X + Y— Z = 0. (SP
L'équation générale tangentielle des coniques inscrites sera
U2__W2-f-A(U2 — V2) = 0 ou
équation qu'on peut mettre sous la forme
avec la condition
a-^a'-ha" = 0.
L'équation ponctuelle correspondante peut s'écrire
ou
avec la condition
Nous voyons ainsi que les coniques inscrites à un quadrila-
COORDONNÉES TRILATÈRES 269
tèr^e sont conjuguées far rapport au triangle formé par les trois diagonales.
L'équation ponctuelle générale des coniques circonscrites sera
(X-hY-Z)(X — Y-f-Z)-^X(X — Y — Z)(X + Y + Z) = 0
ou
X\i + X) — Y-Xl H->^) — Z-2(l 4- X) — 2YZ (X — 1) = 0
ou, en divisant par X + 1,
X2 — Y- — Z2 + 2fxYZ = 0.
Il existe une seule conique du faisceau conjuguée par rapport au triangle ABC ; elle a pour équation
elle est tangente aux droites CQ, GS, BR, BP. L'équation tangentielle des mêmes coniques est
(1 ^2) TP- V- - W^ — 2[JtVW = 0.
On voit qu'il existe une grande analogie entre les équations de ce numéro et celles du numéro précédent ; on déduit les secondes des premières en échangeant les coordonnées de droites en coordonnées de points et inversement.
On pouvait prévoir cette analogie en se fondant sur le principe de dualité, car si on transforme la première figure, au quadrilatère correspond un autre quadrilatère, et au triangle qui a pour sommets le point de concours de deux diagonales et les points de rencontre des côtés opposés correspond le triangle dont les côtés sont les diagonales du nouveau quadrilatère,
238. Théorème de IIesse. — Toute conique qui divise harmoniquement deux diagonales d'un quadrilatère divise harmoniquement la troisième diagonale.
Prenons pour triangle do référence le triangle des trois diagonales, reportons-nous à la figure du numéro précédent el adoptons les mêmes notations.
Soit
AX2 4- A'Y2 + A"Z2 4- 2BVZ + 2B'ZX + SB'XY = 0
J'équation d'une conique .
Pour que deux points (X, Y, Z) et (X', Y', T) soient conjugués par rapport à cette conique, il faut qu'on ait
AXX'+A'YY'+A"ZZ'-hB(YZ'-hZY')H-B'(ZX'H-XZ')+B"(XY'+YX')=:0.
Les points P et R ayant respectivement pour coordonnées 1,0, 1 et 1,0, — 1 seront conjugués par rapport à la conique si l'on a
A — A"=rO.
On voit de même que pour que les points Q et S, H et K soient conjugués par rapport à la conique, il faut qu'on ait A — A' = 0, A' — A" = 0.
Cette dernière relation étant conséquence des deux précédentes, le théorème est démontré.
En supposant que X, Y, Z représentent des coordonnées de droites et en se reportant aux notations du numéro 236, ou, ce qui revient au même, en transformant par le principe de dualité, on obtient le nouvel énoncé qui suit :
Toute conique conjuguée par rapport aux côtés opposés d'un qua- •drilatère est conjuguée par rapport aux diagonales.
239. Théorème. — A toute droite du plan correspond une droite conjuguée par rapport à toutes les coîiiques inscrites dans un quadrilatère. Si l'une des droites tourne autour d'un point^ la seconde enveloppe une conique inscrite dans le triangle conjugué commun à ■toutes les coniques du système.
Prenons pour triangle de référence le triangle formé par les diagonales du quadrilatère ; l'équation tangentielle des coniques inscrites est (237)
aW 4- a'V2 -+- a"W^ = 0, avec la condition
Le pôle d'une droite (Uq, Vq, Wq) a pour équation . «UUo 4- a'VVo -4- «"WWo = 0 ; <:ette équation est satisfaite par les valeurs î-t- » rp> r^ ) on voit
ainsi que les deux droites (Uq, Vq, Wq) et (rr^ y-' ttt-) sont conjuguées par rapport à toutes les coniques du faisceau.
Si la première passe par un point fixe, c'est-à-dire si l'on a
aUo + ?Vo 4- yNVo = 0,
COORDONNÉES TRILATÈRES 271
les coordonnées de la seconde vérifieront l'équation
OU
aVW + ?WU + yUV = 0,
équation qui représente une conique inscrite au triangle de référence.
En transformant par le principe de dualité, on peut énoncer le théorème suivant :
A tout point du plan correspond un point conjugué par rapport à toutes les coniques circonscrites à un quadrilatère. Si l'un des points décrit une droite, le second décrit une conique circonscrite au triangle conjugué commun à toutes les coniques du faisceau.
240. Propriétés métriques. — Ces quelques exemples montrent combien l'emploi des coordonnées trilatères peut être utile dans l'étude des propriétés descriptives des figures.
Mais dès qu'on aborde les propriétés métriques, les formules se compliquent et l'emploi de ces coordonnées exige des calculs souvent laborieux.
Nous allons d'ailleurs le reconnaître dans ce qui suit en nous bornant aux propriétés les plus élémentaires.
Mais auparavant il est nécessaire de donner un sens plus précis aux coefficients «i, «2, .•• des formules (1).
Nous poserons, selon l'usage,
X = — X cos X — ?/ sin X -i- pz, \
Y — — X cos i-i — y sin ix-{-qz, \ (5)
Z = — X cos V — y sin v -+- rs , j
X, y, z désignant les coordonnées homogènes d'un point par rapport à des axes rectangulaires dont l'origine est à l'intérieur du triangle de référence.
Nous désignerons par A, B, C et a, b, c les angles et les côtés du triangle ; on sait que l'on a
V — [JL = 7C — A, X — V r= t: — B, ;jl — X = ti — G.
Le déterminant D des coefficients de a;, ?/, z peut s'écrire
— 2^ sin A -h ç sin B + r sin C = - :
cos X sin >^ p D = cos \J. sin }x q
cos V sin V r i S et R désignant la surface du triangle de référence et le rayon du cercle circonscrit.
Des équations (5) on tire
Dx' = (^sinv— rsin(Ji)X-i-(rsin)v— jt9sinv)YH-(/Jsin,u— ^sinX)Z, ^
Dv = (rcosjji— ^cosv)X+(29Cosv— rcosX)Y-i-(^cos>— jjcos[jl)Z, V (6)
Dz = XsinA + YsinB-hZsinC. )
Les formules (3) et (4) du numéro 227 deviennent
AU = (ç'sin V — r sin fx)w-i-(rcos \i. — q cos ^)v-^w sin A, ]
AV = (r sin X — p sin ^)u-\-{p cos v — r cos \)v -\- iv sin B, ; (7)
/iW= [p sin \j. — ^sinX)w4-(ç cosX— pcos \x)v-^n) sin C; )
ku =^ — U cos X — V cos fi — W cos V, \
kv = — U sin X — y sin [JL — W sin v, ( (8)
kw = p\] -h qY -\- rW . ]
Si Ton représente par a, p, y les distances du point (a?, y, z) aux côtés BC, CA, AB du triangle de référence, ces distances étant affectées du signe -h si ce point se trouve par rapport au côté correspondant du même côté que le sommet opposé et du signe — dans le cas contraire, les formules (5) peuvent s'écrire
X = az, Y = p2, z = Yz,
et Ton sait qu'on a la relation
aa + b^H-CY = 2S,
a sin A-f- P sin B-hY sin C = — •
Les quantités a, fJ, y sont appelées quelquefois les coordonnées irilatères absolues du point considéré, et dans certaines questions il est utile de les introduire.
Étant données les coordonnées trilatères d'un point (X, Y, Z) définies à un facteur constant près, on peut obtenir les coordonnées absolues de ce point, a, p, y.
COORDONNÉES TRILATÈRES 273
On a en effet les relations
z sera déterminé par Tune des équations
- (aX 4- bY + cZ) = 2S
- (X sin A H- Y sin B -h Z sin C) = — ; z R
connaissant z, on en déduit a, (3, y en fonction de X, Y, Z.
On voit aussi que les coordonnées trilatères absolues a, p, y d'un point et les coordonnées rectangulaires a?, y de ce même point sont liées par les relations
a = — X cos X — y sin X -I- p,
P = — a?coS[x — î/ sin [x-f- 9-, [> (9)
Y = — X cos V — y sin v -i- r.
241. Droite de l'infini. — Par rapport aux axes Ox et Oî/, la droite de l'infini a pour équation
en se reportant aux formules (6), on voit qu'en coordonnées trilatères cette équation s'écrira
X sin A -^ Y sin B + Z sin C = 0 ou
aX + bY + cZ = 0.
Par conséquent l'équation générale des droites parallèles à la droite
UX + VY-t-WZ = 0 est
UX-HVY+WZ-i-X(Xsin A +Y sinB+Z sin C) = 0,
et la condition pour que les deux droites UX+VY + WZ = 0, U'X + V'Y-hW'Z = 0
COORDONNÉES. -- Il 18
soient parallèles peut s'écrire
sin A sin B sin C
242. Points cycliques. — Les coordonnées des points cycliques sont, dans le système xOy,
les coordonnées trilatères de ces points seront alors, en posant
cos 6 + i sin 0 = e'%
X = — e±^'\ Y = — e±»>, Z=— e^\ les signes se correspondant.
On peut encore écrire
=r eiil'^-v)^
ou
On pourra donc prendre pour coordonnées de ces points X = — €-'B, x = — e'B,
Y = — é^, et Y = — e-'A,
L'équation de l'ensemble de ces points pourra s'écrire
ou
(Ucos X-j-V cos p.+ Wcosv)2-i-(U sin X-f-Vsinfx-hW sinv)^ = 0,
c'est-à-dire
U^ -+- V^ 4- \V2 — 2VW cos A — 2WU cos B — 2UV cos C = 0.
COORDONNÉES TRILATÈRES 275
243. Angle de deux droites. — Soient les deux droites UX-hVY + WZ = 0, U'X4-VY-+- W'Z=:0.
Remplaçons X, Y, Z par leurs valeurs (5) en fonction de x, y, z ; les équations deviennent
ux-hvy-\-wz ^= 0^
u'x 4- v'y 4- w'z = 0, en posant
— U = \} COS X 4- V COS u. H- W COS V,
— V = u sin X H- V sin [JL + w sin v,
— u'=\]' COS X + V' COS {ji 4- W COS v,
— v'=\]' sin X H- V sin H- 4- W sin v. L'angle 6 des deux droites sera donné par la formule
uv' — vu'
tg6 =
tge^
uiX 4- vv et en remplaçant w, Vy m/ v' parleurs valeurs, on obtient U V W
sin A sin B sin C
UU'+VV4-WW'-(VW'4-WV)cosA-(WU'+UW')cosB-(UV-t-YU')cosC
En égalant le numérateur à zéro, on retrouve la condition de parallélisme des deux droites, et en annulant le dénominateur, on a la condition
UU' 4- W 4- WW— (V w 4- WV') COS A — ( WU' + UW) cos B
— (UV'-+-VU')cos C== 0,
qui exprime que les deux droites sont perpendiculaires.
On peut déduire cette relation de l'équation de l'ensemble des points cycliques en écrivant que les deux droites sont conjuguées par rapport à ces points.
