VI. — Lk groupe du cycle fermé

Nous avons reconnu, dans Tétude des équations intégrales de Volterra (voir p. Sa), que les noyaux de la forme ¥^{x — $) jouent un rôle particulier. Nous venons de voir dans le paragraphe précédent que ces noyaux constituent un groupe de fonctions permutables. Nous allons montrer que, au point de vue physique aussi, ils ont un intérêt spécial.

C'est pourquoi revenons aux phénomènes héréditaires, en particulier à ceux de la torsion que nous avons envisagés dans le paragraphe II.

Supposons que le coefficient d'hérédité soit fonction de la différence t — ■ z, c'est-à-dire

Cela signifie que la loi de V hérédité est invariable à travers le temps. Montrons que, dans ce cas, si le moment de torsion change d'une manière périodique par rapport au temps, l'angle de torsion est aussi périodique avec la même période.

En effet soit T la période. Envisageons la relation entre l'angle de torsion o) et le moment P, en supposant tQ = —oD [§ II, formule (2)]

(2) oi{t)=kP(t)-+~ f P('z)^(t--)d-.

En changeant successivement t en z -f- T et t en t -j- T, on obtient, après avoir remarqué que P(^)rr: P(f-|- T),

ui{t-+-T)= /^P(t)-\- f P(z)<i>{t — 'z)d'z, c'est-à-dire

to(if -h T) = (0(/). C. Q. F. D.

ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLhS. l5l

Dans la formule (2) on a dû prendre la limite inférieure — 00 à cause de la périodicité, c'est pourquoi nous supposerons

- il-+-£

B et £ étant des quantités positives. Nous sommes ainsi surs de la convergence des intégrales.

Démontrons maintenant la propriété réciproque. Supposons que chaque fois que P est une fonction périodique de /, avec une période quelconque T, o) soit aussi une fonction périodique de t avec la même période. Nous allons prouver que, dans ce cas, la condition (1) doit être vérifiée.

En effet, comme à l'instant ^ on a

ui(t)= kP{t) ^ r p(t)*(^,-)^-,

«^— oc

et à celui ^ + T

en remarquant que

P(0 = P(^-t-T), on obtiendra

c'est-à-dire, en faisant dans le second membre la substitution

/ =r P(T)ci>(^-f-T,T-+- T)^/t.

Or P(t) est une fonction périodique arbitraire, c'est pourquoi

*(^T)4-y ct,(7,-__^T) = *(^-t-T,':-f-T)-:-y *(<-4-T,T-nT),

où

Jùi tenant compte de la condition (3) on voit que les deux séries précédentes seront convergentes et qu'on aura

donc

y <^(^T,^-nT) < ^Y -f-

tl>

îBri

où ri est un nombre compris entre -h i et — i .

Si A <C T — (^ — t), on aura T — A >> o, et t -}- A sera compris entre ^ -j- A et ^4-^^ — (T — X). Ainsi on pourra changer dans l'équation précédente t^ t, T respectivement en ^ -h A, t h- a, T — \\ on aura donc

*(<,t)-cI>(^+X,T-f-X)-

1 By)'

Ti

ou l

1 . Cette relation a lieu pour T aussi grand que l'on veut; par suite on a, quel que soit A,

c'est-à-dire 4> est fonction de ^ — ' ( ' )• c. q. f. d.

On appelle l'ensemble des propositions que nous venons de démontrer le principe du cycle fermé. En effet la relation entre to et P peut être représentée par une courbe plane ayant pour coordonnées (0 et P. Or, au lieu de parler de périodicité de to et F avec la même période, on peut dire que le point représentatif de la courbe décrit périodiquement un cycle fermé. Le groupe des fonctions permutables de la forme F( y — ^) s'appelle le groupe du cycle fermé.

(*) VoLTERRA, Suite equazioTii delta elettrodinamica {Linceij 1909, 1° seni.; Acta math., l. XXXV).

ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES. l53

VII. — Séries des fonctions permutables. Envisageons la série des puissances de la variable complexe z,

dont R est le rajon de convergence. Alors on peut déterminer un nombre positif M tel que

Gela posé, considérons la série

(i) ai F-i- «aF^-H--.. + «/i F"+ ...,

où les indices des puissances représentent des opérations de coinposition appliquées à la fonction F(^, y). Cette série est uniformément convergente. En effet,

F'"< ^mlZ L^,

si I F I << N, et la série majorante

est uniformément convergente.

Posons

<î> (a7,jK) = «1 F -h «2 F^ -+- . . • -+- a» F« + . . .

et composons F et <I>. Nous aurons

donc F et <ï> sont ses fonctions permutables. Les propositions que nous venons d'énoncer peuvent se généraliser facilement et Ton a le théorème suivant :

Soit

l54 CHAPITRE IV.

une série convergente si |^i | <CRi7 | ^2 1 < R25 ••.> | ^^a | <; Ra étant «00... 0 = o» Remplaçons Zi, Z2-, . , ,, z/i par les fonctions permutables F, (œ, y), F2 (x^y)^ ..., F/i(x^y). En j^egardant les symboles de puissance et de multiplication comme des symboles de composition^ on obtient une série convergente dont la somme est permutable avec F<, F2, . . ., F/j.

En effet, on peut trouver un nombre M tel que

Or, si

on a

{y — .r )'"i {y — xY'- ... ( r — ^) '*~^

il! t'a! ... (^A— i)!

en supposant /^ >• o, et la série majorante

oc 00 oc

^Ji- + «, + ...+ ih^ L

est convergente. La vérification de la permutabilité est immédiate. Le théorème précédent donne la manière de passer de la série (2) qui est convergente dans un certain domaine à une série qui est convergente, quelles que soient les valeurs de F|, Fo, . . ., F/^. Envisageons par exemple

qui converge pour \z\ << «. La série

où les symboles de puissance appliqués à la fonction F désignent des opérations de composition, est toujours convergente, et 4> (:r, y) est permutable avec F(:r, y).

La proposition que nous avons énoncée nous donne aussi le moyen d'étendre l'expression des fonctions permutables et de calculer d'une manière fort simple leur composition.

ÉQUATIONS INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLES. l55

Soit l'élément de fonction analytique

on écrira

t};(F) = ao-+-«iF + «2F'^---.-t-artF"-H...,

où les puissances désignent des compositions. La série sera convergente quel que soit F(^,y), et ^(F) sera permutable avec F (x, y) si «0 = o- De même, soit

^(zi.Zi, . , ,, Zh) = I.ai^i^,,.,;,z'{z'i. . .zj^

un élément de fonction analytique des variables ^^, ^27 • • •? ^h] on écrira analoguement, F, (a?, y), ..., F/i(y, z) étant des fonctions permutables,

où il faut interpréter par des compositions les symboles des opérations de multiplication et de puissance dont sont affectées Fi, Fo, ..., ¥/i. On aura ainsi une série toujours convergente et elle sera une fonction permutable avec F, , F2, ..., F^, si aoo...o= o- Cela posé, étant données deux fonctions analytiques,

développables en séries de puissances de js«, Z2, ..., z/i dans le domaine du point Zi =22 = ...=^^ =0, formons le produit

^(Zi, ...,Zh)e(zi, ...,Zh) = yi{zu ...,.^a).

On aura, en composant ^(Fi, F2, ..., F^) avec 8(F,, Fg, ..., F>i), le résultat-^ (F,, F2, ..., F h) et les développements de ^(F,, ..., F^), 9(F,, ..., Ffi)i x(^'' ""> ^a) seront valables quels que soient les modules de F, , F2, . . . , F^.

Les opérations de composition pourront donc s'eff'ectuer par les mêmes règles qu'on applique lorsqu'on fait le produit des expressions analytiques.

C'est ainsi que l'expression de la fonction (3) pourra s'écrire

et si l'on a

'^^^qTF' ^^è^iTF'

l56 CHAPITRE IV.

nous écrirons le résultat de leur composition