SUR L'EXISTENCE DES FONCTIONS DE CLASSE QUELCONQUE

Par m. Emile Borel.

On peut se demander si la classification de M. Baire n'est pas purement idéale, c'est-à-dire sHl existe effectivement des fonctions dans les diverses classes définies par M. Baire. Il est clair, en effet, que si l'on prouvait, par exemple, que toutes les fonctions sont de classe o, i, 2 ou 3, la plus grande partie de la classification de M. Baire serait sans intérêt. Nous allons voir qu'il n'en est rien; mais il est tout d'abord nécessaire d'insister un peu sur ce que l'on doit appeler une fonction définie (*). Il est, en effet, aisé de voir qu'il existe des fonctions de classe supérieure à un nombre quelconque (fini ou transfini) donné d'avance; car l'ensemble E des fonctions dont la classe ne dépasse pas un nombre donné a évidemment la puissance du continu; et l'ensemble F de toutes les fonctions possibles a une puissance supérieure à celle du continu {-)] l'ensemble F est donc infiniment plus riche que l'ensemble E, c'est-à-dire renferme une infinité de fonctions qui n'appartiennent pas à E. Mais ce raisonnement basé sur les puissances a un grave défaut : il nous apprend bien qu'il y a des fonctions de F qui n'appartiennent pas à E, mais il ne nous donne pas le moyen d^en définir une, c'est-à-dire d'en désigner une de telle manière qu'on puisse la distinguer des autres; en d'autres termes de manière que deux personnes différentes, lorsqu'elles parlent de cette fonction, soient certaines qu'elles parlent de la même.

Le raisonnement précédent ne permet pas d'exclure l'hypothèse où un théorème tel que le suivant serait exact : toute fonction

(^) Voir mes Leçons sur la théorie des /onctions, Notes II et III. (-) Loc. cit.

SUR l'existence des fonctions de classe quelconque. ]57

effectivement définie est nécessairement de classe o, i, 2 ou 3. Nous allons, au contraire, montrer qu'il est possible de définir effectivement une fonction dont la classe dépasse un nombre donné d'avance.

D'ailleurs, cette définition exigera en général des opérations transcendantes pratiquement inexécutables ; on sait que cette difficulté se présente presque toujours lorsqu'il intervient des processus infinis : séries ou intégrales

Voici comment on peut définir une fonction de classe supérieure à deux; le même raisonnement s'appliquerait à une classe quelconque. Posons

Toute série double de poljnomes peut être écrite sous la forme

Si dans un certain intervalle la série (i) converge', elle définit, dans cet intervalle, une fonction de classe o^ i, ou 2; et toute fonction de classe 0,1 ou 2 peut être définie de cette manière par un choix convenable des Ca^p^y (chaque fonction est même définie d'une infinité de manières, mais cela n'a pas d'inconvénient pour ce qui suit).

On peut, au Tableau des constantes Ca^p^y, faire correspondre d'une manière unlvoque un nombre Un compris entre o et i ; c'està-dire s'arranger de manière qu'à tout nombre Un corresponde- un système de constantes Ca^p^y et à tout système de constantes un nombre m», deux nombres distincts correspondant à deux systèmes distincts, et réciproquemeni . Une telle correspondance peut être réalisée d'une infinité de manières différentes; mais, parmi cette infinité de manières, nous pouvons en choisir une bien déterminée (*). Ceci fait, nous allons définir une fonction /(;r), dans l'intervalle o — i, de la manière suivante : soit Un une valeur quelconque de x comprise entre o et i ; formons la série (i) qui

( ' ) Voir mes Leçons sur la théorie des fonctions, Chap. I.

l58 NOTE DE M. BOREL.

correspond à Un d'après la correspondance précédemment réalisée; si pour ^ = w» la série (i) ainsi formée diverge, ou si elle converge et a une somme différente de zéro, nous poserons

si pour a: = W/i la série (i) correspondant à x converge et a pour somme zéro, nous prendrons

f{Un)^ I.

Il est clair que la fonction f{x) que nous avons ainsi définie dans l'intervalle o — i n'y coïncide avec aucune fonction de classe o, 1,2. Car une telle fonction, définie dans l'intervalle o — 1 , est représentable par une série (i) convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre o et i. Supposons, pour un instant, que la fonction f{x) puisse être représentée par une telle série et soit Un le nombre qui correspond au système des coefficients Cûi,p,Y ^^ cette série; pour x = w^ la série converge, puisque Un est compris entre o et i ; or, si la somme de la série est différente de zéro, on a /(un) = o et, si la somme delà série est égale à zéro, on af(un)= I. Il y a donc contradiction et nous avons établi le résultat que nous avions en vue : il est possible de définir effectivement une fonction déterminée dont la classe, dans la classification de M. Baire, soit supérieure à un nombre quelconque donné d'avance (*).

(*) La démonstration précédente prouve simplement que la classe de la fonction définie est supérieure à 2^ mais n'exclut pas la possibilité que cette classe soit un nombre transfini (ou même, à la rigueur, que la fonction définie soit au delà de toute classification, bien que ce ne soit guère vraisemblable). M. Lebesgue, à qui j'ai communiqué celte démonstration, a pu, en la modifiant et la complétant, en déduire la définition d'nne fonction déterminée de classe 3; sa démonstration paraîtra prochainement dans le Journal de M. Jordan.