UU

a"Y' — -IbYZ -\- a'Z^ Or, pour que ces deux droites soient perpendiculaires, on

COORDONNÉES TRILATÈRES 281

doit avoir

UU' -1- y V'+ WW — ( VW 4- WV) cos A — ( WU' + UW) cos B

— (UV'-+-VU')cos 0 = 0;

en remplaçant UU', VV, etc. par les dénominateurs des rapports précédents, on obtient le lieu cherché. On trouve l'équation

(a'+a"+26 cos k)\^-\-[a!'-^a-\-^b' cos B)Y2-t-(a+a'+2è"cos CjZ^

-+-2YZ(a cos k—b—b' cos G— è" cos B)

H-2ZX(a'cosB-ô'— 6"cos A— ô cos G)

+2XY(a" cos {:—b"—b cos B— ^'^ cos A) = 0.

On peut reconnaître que cette équation représente un cercle en récrivant sous la forme

,,. . . ^r • T> rz . ,/a'4-a"+2ècosA,, a"-ha+2^/cosB,, a+a'+^è"cosC,,

XsmA+YsmB+ZsmG) : — Xh :— Yh ^-^ Z

^ V smA smB smG

(YZsinA-hZXsinB+XYsinC) = 0. (12)

sinAsinBsinG

Or on sait que le cercle circonscrit au triangle de référence a pour équation

YZ sin A -f- ZX sin B -f- XY sin G = 0 ;

on en conclut que l'équation (12) représente un cercle, et l'axe radical de ce cercle et du cercle circonscrit au triangle de référence est

a'+a"H-26cosA^ a"+a-f-26'cosB^, a-l-a'-f-2ft"cosG,, ^ ,,^,

^T Xh r-:- Yh r-— Z=0. 13)

smA smB smG

Dans le cas où la conique est une parabole, l'équation (12) représente deux droites dont l'une est la droite de l'infini ; la seconde, représentée par l'équation (13), est la directrice.

250. Si la parabole est inscrite dans le triangle de référence, les coefficients a, a', a" sont nuls et l'équation de la directrice s'écrit

b\ cotg A 4- b'\ cotg B + b"Z cotg G = 0.

On a aussi la relation

F = 26 sin B sin G 4- 2h' sin G sin A H- 2&" sin A sin B = 0

sin A sin B sin C

Cette condition exprime que la directrice passe par le point qui a

1 1 1 pour coordonnées ;r ' ^» ^j c'est-à-direpar le point de