FF F
VIII. — Théorème général sur les équations intégrales ET intégro-différentielles.
Le théorème que nous avons donné dans le paragraphe précédent peut être énoncé et interprété d'une autre manière. Envisageons la série des puissances
Remplaçons z-i, z^^ -- -, Zn par ^,Fo 22F2, . • -, ZnFn', F,, F2, . . . , F^ étHut des fonctions permutables et ^i, Z2, ..., Zn des paramètres indépendants de ^,r. Considérons les opérations de multiplication et de puissance dont F,, F2, ..., F,i sont alï'eclées comme des opérations de composition. La série ainsi obtenue est convergente quelles que soient les modules des paramètres 5<, ..., Znt c'est-à-dire qu'elle est une fonction holomorphe de ces variables. Désignons-la par
F(2iFi,22F2, ,..,Zn^n\
OU par
F(^i,^2, ...,Zn \oc,y).
Cela posé, considérons une relation entre ^1,^2? •••5 ^n-, la fonction ( 1 ) et ses dérivées jusqu'à un certain ordre, qu'on peut écrire
Écrivons z^\^^ ^2^2? • • -5 Zn^n au lieu de ^,, ^2, • • -, z„ et remplaçons F par p, où io5 ?ij "M \n sont des paramètres indépendants des ^,, Z2-) ..., Zii. L'équation précédente s'écrira
* r" • • " ^"' b' !7^ ^' ^b ^' *"' ^0^^'. . .\'k' àzP.K. .dzPc) ~ ""' et elle sera satisfaite par
y"= b F^'Si ^1, Z2Ç2? • ' •-, Zn\n)-
ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES. IJJ
Pour simplifier, supposons que Téquation (i') soit algébrique et que, en la réduisant sous forme entière, elle devienne
Remplaçons maintenant ^,, ..., ?« par t\, F2, ..., F,, et au lieu de Ço substituons une constante ou une fonction Fq permutable avec les précédentes de telle façon que / soit aussi permutable avec F,, ..., F„. Considérons les produits et les puissances de Fq, F,, ..., F,,,/ et des dérivées dey, comme des opérations de composition. On obtiendra une équation intégro-dilTérentielle qu'on peut écrire
La proposition générale qui résulte de la théorie que nous avons exposée est la suivante :
L équation intégro-différentielle (2) est satisfaite par la fonction entière f{^M ^27 •••7 ^/< I-^^JK) permutable avec F,, F2, ...,F„.
Lorsque <I> ne contient pas les dérivées de F, le théorème précédent cesse d'être une proposition relative aux équations intégrodiflerenlielles et devient un théorème sur les équations intégrales.
INous allons lui donner alors une forme un peu différente et plus simple.
Considérons l'élément de fonction analytique
qu'on peut désigner par F(5<,:?25 •••> ^«) et écrivons l'équation
Si l'on envisage Zn comme fonction implicite de i;,, z-*, ..., z,i i, supposons que la solution z,i (^,, ^2, . • -, ^«-i ) devienne nulle pour Zi ^= Z2 ^= . . . = Zn-i = o sans que ce point soit de diramation. Alors on pourra développer z,i dans un domaine de
niAPJTHK
rl',»rf« lin'* <^i''ne
1 'lin i '-fiualir/ i . I y I „ ..Il li' 11
'ie» cofripo-
' ofi peut
I i „ ' ';iume jfj(.'viij)ii';. ï.-.i ntn'.a ^aar la
•II' ,y (;jj ) rr-m pî;u;aiât v,, — i ,, ^ t'A (tu roy^nr-
< ' / I I) I )' ) • I i M ) Il .
Itc mn f'j ii'itiH fjup. Inti'li (jiK- hi \t'tif' ^ \ fhititif f'ti ,■ /-■ l'il
In \()l II 1 1 > ,h (Ir I l'I II ' 1 1 1 < , h ', . I /'■. Iii'i'lii^i- 'le ,' , -//t ''/"'
ItljlS Iti't.i.l ^ il n II i' I I I I < n II I- liiiiili'. I ' L II II m « »
(hiliii'- hi ,(duLion '!<■ I ''jiKili'.ii iii h' ■■ I II h- I f ,. f . .. ijiii'/lr, tjiir \i)i<'nl h-, lali'ui , ni/ 'il m- . i^/ehtjh\, I
Nous consacrerons ce paragraphe à quelques a[>j
r<''siiltats prâr(''(\pnls.
' >'^ii -i'i' I -ii ■' 'i .iL'^i '1 1 • '|iiationde premier degré
^l^îj -4- Zj — Zj.
L^inconnue ^^ sera donnée par
i',ri~ 'I*-
l)'ii(. j;i;ui i soudre réquatioii ^ mier degré
OÙ F| et F2 sont des fonction = permutables, il suffira d « '
ÉQUATIONS INTKGR0-DIFFKRENTIELLK8. 1 59
OÙ les multiplications et les puissances dénotent des compositions.
Ce développement est toujours convergent, tandis que le développement analofçue de la formule (i) a le rayon de convergence égal à l'unité.
Si F2{Xj y) = ¥,(x, y), on obtient les doux princjpijs de réciprocité et de convergence (comparer Chap. H, ij 11). La théorie des équations intégrales linéaires n'est donc qu'un cas particulier de celle que nous venons de développer.
Considérons ensuite l'équation intégrale de deuxième degré :
où /7, elûî sont deux constantes a,^o ( i 'I». ^>j, <I>o sont des fonctions permulahles. La solution sera
qui peut facilement être développée en série des puissances de ^f,, ^,, ^2? ^ù les puissances et les produits désignent des opéralions de composition. \^ série sera toujorjrs convergente.
Passons aux équations intégrales de degré infini.
Envisageons la série exponentielle
z^ z* zf*
posons
On peut obtenir z exprimé par une série des puissances de /. Kn effet,
e-=i-hZ, donc ^=:logri-+-Z; = Z — — -f- -5 .. .-h(— !/'—-+-
Le ravon de convergence de cette série est l'unité.
Écrivons maintenant l'équation intégrale correspondant «
l6o CHAPITRE IV.
l'équalion transcendante (2). Posons L'équation intégrale sera
*(.,^) = F(.,..)-HÎ^H-...+ £%>:l +
OÙ ¥{x^y') est l'inconnue. La solution sera OÙ l'on a
Même ici on peut répéter la remarque que la solution trouvée est valable quelle que soit la valeur absolue de 4> (^, r), tandis que la série logarithmique a le rajon de convergence égal à i .
Gomme dernière application, nous calculerons la solution fondamentale de l'équation
(3) ^u,..n-^{\^^^fi.n^
z^ t)\ di = o
dans l'hypothèse que /, o et 'l soient des fonctions permutables. Cette équation est l'équation adjointe de l'équation intégrodifîerentielle de type elliptique que nous avons envisagé dans le paragraphe IV.
Considérons d'abord l'équation différentielle
z^^ z.,^ z^ étant des paramètres indépendants de ^,j>', z. Posons
On a
EQUATIONS INTEGRO-DIFFERENTIELLES. l6l
et en désignant x sj \ — Ç, , jk V^i — S25 ^ V i — Ï3, respectivement, par x^^ y^^ ^,, l'équation précédente s'écrira
d'^u d^u d^u dx\ Oy\ ôz\
La solution fondamentale de cette équation est donnée par
•^i-(SCi+-ÇC2+^C.
où ç est un paramètre quelconque indépendant de x^y^ z et Posons
^2 yl ^2
et développons u suivant les puissances de a. On aura (4) »=¥-+È ^•^7(^«-)aA.
Ce développement convergera pour Ç<, Ç27 Ç3 suffisamment petites. Substituons maintenant/, es, ?]>, X au lieu de 5|, ^05 ^3> ? ^t supposons que X soit une fonction permutable avec/, f , ']^. Gommençonsr par écrire symboliquement
c'est-à-dire
où les puissances désignent des compositions, et posons
l62 CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES.
La solution fondamentale de l'équation (3) sera donnée par
Cette expression sera convergente quelles que soient les valeurs absolues finies de/, cp, ^, \, tandis que la série (4) ne sera convergente que dans certaines limites. Elle satisfait l'équation (3) même si nous prenons X = i .Dès qu'on a calculé la solution fondamentale de l'équation adjointe (3), en employant la méthode de Green, on peut obtenir une formule analogue à celle de Green pour Téquation du type elliptique du paragraphe IV. Il suffit de remarquer que dans l'exj)ression de U, oii l'on a fait 'k-= i, on peut remplacer x, y, ;5 par œ — ^1, .}' — Xij ^ — ^i5 le point :r, , y,, s, étant le /?d/<?. Si l'on applique la formule de réciprocité que nous avons donnée dans le paragraphe IV, en prenant p=U, il faut retrancher le pôle par une sphère s'il est interne au domaine S. En faisant diminuer cette sphère indéfiniment, on trouve à la limite la formule correspondante à celle donnée par Green dans le cas de l'équation de Laplace.
Pour les détails des calculs, nous renvoyons au Mémoire (') déjà rappelé de Volterra publié dans les Acta mathematica {'-).
(') Volterra, Osservazioni sulle equazioni integvo-dlff. ed integrali {Lincei, t. XIX, i" scm.).
(^) Acta mathematica, t. XXXV.
