 COORDONxXÉES TANGENÏIELLES. GÉOMÉTRIE PLANE
en prenant X == 1, on trouve Y = 1 et Z = — 1; par suite l'équation de ce point est
Les équations des sommets seront
U-HV-W-O, (P)
U-hV-hW = 0. (S)
L'équation générale des coniques circonscrites au quadrilatère sera alors
X2 — Z^ + A (X2 Y^) == 0 ou
X2(l + X) — XY^ — Z^ = 0,
équation qu'on peut mettre sous la forme plus symétrique
aX^ + a'Y' + a"Z' :^ 0,
avec la condition
a-^-a'-ha" = 0.
L'équation tangentielle correspondante peut s'écrire
avec la condition
Nous voyons ainsi que les coniques circonscrites à un quadrilatère sont conjuguées par rapport au triangle qui a pour sommets le point de concours des diagonales et les points de rencontre des côtés opposés.
Cherchons maintenant l'équation générale des coniques
inscrites ; nous formerons d'abord l'équation tangentielle, qui
peut s'écrire
PR + XQS = 0,
P, R, Q, S étant les premiers membres des équations des
sommets du quadrilatère.
COORDONNÉES TRILATÈRES 267
On obtient donc
(U+ V — W)(U — V+W)-}- X(U— V — W)(Uh-Vh-W)=:0
ou
U2 — (V - VJf + À [U^ — (V + W] = 0
U2(l + X) — V-'(i + X) - W{i H- A) — 2VW (X — i) =r 0
ou, en divisant par X + 1,
U2 V^ w^ + 2;jlVW = 0.
On voit ainsi qu'il n'existe qu'une seule conique du faisceau conjuguée par rapport au triangle ABC; elle a pour équation
elle touche chaque côté du quadrilatère aux points où ces côtés sont rencontrés par les droites AB et AC. L'équation ponctuelle correspondante est
(i ja2)X2 Y-' — Z^ - 2[JtYZ =: 0.
