D'un point on peut mener 2ni — p normales à la courbe

ym — ma^P =r (wi >• p).

Démontrer que les pieds des normales sont situés sur une conique indépendante de la valeur de a,

12. On donne deux droites Ox, Og et une conique ; on mène une tangente variable à la conique qui rencontre Ox en A et Oy en B. On mène par A. et B des parallèles à Oy et à Ox qui se coupent au point M. Trouver le lieu géométrique de ce point.

On trouve une courbe du quatrième degré ; déterminer ses asymptotes.

13. Nous avons obtenu au numéro 83 la condition qui exprime que deux droites (m, r, w) et (uq, Vq, Wq) se coupent sur la conique

f(u, t?, w) = au'^ -\- a'c^ -j- •.. = 0.

Cette condition est

{uofû 4- v^fi -\- w^f[,Y — kf(ii, V, w)f{u^ , ro, w^) = 0. (1)

On peut mettre cette condition sous une autre forme remarqua-

ble en partant de Téqualion ponctuelle de la conique

o(a7, y, s) = Aa?2-i-Ay-h.-. =0.

Nous écrirons pour cela que la polaire du point de rencontre (a?, y, z) des deux droites par rapport à la conique passe par ce point, c'est-à-dire qu'on a Tidentité

Xa>i + Yçi -h Zo; = 2X (mX 4- t?Y h- tcZ) -h 2X'(moX + rçY 4- tCoZ),

ce qui donne, en égalant les coefficients de X, Y, Z,

Ax 4- B'y -h B'j — Xm — X'wq = 0,

B'o? 4- A'y 4- Bj — Xr — 1\ = 0,

B'a? 4- By 4- A'^ — Iw — ViCy = 0,

avec les relations

u'x •+- v'y 4- lo'z = 0.

Ces cinq équations doivent avoir des solutions non toutes nulles en X, y, js, X, X' ; pour quMl en soit ainsi, il faut qu'on ait

A B" B' u tu

B* A' B r tJo

B' B A" w Wq

telle est la condition pour que les deux droites se coupent sur la conique.

11 est aisé de déduire analytiquement la condition (!) de la condition (2).

Multiplions les éléments des trois premières colonnes du déterminant respectivement par - fu, z /"^> 5 A> ^t ajoutons ces produits aux éléments de la quatrième colonne, après avoir multiplié ces derniers par — A.

Les trois premiers éléments de la quatrième colonne sont alors nuls^ car on voit aisément que

i(BYu ^BTu-

-BY^4-Brt;j = Aie,

hAri;4-B/-,;) = Ar,

De même, multiplions les éléments des trois premières colonnes respectivement par -rfû^, -/\'^, -^fw^ et ajoutons ces produits aux éléments de la cinquième colonne multipliés par — a.

Si Ton pose

et si Ton remarque que le déterminant

a été multiplié par A^ on

aura