Exemples. — Choisissons, comme chemin /, l'arc de la

parabole

V = /ia( u — I ) (/i constante réelle -+- ou — )

compris entre Torigine et le point m=i, ^^ = 0. Il suffit de

poser ici

f = M -h iV = 6 [ I -+- iA(e — I )]= ^(6)

|)Our obtenir une fonction ^(6), holomorphc pour o^8^i, et telle que 9 croissant de o à i , le point t parte de l'origine et décrive la parabole donnée jusqu'au point ^=1. Cette parabole a comme

axe la droite u= ~9 pour sommet le point u=i -, ç z=z — -, pour

paramètre ;-j-t-, • Elle se réduit à l'axe des u quand h s'annule. Si, dans la fonction

y( f ) = ao -f- «1 ^ -h aj <* -I- . . . ,

on remplace t par 9[i -h ih{^ — i)] ^ 6(c9 + rf), il vient

/,(e) = ao-h aie(cO H- ^/) -4-. . .-f- a«e«(c6 -*- <i)«-r-. . . = ao -+- «i -+- . . . -+- «w 0'* -h . . . , en posant

(i*8) ' =and'^-^^an-jd'^-^JcJ

yî

avec

d = \ — ihj c = ih.

Pour fixer les idées, parlons de la série (M,). Il suffit, dans cette série, de remplacer a«>s« par l'expression

a„znd^-h^a„-jzn-Jd-VcJ --^ =^— jj {^o <j -^ - j

pour obtenir une nouvelle série, soit([A'), de forme entièrement analogue, et qui converge dans l'étoile curviligne A' correspon-

teme

danl à Parc de parabole Zet à la fonclion f{z). Le (n 4- 1)**"* terme de cette série est un polynôme en z de degré n.

Par exemple, appliquée à la fonction /(5) = ? la sérié (jjl')

représentera celte fonction dans tout le plan, sauf sur Tare de la cubique : {v — hii) {u^ -\- v^) + hii^ =z o extérieur au cercle

Il est facile de préciser la convergence de cette série ([J^')- Tout d'abord, il est évident qu'elle converge absolument comme la série (M|). Pour limiter le reste, il suffit de considérer le module maximum H de la fonction ^i (9) =/[5o^(6)] quand 6 varie dans un rectangle A qui a l'axe réel pour diamètre, et dont les deux côtés normaux à cet axe ont comme longueur Tca et pour abscisses

— a et I 4- a, ( a = . ]• Si l'on arrête la série après le {n + i)'*

terme, le reste R» de la série est en module moindre que ^^

ivoirien'^ 12, p. 120). D'autre part, au rectangle A l'égalité t=ig{^) fait correspondre une aire D, qui comprend à son intérieur Tare / de parabole et tend à se réduire à cet arc quand a tend vers zéro.

Quel que soit le point 6 du rectangle A, sa distance minima à un

point du segment réel o — 1 est moindre que ai / i 4- ^ < ^^î

par suite, quel que soit le point t de l'aire D, sa distance minima à un point de l'arc /est moindre que 2a[i + |/i| 4- 2|A6|], car on sait que

l^(e)-^(eo)| = |o-eo|xi^'(eoi,

Oi désignant un point convenablement choisi sur le segment rectiiigne qui joint Qq 6t 0. Or, dans A, on a

|^'(6)| = I i-H iA(ae - 1)1 <i -h |A|(i-+-2|6|)< 1-^1^1(3 + 4a).

Quand |A| est moindre que i , ce que nous supposerons parla suite, et a moindre que 1 (c'est-à-dire n > 8), la quantité i 4- |A|(3 4- 4a) est moindre que 7. Dans ces conditions, décrivons, de chaque point de / comme centre, un cercle de rayon i4a, et soit d l'aire du plan ainsi balayée : considérons ensuite l'aire semblable âf^o, qui tend vers Tare de parabole Z*û, quand n croît indéfiniment. Si So fait partie de l'étoile A', la fonction f{z) est holomorphe E. B. Q

l3o NOTE DB M. PAINLEVÉ.

dans l'aîre d^^ dès que n dépasse une certaine limite A*, et son module reste, dans cette aire, inférieur à une certaine quantité H. On a donc, pour n > A*,

Il suit de là presque immédiatement {voir p. iio) que la série ([ji') converge uniformément dans toute aire B dont tous les points (contour compris) appartiennent à A'. Elle est donc dérivable et intégrable terme à terme indéfiniment dans l'étoile A'.

18. Au lieu de Tare de parabole /, considérons le demi-cercle supérieur X décrit sur le segment o — i comme diamètre. On peut prendre, comme transformation correspondante,

< = M -h iV = - (i — cosT[9 + i sinirB) = - (i — e-'^). Si Ton pose encore

ao -t- ^ (i - ô-'«e) 4- ?J (i - e-/irÔ)t-f.. . .= ao-f- a'i e + a;o«H-. . ., on a

les coefficients cj^n ayant des expressions faciles à former et que je n'écris pas pour abréger. Si Ton remplace, dans la série (M|), lesûf»^" par(C|,»ai 5 + . • --i-Cn^n^n^'Oj la série (|i.^) ainsi obtenue converge vers /{z) dans tout le plan, sauf sur des demi-droites issues de points singuliers ^ de /{s) et faisant avec la direction O s

l'angle •

Si, au demi-cercle \ on substitue le demi-cercle inférieur )/,

il suffit, dans ce qui précède, de changer 6 en — 6 et l'angle ^

en H

D'une manière générale, soit /' le symétrique de l'arc / par rapport à l'axe réel : pour passer de / à /', il suffit de changer i en — i dans^(6) = ^, (9) -f igii^) ; les deux séries (M^ et (>F) soûl alors conjuguées Tune de l'autre : j'entends par là que les

SLR LE DÉVELOPPEMENT DBS FONCTIONS ANALYTIQUES. l3l

coeflîcienls de a^^" (pour n quelconque) sont conjugués dans les. termes de même rang de (M') et de (M'').

19. Etoile curviligne attachée à une fonction multiforme. — Quand la fonction f{z) est uniforme dans tout son domaine d'existence, il n'y a aucune ambiguïté sur la valeur représentée

par une série (M'). Par exemple, la fonction — — - est représentée par la série ([x^) dans tout le plan sauf sur la demi-droite :r = i,

Mais, quand la fonction /"( .s) est multiforme, il convient de préciser : la branche représentée par une série (M') en un point z de

Fig. 7.

l'étoile (A') est la branche prolongée régulièrement le long du chemin /* (à partir de l'origine).

Par exemple, soit /(^) = y' > — z [avec /(o) = -f- i] ; la série (ui^), formée pour cette fonction, converge dans le plan sauf sur la demi-droite a: = i, y^o, qui est une coupure de la branche représentée. Si l'on désigne par/*, (5) la valeur de /(5) prolongée régulièrement le long du vecteur O^, la série (a^) représente ^i (z), sauf dans le quadrant J7 > i,^^ o, où elle représente — /i (5).

Il peut se faire que les lignes frontières de (A') se coupent, de façon à enclore un espace. Il faut bien se garder d'en conclure

iStl NOTR DE M. PAINLEVÉ.

que cet espace est exclu de l'étoile. Soit, par exemple,

(>9)/(-) = \/(.--)[-;r7T^J('-rf37) t/(o) = .];

la série ([jl^) converge dans tout le plan sauf sur les trois demidroites AA', BB', CQJ {fig. 7) ; elle représente/i(^) si le vecteur O^ n'est coupé par aucune (ou est coupé par deux) de ces trois demi-

droites et elle représente — f\{^) si le vecteur Oz est coupé par une ou trois de ces demi-droites. En particulier, pour tout point z du triangle IJK, la série représente — f\{^)^ ^^ '^ chemin /' rencontre au moins une des trois demi-droites exceptionnelles.

20. Considérons à la fois les deux séries (|i.^) et ([x^'), et soit pn et xsji le {n -\- i)'*"* terme de ces séries. Désignons par (v^)

la série ^^— -' Cette série (où les coefficients des ««s" sont

réels) présente des propriétés remarquables.

Tout d'abord, appliquée à une fonction uniforme, elle représente cette fonction sauf sur les droites normales en chaque point singulier t^ à la droite Ot^. Mais si la fonction est multiforme, elle représentera /(z) dans le voisinage de l'origine, et dans d'autres

parties du plan ^ — — {fi^fi désignant deux branches dey convenablement choisies). C'est ainsi qu'appliquée à la fonction y/i — z la série (v^) converge vers /i {z) dans le demi-plan :r <; i et vers

zéro dans le demi-plan a:>>i. Au contraire, la série ^^ P'»'"^»

converge vers zéro dans le demi-plan x <! i (notamment pour a;==o et dans le voisinage), et converge vers une des branches

(continue) de y/i — z dans le demi-plan a: > i .

De même, appliquée à l'exemple (29), la série (v^) représente zéro dans le triangle IJK (Jig- 7) et dans les trois angles C'IB', A'^KB'', C"JA'; elle représente /|( 5) dans le domaine du plan (comprenant l'origine) limité parla ligne brisée indéfinie C'IKA"^, et une branche continue de /{z) dans les autres portions du plan B^KJC et B'IJA'.

Ainsi, il existe des séries de la forme

sua LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l33

qui convergent uniforniément vers f{z) dans le voisinage de l'origine [quelle que soit la fonction

/(z) = ao + ai z -h aj 5* -+- . . . ,

holomorphe à l'origine] et qui, pour certaines fonctions f(z)

telles que ^U — Zy com^ergent uniformément vers zéro dans une autre partie du plan.

Au lieu de la cornbinaison — ^> on aurait pu former aussi

bien la combinaison — ^ — -^ (a, b constantes numériques).

Appliquée à y/i — z^ la nouvelle série (v^) ainsi obtenue repré-

senterait ; dans Je demi-plan x> \,

Enfin, on arriverait à des conclusions analogues en combinant deux séries conjuguées (M') et (M'') quelconques.

21. Extension des résultats précédents. — Nous sommes partis, dans ce qui précède (n** 16), d'une courbe /joignant les points ^ == o, / == 1 et partout analeptique et régulière. Mais il est loisible de se donner entre o et i une courbe continue entière^ ment quelconque, soit h. En effet, une telle courbe peut toujours être regardée comme la limite d'une courbe analytique régulière (joignant o et i), qui dépend d'un entier n : quand n croît indéfiniment, cette courbe /„ tend vers L. Pour chaque chemin /, on sait former une série (M') représentant /(>3) dans l'étoile A'; quand / tend vers L, A' lend vers A''.

Appelons d l'aire balayée par les cercles ayant leur centre

sur In ei de rayon — : on peut dans la série (M'«) prendre un

nombre de termes assez grand pour que la somme de ces termes,

soit qn{^)') diffère def(z) d'une quantité moindre que —, sous la

seule condition que la fonction ^(2), d'ailleurs quelconque, soit holomorphe et de module inférieur à H dans d^. Ceci posé, je dis que la série : q^ + (5^2 — Çi)'^{99 — Ç2) 4-'.. est une série (M^) : en effet, soit z un point de l'étoile A'' et B une aire renfermant à son intérieur le chemin L*, aire dans laquelle /(5) est holomorphe et de module inférieur à une quantité finie H. Dès que n dépasse

l34 NOTE DE M. PAINLEVÉ.

une certaine limitée", le chemin /f^ et l'aire rf* correspondante, élanl

très voisins de L*, sont intérieurs àB, et Ton a \/{z) — Çn{^)\<. -;•

La série : q^ -\-{q2 — <7«) + (^s — 5^2)4-. • • converge donc absolument dans Tétoîle A'^ vers f{z) [c'est-à-dire vers la branche de f{z) prolongée le long de L*].

Il résulte aussitôt du raisonnement qu'elle converge uniformément dans toute aire intérieure à cette étoile. c. q. f. d.

Par exemple, prenons pour L la spirale logarithmique p = e*** (p et oj coordonnées polaires de t= u-\-iv\ h const. > o). Pour o> = o, p est égal à i; pour o> = — 00, p est nul; l'origine est un point asymptotique. Nous poserons :

quand 9 croît de o à i, par valeurs réelles, t décrit un arc de spirale In du point / = o au point i = i; cette spirale /;,, qui est

définie par l'égalité : t -^ -— —^ == <»^" x <?'**, est une spirale

semblable àL, ayant comme point asymptote le point t = 33-^1

et qui tend vers L quand n croît indéfiniment.

L'étoile A'' qui correspond à la spirale L est intéressante parce que deux lignes frontières de l'étoile ne se coupent jamais, et cela quelles que soient les singularités Ae f(^z). La spirale L (en particulier la droite o — 1) est la seule courbe qui réponde à cette condition (*).

22. Indiquons rapidement une autre généralisation. Partons de

l'égalité

z = p{zo, t)

( ^ ) En effet, soit L' la transformée de L dans la substitution ^ = <^; les courbes

L'> (qui dépendent des deux paramètres réels x, y, si z = x -h iy) se coupent et par chaque point de Tespace il en passe une infinité, à moins que toutes les courbes L'* passant par un point arbitraire P ne se confondent. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la courbe U admette une transformation continue en elle-même de l'espèce : p, = A*p, w, = w 4- A. Or les seules courbes jouissant de cette propriété sont des spirales logarithmiques de foyer O (en particulier les cercles de centre O et les droites issues de O); les inverses de ces courbes sont des courbes de même espèce. Les cercles sont à écarter puisque L doit passer par l'origine.

SUR LE DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l35

OÙ p désigne une fonction enlière de^^o et une fonction holomorphe de / pour t réel et compris entre o et i (o^^^i); de plus, cetle fonction s'annule avec t et est égale à Zo pour ^ = i . Quand t croît de o à i, z décrit une courbe bien déterminée, soit /-^, de o à Zq. Par exemple, soit p = t[zo-h {^ — *)'^ol • '* courbe l^^ est une parabole facile à définir géométriquement.

Introduisons maintenant la fonction F (^) =y( s) ^y[p(zo> ^)]î si /{z) est holomorphe le long du chemin /^^ (extrémités comprises), F(/) est holomorphe dans l'intervalle o^^^i, et F(i) ou /{zo) est représentée par la série génératrice normale S du n** 12 (ou par toute autre); posons encore

on a

les pj{z) désignant des fonctions entières de .3 (des polynômes si p est un polynôme en z). D'où

/[p(«o» ')] = ao-+-aip-Ha,p«-+-...

= ao-haipi{zo)t -h(aipi-i- afpl)t*-h.,.y c'est-à-dire

«'i = «iPi(«o), o'î = aiP«(^o)4-ajpî('So), ...;

d'une façon générale, a„ est une combinaison linéaire et homogène de ai, ..., Un, dont les coeflicients sont des fonctions entières connues de ^o- U suffît de remplacer les a', par ces expressions dans la série S pour obtenir une série de la forme

(3o) «o-^(/»)2[^»''i.'«(*o)-*-«i/'i,rt(^o) -*-... -+-««0/,/i('5o)],

où les r sont des fonctions entières connues de Zq] cette série converge versy(zo) si/{z) est holomorphe le long du chemin /.^, Les points exclus de cette nouvelle étoile de convergence sont donc les points ^ tels que sur le chemin Ij^ on rencontre une singularité de la fonction y( 5) prolongée.

Il serait aisé d'étendre ces résultats (convenablement modifiés) au cas où la fonction p(>s, t) ne serait pas entière en z. Je veux seulement indiquer ici un problème qui se pose à ce sujet : à chaque point z du plan des Zj attachons un chemin bien déterminé Iz allant de l'origine à ^ et qui varie d'une façon continue

l36 NOTE DE M. PAINLEVé.

avec z. Existe-l-il une série répondant aux conditions suivantes : i** son /i*^"® terme est linéaire et homogène en «oi ^n • • -i ««j les coefficients étant des fonctions connues de z; 2** elle converge vers /(z) [quelle que soit la fonction f{z)] pourvu que sur le chemin 4 1^ fonction /(z) soit prolongeable régulièrement jusqu'au point z inclusivement ?

D'après ce qui précède, on peut choisir des chemins Iz tels que la réponse soit affirmative. Mais peut-on les choisir arbitrairement ou, sinon, quelles conditions doivent-ils remplir? Ce sont là des questions non encore résolues.

23. Application aux fonctions réelles. — Restreignons-nous, pour un instant, aux valeurs réelles x de la variable. Quand nous développons f{x) en série (M'), la série converge si /{z) est holomorphe le long du chemin /*, et représente la valeur de / avec laquelle on arrive en x en prolongeant analytiquement/(5) (à partir de 5 = o) le long de /*.

Imaginons, plus généralement, qu'à chaque pgint Xq on fasse correspondre un chemin l(xo) joignant Xq à l^ origine, chemin qui soit analytique et régulier {extrémités comprises) pour chaque valeur de Xoj et qui varie avec Xq d^une façon analytique et régulière ( * ). Autrement dit, soient s l'arc de ce chemin compté à partir de O vers x^^ et cr(a:o)sa longueur totale; les coordonnées x^ y d'un point du chemin sont des fonctions holomorphes de s et de Xq pour tout couple 5, x^ tel qu'on ait o^52cr(:ro); (t(^o) est une fonction holomorphe pour toutes les valeurs réelles

de Xq et, si l'on pose -^ — - =^ t^ x el y sont des fonctions holomorphes de t et de Xq^ quel que soit Xq^ pour o^^£i. Il suffit

alors de poser

x-^iy^ p(j?o, t)

pour obtenir (comme au numéro .précédent) une série de la forme (3o), où les rj^k sont des fonctions connues (2) de x holo-

(') Il serait facile de lever ces restrictions comme au n" 21; on peut se donner arbitrairement le chemin l{x^) sous la condition qu'il soit continu et varie avec x^ d'une manière continue.

(^) Ces fonctions r sont indépendantes de/ et ne dépendent que de la famille choisie de chemins l{x)'y ce sont des combinaisons entières de

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l3y

morphes pour x réel : cette série converge si, le long de l{Xo)j f{x) est holomorphe, et elle représente la valeur de f prolongée jusqu^en Xq sur ce chemin,

24, Supposons notamment que Ja fonction /{z) soit uniforme et ait toutes ses singularités réelles; chaque série (M') représentera /{x) pour toutes les valeurs de x (les valeurs singulières exceptées), et elle sera dérivable terme à terme indéfiniment : la série et les séries dérivées convergent uniformément sur tout segment de Taxe réel qui ne comprend pas de point singulier.

Si la fonction, toujours uniforme, est holomorphe dans un certain angle .rOA et dans Tangle prolongé, il suffit de prendre comme chemin / un arc intérieur à cet angle pour que la série (M^) correspondante jouisse encore des propriétés énoncées.

Quand la fonction /{z) n'est plus uniforme, distinguons les valeurs de/(z) à droite et à gauche de la demi-droite Ox, Considérons un petit angle positif xO A. et prolongeons y(^) dans ce petit angle : nous dirons que nous étudions f{z) à droite de Ox^ et nous représenterons par fd{z) la fonction ainsi prolongée (fonction en général multiforme). Le point Pétant donné sur Ox,

décrivons de O comme centre un cercle de rayon OP; sifd{z) est uniforme (ou holomorphe) à l'intérieur de ce cercle et de l'angle xOPi. (pris suffisamment petit), nous convenons de dire que/(5) est uniforme {ou holomorphe) à droite de Ox jusqu'au point P; dans ce cas, la valeur de fd{z) est bien déterminée en tout point X de OP [non singulier pour fd{z)\ : c'est, par définition, la valeur defdu calé droit de Ox,

Les valeurs àefà gauche de Oxj soit/^(-s), se définissent de la même manière en considérant un petit angle a;OB négatif {*), Remarquons que si la fonction ^^(5) est uniforme à droite de OP, et ne présente sur OP que des points singuliers isolés non critiques, fd{z) coïncide sur OP avec ^(5). Au contraire, il peut arriver quefd{z) ne présente sur OP d'autres singularités que des

(*) Il est évident que ces définitions s'appliquent d'elles-mêmes à une demidroite quelconque issue de l'origine, et en particulier à l'axe réel négatif.

l38 NOTE DE M. PA1XLEVÉ.

points critiques algébriques, tandis que /g{z) présente sur OP des singularités transcendantes (*).

J'ai insisté sur cette terminologie parce qu'elle nous servira plus loin. Admettons maintenant que /(z) soit holomorphc dans un certain angle positif a:OA : la série (M') représenlerayrf(j;) en tout point X non singulier pour /ti(x)^ du moment que l'arc / aura été choisi intérieur à l'angle xOX. Soit /'le chemin symétrique de / par rapport à Ox, et (M'') la série conjuguée de (M')(n'* 18): la série (M'') représente./^ (a?), si/{z) est holomorphe dans l'angle a: OB (symétrique de j:OA).

25. Considérons en particulier une fonction /{s) qui n'ait d'autre point singulier que le point z = i autour duquel deux valeurs seulement de /(z) se permutent. Les séries (M') et (M") convergent sur l'axe Ox sauf pour x := i et représentent respectivement //(a:) etfg{x).

Si l'on ajoute terme à terme les deux séries (M') et (M''), multipliées respectivement par j-% j9 la nouvelle série (N')

représente y (j?) pour x <C,\ el -^^—^ j^-^ — -■ pour x

Faisons notamment a= 6; la série -^ — —;-^ ^représente y (x)

f/(x) -+- f (x) pour x<; i et — — - — '-^-^ — - pour a: > 1 5 comme f{z) n'a que

deux branches, ^oïlfeif^^f-^-fi est une fonction uniforme F(-3)

et :^ '-^ — - n est autre chose que — ^^ — •; la nouvelle série

représente donc une fonction à deux branches pourx<C i et une fonction uniforme pour x> i. Remarquons que sîy(a;) est réelle (pour X voisin de o), «o, fli, ^2, ••• sont réels et la série (M') -h (M'') a ses termes réels pour z réel.

C'est ainsi que la série -^ — iJ—l, appliquée à y/i — x^ représente y/ 1 — a: pour ^ <; i , et o pour jj > i .

(*) Exempte : /{z) = c"*'*'*""*"' (où -h sji — z = i pour -5 = 0); sur Ox, la branche /^(z) n'a qu'un point singulier (point critique algébrique) ^ = 1; tandis que /Az) a en outre un point essentiel z = 2,

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE8 FONCTIONS ANALYTIQUES. l39

Les séries (M'), (M''), (N') convergenl ici uniformément et absolument sur tout segment de l'axe réel qui ne renferme pas :r = i, et il en est de même pour les séries dérivées. Appelons G(x) la fonction définie pour x quelconque (^i) par la série N'(x). La fonction G(x) a des dérivées de tout ordre sauf pour x= i. Formons, pour cette fonction, la série (N'), mais en prenant x^ comme origine {voir la note ('), p, i25). Si Xo<, i? G{x) coïncide avec f{x) pour x voisin de Xoj et la nouvelle série N' (d'origine Xo) représente, comme la première, la fonction G{x) tout le long de Faxe des x {le point x = i étant toujours excepté). Si

:fo> i> G(^) coïncide (pour ^voisin de Xo) avec — — ^ — ;

la série (M'), d'origine Xo^ représente G(^) pour a; > i , etG| {x) pour J7<; I, Gi{x) désignant la valeur obtenue en prolongeant G{x) de j:o> * à :r < I au-dessous de l'axe des x. Or, quand on prolonge /{x) de ^ < i à :ro> i au-dessus de Oxj on arrive en Xq avec la valeur /^(x©); si, partant de Xq avec cette valeur, on chemine au-dessous de Taxe des x^ on revient en x < i avec la

valeur /,(x). Il suit de là que Gi{x)^— — t^> et que les séries (M'), (M''), d'origine Xq> ij représentent respectivement -^ -r-t -^ 7— pour j: < i ; la série (J\') d origine Xo> i repre-

. j a(^f^-^hf) -A- h( af->r- bf*) ^ r^ i -i

sente donc -r— • pour x <:r\. Cette dernière

expression diffère en général dey(a:). Mais peut-on choisir a et 6 de façon qu'elle coïncide avecy(j:), quelle que soit la fonction/ (à deux branches)? Il faut et il suffit pour cela qu'on ait : a^+6*=:o, 2a6^(a+6)*, c'est-à-dire b^=±ia. Keprésentons par(N') la combinaison {W)-^ i{W)\ la série (N') jouil, d'après ce qui précède, des propriétés suivantes : elte consierge quel que soit x^ sauf pour x =. ij et elle converge absolument et uniformément, ainsi que les séries dérivées, sur tout segment de Vaxe réel qui ne renferme pas le point a; = i; sa

somme G{x) coïncide avec f{x) pour x < i et avec ' "^ .

pourx > i. SiVon forme, pour la fonction G(x), la 5eWe(N'), d'origine x^r^x^ cette série jouit de toutes les propriétés de la première et représente comme elle la fonction G{x) tout le long de Vaxe des x {le point a;= i étant toujours excepté) : cela,

l4o NOTE DE M. PAINLEVE.

i|uelle que soit la fonction f{x)^ pourvu que cetle fonclioii n'ait .•ue deux branches et n'adnïetle que le point singulier rc = i .

Ce résultat est remarquable, si Ton réfléchit que (j{x) coïncide (suivant que a? est >- 1 ou <C i ) avec deux fonctions analytiques différentes {^ y

Par exemple, appliquée à f{z) = y/i — 5, Ja séiid (N') représente y/ 1 — X pour X <t^ ^ cl \/x — i pour ^ >■ i .

26. Séries (M) qui convergent sur les droites frontières, — En se servant des séries (M'), on peut former des séries (M) qui convergent non seulement dans l'étoile A, mais encore sur les demi-droites frontières, pourvu que les points singuliers dont ces droites sont issues satisfassent à certaines conditions très générales que nous allons préciser.

Considérons, en effet, une série (M'), par exemple la série (jx') du n° 17. qui correspond (^) à l'arc / de parabole

v= — hu{u — i) (/i>o),

compris entre les poins t =z u -\- iv =: o et t= \. La somme ?>n des (^ -H i) premiers termes de la série (uî') diffère àe f{z) d'une

quantité moindre en module que ~ , siy(^)est holomorphe et

de module inférieur à H dans l'aire d^ (déduite de l'aire d balayée

par les cercles de rayon 14^^ = j-;7- dont les centres décrivent /] :

cela, quelle que soit la constante A, de module moindre que i. . Ceci rappelé, adoptons, pour chaque valeur de l'entier ny une

valeur de. A qui tende vers zéro avec -» mais infiniment plus

( *) On peut former des exemples où la série (x\^ ) jouit de toutes les propriétés précédentes et de plus converge absolument et uniformément sur tout segment de Taxe des x ainsi que les séries dérivées. Mais, pour ^=: i, la fonction 0{x) est nulle ainsi que toutes ses dérivées et la série (N^^) d'origine i, au lieu de représenter G(^), est identiquement nulle.

(^) On pourrait partir de n'importe quelle série (M'), sous la seule restriction que le chemin / ne traverse pas l'axe des x. Si le chemin / traverse Taxe des x^ la méthode même du texte permet aisément d'apercevoir les modifications qu'il faut apporter aux conclusions qui vont suivre.

SUR LE DÉVELOPPEMENT DBS FONCTIONS ANALYTIQUES. l4l

lentement que a. Posons, par exemple,

(/i étant positif, le chemin / est situé au-dessus de 0;r) (*). Quand n croît indéfiniment, Tétoile A^ (bien déterminée pour chaque valeur de n) tend vers l'étoile A, et le domaine d^ tend à

se réduire au vecteur Oz, D'autre part, pour chaque valeur de /i, Sn est un polynôme en z bien déterminé, de degré /i, qui, lorsque n croît indéfiniment, tend vers f{z) pour tout point -5 de A : car dès que n dépasse une certaine limite, d^ différant très peu du vecteur Oz^ f{z) est holomorphe dans d^ et y garde un module inférieur à une quantité fixe H. Au lieu d'un seul point z^ considérons une aire B intérieure à A, et une aire B' comprenant B à son intérieur, mais intérieure à A : dès que n dépasse une certaine limite q^ l'aire d^ fait partie de B', quel que soit z dans B, et Ton a

(3i) [/(z)~S^(z)|< " pour n>q.

en tout point z de B, [Hq maximum de f{z) dans B^]. D'après cela, la série

(M,) So-4-(S| — So)-^ (Sj — S|)-+-...=^ ao-4-/>i(5)-^/7î(^)-+-...

est une série (M) qui converge absolument dans A et uniformément dans toute aire intérieure à A. Le levme pn est un polynôme en z de degré /i.

27. Examinons maintenant ce qui se passe sur les demi-droites frontières de A. Soit D une demi-droite exceptionnelle, issue du point singulier !^ : si ce point est algébrique, je vais montrer que la série {M2) converge absolument sur D au delà du point Ç et représente /d{^), tant qu'on ne rencontre pas sur D un point singulier transcendant de fd{-z)» E'ie converge même uniformément vers fd{^) et est dérivable terme à terme indéfiniment

(') Si, au lieu de prendre A = + ^Jol^ on prenait h= — ^a, la courbe / (correspondant à chaque valeur de n) serait située au-dessous de Oo:, et il faudrait, dans tout ce qui suit, remplacer /^{s) par/^(5), valeur de/(5) à gauche de D.

l4'i NOTE DIS H. PAINLEVE.

sur tout segment PP' de D le long duquel fd{z) est holomorphe (extrémités comprises) [pourvu qu'entre Ç et P la fonction /^(z) ne présente que des points singuliers algébriques].

En particulier, si !^ est wu pôle et si D ne renferme pas d'autre point singulier, la série M2 converge vers f{z) sur toute la droite D (le point !^ excepté) et converge uniformément sur tout segment fini PP' de D (dont î^ ne fait pas partie).

Pour démontrer ce théorème, plaçons-nous d'abord dans l'hypothèse où entre Ç et P il n'existe pas de point singulier de fd{z).

De O comme centre décrivons un cercle plus petit que le cercle d'holomorphie de f{z)\ entourons PP' d'une aire assez aplatie pour que fd{z) J soit prolongeable régulièrement (contour compris); enfin relions ces deux aires par une bande abdIV

Fîg. 8.

attenante au bord droit de OP et assez étroite pour faire partie de l'étoile A. Si, dans l'aire totale E ainsi formée, on prolonge la fonction /(-s), cette branche de fonction, qui coïncide le long de OP' avec y*^/(>s) et que je représenterai paryrf(z), est holomorphe dans E, contour compris, le point ^ excepté. En ce point, qui est un point algébrique, /rf(5) peut devenir infini d'un certain

ordre m (entier ou fractionnaire) : dans l'aire E, |/rf(-s)| reste

inférieur à

, ^,-» K désigrnant une certaine constante et tn une

quantité positive ou nulle.

D'autre part, soit z^^ un point du segment PP'. Pour les petites valeurs de A, donc pour les grandes valeurs de /i, le chemin /*»dif-

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l43

fère très peu du vecteur O^o et fait partie de l'aire E; la distance minima 8 entre un point de /^« et un point du contour de E lend vers zéro avec A, et est de l'ordre de h pour h infiniment pelit; on peut écrire 8 = [x/t, [jl désignant une quantité positive qui dépend de h et de ^o, et qui reste supérieure (*) à un nombre fixe À>> o quels que soient Zq entre P et P' et h entre o et i. L'aire rf*o est, par suite, intérieure à E, dès que n dépasse une certaine limite (indépendante de la position de z entre P et P') : en effet, les cercles décrits d*un point de /^o comme centre, avec i4a|^o|

comme rayon, sont intérieurs à E dès que i4aOP' est moindre que \h^ c'est-à-dire dès que n dépasse un certain entier, puisque h est infiniment grand par rapport à a pour n = oo. Soit q une valeur de n telle qu'on ait

i4ap< ]h (p = OP'), c'est-à-dire

i4ap < -^ /a, ou V^^ir"' ou enfin ï^»gy > 2 ( -y^ 1 •

Pour n>q^ la fonction f{z) est holomorphe dans Taire rf*«;

son module y est moindre que \ =-;-:> c'est-à-dire moindre

que — T > puisque 5, variant dans rf*o, reste à une distance

de !J supérieure à A A — i4ao >^ - A.

L'inégalité (3i) s'applique donc au point ^0 ^^ donne ici

(32) \fd{z,)-Sn{z,)\< '^^ - ^'*

hl^e

Or A==l/t 7 et ^ est inférieure à \/vî pour n suffisamment

grand. On a donc, tout le long de PP',

\fd(z) — Sn(z)\ < K — -= (K constante numérique),

dès que n dépasse un certain entier.

( ') Il serait facile de donner une valeur explicite de X, mais la chose est inutile au raisonnement.

l44 ^'OTE OK M. PAINLEVE.

La série {^l^) converge donc absolument et uniformément le long de PP' vers /di^)- c. q. f. d.

28. De plus, pour chaque valeur de n, décrivons du point ^o comme centre un cercle c de rayon p-a (|jl constante numérique). Quand z reste intérieur à c, le chemin /* reste intérieur au domaine E (au moins dès que n est suftisamment grand) et la distance minima de !^ à Tare l^ est encore de Tordre h et supérieure à Xh (en modifiant un peu, s^il est nécessaire, la constante X introduite plus haut). L'inégalité (82) se trouve donc démontrée non seulement pour ^ = Zq, mais dans tout le cercle c, d^où Ton déduit, en vertu d'un théorème classique (*) :

en tout point Zq de PP', dès que n dépasse un certain entier.

Les séries obtenues en dérivant terme à terme la série (Ma) convergent donc, elles aussi, sur PP' absolument et uniformément; elles représentent sur PP' les dérivées successives de/d(z).

Si, entre l'origine et le point P, il existe plusieurs points singuliers (tous algébriques) de /d{z), rien n'est changé dans le raisonnement précédent : il suffit do considérer l'ordre maximum m d'infinitude de fd{z) en ces points singuliers; dans

l'aire rf*«, 1/^(^)1 est moindre que -r-r (quel que soil Zq

enlre P et P'), et les inégalités précédentes subsistent.

D'une façon générale, pour que le raisonnement subsiste, il suffit : I** que f{z) soit holomorphe jusqu^en un point Q à droite {^) de D, et 2° qu'en tout point singulier Ç de fd{z) sur D, on ait

(33) \fd{^)\ < el=~^'"' {ni constante numérique > o),

pour z voisin de ^ à droite de D.

C) A savoir ce théorème : Si F(5) est holomorphe et de module moindre

que H dans un cercle de rayon p et de centre 5q, | FO) (-So ) I ^^t moindre que H ^ • (') Voir le n" 24.

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l54

Soit alors PP' un segment de D compris enlre O et Q et le long duquel yrf(3) est holomorphe. Quel que soit Zq entre P et P, la fonction yrf(5) (dès que n dépasse une certaine limite) est holo-

morphe et de module moindre que e^''^'^ dans l'aire <i*« qui correspond à chaque valeur de n. Or la quantité

est moindre que n^ , dès que n dépasse un cerlain entier q, en

sorle qu'on a

pour /i >^, le long du segment PP'. Cette inégalité entraîne les mêmes conséquences que ci-dessus.

Remarquons que, sur D, les points singuliers defd(z) peuvent former des ensembles quelconques, et même comprendre tous les points d'un segment : la seule condition qui leur soit imposée est l'inégalité (33).

En définitive, si ta fonction /(z) est holomorphe à droite de D jiisqu!en un certain point Q, et si, en chaque point singulier Ç de/d(z) sur Dj l'inégalité (33) est vérifiée, la série (Ma) converge absolument et uniformément vers fd{z) sur tout segment PP' de OQ le long duquel fd{z) est holomorphe; les séries dérivées terme à terme convergent de la même manière surW vers les dérivées successives de fd{z).

29. Par exemple, appliquée à la fonction e^"*, la série (M2) converge absolument dans tout le plan, sauf pour z=.i\ elle converge uniformément dans toute aire qui n'a aucun point commun avec la demi-droite a:>>i, ^ = 0. Elle converge uni-

fermement vers e^""* sur tout segment fini x^x% de cette demidroite (i <I ^« < X'i),

Il es^ impossible que cette dernière série converge uniformément sur une courbe traversant la demi-droite exceptionnelle : autrement, on formerait aisément une courbe fermée C entourant le point 5 = I et sur laquelle la série (M^) convergerait unifor-

l46 NOTE DE M. PAINLEVÉ.

mément. Les lermes de cette série (polynômes en z) étant holomorphes dans G et sur G, la série (d'aprrs un théorème classique) convergerait uniformément dans G, et sa somme serait holomorphe dans G, en particulier pour ^ = i , ce qui est absurde. La remarque s'étend évidemment au développement d'une fonction quelconque par la série (Mo).

Admettons enfin que, ^(5) étant toujours holomorphe à droite de OQ, l'inégalité (33) ne soit pas vérifiée, mais qu'on connaisse une limite quelconque du mode de croissance de fd{z) dans le voisinage de chacun des points singuliers \ situés sur D (entre O et Q); soit

i/"(')i«p(irè:^)-

On peut toujours former une série analogue a (M^) et qui représente fd{z) sur OQ (en dehors des points singuliers) : il suffit, dans les raisonnements précédents, de faire décroître h plus lentement encore avec -> et de prendre h = t? — : tel que (la constante g étant arbitraire, mais positive) l'on ait

des que n dépasse une certaine limite (qui dépend de g) (*). Par exemple, si l'on sait qu'on a

\Mz)\ < e^'^-"'"' (m const. > o),

dans le voisinage de chaque point Ç, il suffit, comme on le voit

aisément, de prendre h = loera = 1 — i i •

' '^ ° loglog/i — loga

Enfin, tous les résultats obtenus s'étendent d'eux-mêmes aux fonctions de plusieurs variables.

(*) L'existence de séries (M) qui convergent sur les demi-droites frontières au delà des pôles a été démontrée pour la première fois, à l'aide de considérations toutes différentes, par M. Helge von Koch. M. Mittag-Leffler a récemment indiqué d'autres séries (M) convergentes au delà des points singuliers isolés de f{z) qui ne sont pas des points de branchement (points essentiels de Weicrstrass), et cela quel que soit le mode de croissance de f{z) aux alentours du point.

30. Quelques applications des résultats précédents. — Ne considérons plus, dans ce qui suit, que des fonctions f{z) dont les points singuliers à distance finie sont tous algébriques. La série (M2) correspondante convergera dans tout le plan, sauf aux points singuliers, sommets de l'étoile, et représentera fd{z) s"r les demi-droites D.

Appliquons cette remarque aux équations difTérentielles linéaires à coefficients algébriques, et soient !^|, . . ., ^^l^s points singuliers

de l'inléffrale. Si l'on pose Z = • r-r ; r— -> l'intéârrale de-

vient (*) une fonction /"(Z) dont le seul point singulier non algébrique est à l'infini, et qui n'a qu'un nombre fini de points critiques algébriques : le développement Ae f{z) en série (Mo) converge donc dans tout le plan sauf aux points singuliers.

Quand, à la série (M2), on substitue la sévie conj uguée {^\z)j q"i s'en déduit en changeant partout h en — A, la nouvelle série jouit exactement des mêmes propriétés que (M2) à cela près que fd{z) est remplacé partout par/^(;;), valeur de /à gauche de D.

Ajoutons ensemble maintenant, terme à terme, les deux séries (Ma) et (M3), multipliées respectivement par — -t> j)

on forme ainsi une série (M), qui représente /(;;) dans l'étoile A,

et qui, sur les demi-droites frontières, représente -=^^^ — -p^*

En particulier, si l'on prend a =: b^ on obtient une série de la forme

oii les coefficients \ sont réels, qui représente fi^z^ dans V étoile et la moyenne arithmétique de fd et fg sur les demi-droites D.

Appliquée à y/i — 5, celte série représente y/i — x pour x réel et < 1 et représente zéro pour x réel et ^ i .

Si l'on retranche terme à terme les deux séries (M2) et (Ms), on obtient (après division par i) une série de forme entièrement analogue à la précédente, qui représente zéro dans tout le plan, quel que soit f{z)^ sauf sur les demi-droites D où elle représente//—/^.

(*) On peut éviter cette transformation en discutant le mode de croissance de l'intégrale dans le voisinage de chaque point singulier ^.

§48 NOTE DE M. 1»A1NLEVÊ.

31. Parmi les séries (M) de la forme ^^^^^ — '^"^ / — ^i la série

— * "^ \ » que je désignerai par (IM4), esl la plus remarquable*

Appliquons ce développement (M4) à une fonction f{z) qui n'a^ sur Taxe réel, d'autre point singulier que le point -5=1, point algébrique autour duquel deux branches seulement se permutent. La série (M4) jouit alors des propriétés suivantes :

1" Elle converge absolument et uniformément, ainsi que les séries dérivées, sur tout segment de Vaxe réel qui ne comprend pas le point ^ = i ; elle converge vers f{x) pour x < 1

et vers MEI^J^E^ pour x > i {voir le n« 25).

2" La somme G(^) de cette série coïncide donc avec f{x) pour X <i\j et avec une fonction analytique distincte de f{x) pour :r > I . Mais, si Von applique à la fonction G(:r) le développement (M4) en prenant Xq comme origine, l<i nouvelle série (M^) jouit des mêmes propriétés et représente la même fonction G(x) que la première sur tout Vaxe réel (*).

Par exemple, appliquée à F(-c) = y/i — j, [F(o)=+i], la

série (M^) représente -h \/i — x pour a: <; i , et — \/x — 1 pour :c ]> I .

32. Considérons enfin une fonction harmonique V(j:, y^ z)^ uniforme et régulière dans tout l'espace sauf en certains points où elle devient infinie algébriquement (ou moins rapidement qu'une fonction algébrique). La série (M2)7 étendue à trois variables^ converge absolument vers \{x^ y^ z)^ dans tout l'espace réel^ sauf aux points singuliers; elle converge uniformément dans tout domaine intérieur à l'étoile; elle est dérivable terme à terme indéfiniment (sauf aux points singuliers) et les séries dérivées ont les mêmes propriétés que la série elle-même.

( ' ) On peut même former des exemples où la série (M4) jouit de toutes les propriétés énoncées, et de plus converge absolument et uniformément, ainsi que les séries dérivées, sur tout segment de Taxe réel (le point :r = i compris); la fonction réelle G(j?) a donc des dérivées de tout ordre quel que soit x, mais, pour â7 = i, cette fonction et toutes ses dérivées sont nulles, et la série (M4) d'origine x — i est identiquement nulle.