PAR DES SÉRIES DE POLYNOMES

Puissance (ïun ensemble, — L'idée d'ensemble est une notion primitive dont nous ne donnerons pas de définition (*). Citons seulement quelques exemples d'ensembles : l'ensemble des points d'une droite, l'ensemble des polynômes en x^ l'ensemble des surfaces mini ma, etc.

On peut raisonner sur les ensembles sans s'occuper de la nature des objets qu'ils contiennent. Lorsqu'un ensemble est fini, on est ainsi amené à distinguer, parmi les propriétés abstraites de cet ensemble, le nombre des objets qu'il contient. Deux ensembles finis contiennent chacun le même nombre d'objets si, à tout élément de l'un, on peut faire correspondre un élément de l'autre et réciproquement. SUl en est encore ainsi pour deux ensembles QUELCONQUES E, E| , nous dirons avec M. Cantor que E a même PUISSANCE que £<. Nous pouvons maintenant nous proposer de comparer, au point de vue de la puissance, un ensemble quelconque à quelques ensembles qui nous sont familiers et que nous prendrons pour types.

(*) Koi'r, pour la discussion de Tidée d'ensemble, Emile Borel, Leçons sur la théorie des Fonctions, Chapitre [ et Notes. (Paris, Gaulhier-Villars.)

a CHAPiTnu I.

Ainsi, un ensemble E qui a même puissance que l'ensemble des nombres entiers : i, 2, 3, . . ., /i, . . ., est un ensemble dénombrable» Si E a même puissance que Tensemble des nombres compris entre o et i (limites comprises), on dira que E a la puissance du continu.

Donnons des exemples de Tun et de l'autre cas. Un ensemble de nombres : «;„„,«„... .«^ qui se distinguent par la suite de leurs k indices entiers m^^ . .., m^t est un ensemble dénombrable. Il suffit, pour le voir, de montrer que l'on peut ranger ces nombres dans Tordre i, q, . . . , /?, . . ., de façon à les obtenir tous, chacun une seule fois. Pour cela, considérons tous ceux de ces nombres dont la somme des indices est égale à /i. Il y en a un nombre fini, on peut donc les numéroter. Si Ton opère ainsi pour/i = 1, /i = 2, . . . , on pourra les numéroter tous à partir de i .

Ainsi les nombres rationnels -^forment un ensemble dénom-

brable, car Up^q = — est bien déterminé par les indices entiers/?

etçrC).

De même, on peut démontrer (^) que ^ensemble des points compris dans un carré de côté égal à 1 a même puissance que V ensemble des points situés sur un de ses côtés, c'est-à-dire, a la puissance du continu. Une question se présente naturellement au sujet des deux ensembles que nous avons pris pour types : V ensemble E des nombres compris entre o et 1 est-il dénombrable? La réponse est négative (') : lorsqu'on enlève de l'ensemble E une infinité dénombrable d'éléments, il en restera toujours une infinité, de quelque manière qu'on opère (*).

(') Suivant les cas, on est amené à regarder comme distinctes deux fractions — » ^ du moment que p' et q' ne sont pas égaux respectivement à /? et ^,

ou à ne pas regarder comme distinctes deux fractions égales, c'est-à-dire telles que/?^'— ^/?' = o, mais, quelle que soit la convention faite, la conclusion est la même.

(*) Voir E. BoRBL, toc. cit., p. 17.

(*) Voir E. BoREL, loc, cit., p. 14.

{*) D'ailleurs il ne faudrait pas croire que .les deux types de puissances que nous avons considérés soient les seuls possibles. Voir, à ce sujet, E. Borel, loc, cit,, p. 107.

Ensembles de points.

On peut aller beaucoup plus loin dans celle étudie des ensembles abstraits. Mais nous aurons surtout à utiliser dans la suite les propriétés spéciales aux ensembles de points (et particulièrement de points d'une droite). Plusieurs de nos résultats pourront se généraliser à Pespace à n dimensions, en appelant point un ensemble de n nombres réels : x^^ x^^ . . ., ^r^, et sphère le lieu des points pour lesquels on a

Le nombre positif r sera la distance du point X\^ ..., «T/j au centre a» , . . . , a,, ; R est le rayon de la sphère.

La nolion fondamentale qui s'introduit dans la considération des ensembles de points à un nombre quelconque de dimensions est celle de point limite. Nous dirons qu'un point A est point limite d'un ensemble E si, quel que soit le nombre positifs*, on peut trouver un point de l'ensemble E distinct de A et dont la distance à A soit plus petite que e.

Il résulte évidemment de cette définition qu'il y a une infinité de points de E près de A.

Il y a souvent avantage à introduire la considération du point à l'infini. Il sera, par définition, point limite de E, s'il y a des points de E ù l'extérieur d'une sphère quelconque.

L'ensemble E' des points limites de E est l'ensemble dérivé de E. On dira que l'ensemble E esl fermé s'il contient tous les points de son dérivé E' ei parfait s'il coïncide avec E'.

On voit immédiatement que V ensemble dérivé E' d'un ensemble quelconque E est fermé. En effet, près d'un point limite quelconque de E', B, il y a des points A' de E' et, près de A', il y a des points A de E. On peut s'arranger (£ étant un noinbre positif donné) pour que les distances de B à A' et ensuite

de A' à A soient plus petites que - et alors la distance de B à A

sera plus petite que e; car il résulte de la définition analytique de la distance qu'un côté d'un triangle est au plus égal à la somme

des deux autres. Donc un point limite quelconque de E' est un point de E'.

L'étude de l'ensemble dérivé E' d'un ensemble E peut dans certains cas nous révéler certaines propriétés de l'ensemble E, comme nous allons le voir. D'autre part, le sujet de cette élude est plus restreint, puisque E' ne peut être donné a priori d^une façon quelconque, d'après le théorème précédent.

Théorème de Weierstrass-Bolzano. — La condition nécessaire et suffisante pour qu!un ensemble ne contienne qu'un nombre fini de points est que son ensemble dérivé soit nul (c'est-à-dire qu'il n'y ait pas de points limites de E).

Il suffit évidemment de démontrer que, si un ensemble E contient une infinité de points, il a au moins un point limite. Er> effet : ou bien le point à Tinfini est point limite; ou bien tous les points de E sont dans une sphère S de rayon fini. En agrandissant S, on peut supposer que S soit un volume limité par des plans parallèles aux plans de coordonnées (*). Menons maintenant des plans équidistants de ceux-ci; ils partageront S en un certain nombre de parties égales Si, S'^ , ... et dans l'une au moins de ces parties, Sf par exemple, il y aura une infinité de points de E. Opérons de même sur S| *, il y aura une des parties de Sf au moins, soit S2, qui contiendra une infinité de points de E, et ainsi de suite. On formera ainsi des régions S, S|, S^, • • . contenant toutes une infinité de points de E, chacune intérieure à la précédente et qui tendent manifestement vers un point A situé à leur intérieur ou sur leur contour. Le point A sera un point limite de E, puisqu'il y aura une infinité de points de E aussi rapprochés de lui qu'on le voudra.

^ous allons maintenant démontrer une proposition analogue en utilisant une locution introduite par M. Ernst Lindelof. Nous appellerons avec lui point de condensation d'un ensemble E, un point A tel que, dans une sphère de centre A et de rayon au»si petit que l'on veut, il existe une ^infinité non dénombrable de points de E. Le point à l'infini sera un point de condensation s'il

(') Nous appelons pian coordonné Fenscmble des points pour lesquels on a a:, = o-.; un plan parallèle à â7,= u est 07,= a,.; la dislance des plans a?, = a^, x. = bi est (a, — 6..|.

j a une infinité non dénombrable de points de E à l^extérieur d'une sphère de rayon aussi grand que l'on veut.

On peut alors répéter la démonstration du théorème précédent en remplaçant les mots : infinité de points par infinité non dénombrable de points et points limites pdiV points de condensation. On prouvera ainsi que tout ensemble non dénombrable admet au moins un point de condensation.

Cette même notion permet de démontrer simplement la proposition suivante (*) :

Théorème de Cantor-Bendixson. — Un ensemble fermé quelconque F peut être décomposé en un ensemble parfait P et un ensemble dénombrable D.

£n effet, appelons P l'ensemble des points de condensation de F (ce sont des points de F puisque F est fermé) et soit D l'ensemble des autres points de F.

Je dis que P est parfait et D dénombrable.

Tout d'abord, P coïncide avec son dérivé P'. Car, soit A' un point de P', il y a près de A' une infinité de points A de P dans

une sphère de centre A' et de rayon -• Près d'un point A, il y a

une infinité non dénombrable de points B de F dans une sphère de

centre A et de rayon -• Donc, il y a une infinité non dénombrable

de points de F dans la sphère de centre A' et de rayon e : A' est un point de P.

Réciproquement, considérons deux sphères S,|, S^^ concentriques

à un point Ai de P et de rayons - » • Entre ces deux sphères,

il ne peut y avoir un nombre fini ou une infinité dénombrable de points de F quel que soit n. Sans quoi, on pourrait les désigner par ani, an^i ^ns? • . ., et alors, dans une sphère de centre A| et de rayon assez petit, il n'y aurait d'autres points de F que des points aïk qui forment comme on l'a vu un ensemble dénombrable. Par conséquent, A| ne serait pas point de condensation de F. Il y a donc des valeurs de n aussi grandes que l'on veut pour

( ' ) Cette proposition a été démontrée d'abord au moyen de la considératioQ des nombres transGnis.

lesquelles il y a un ensemble non dénombrable de points de F entre S„, S^,.

D'après le théorème démontré, il y aura au moins un point de condensation de F entre S» et ^\^. Le rayon de S/i tendant vers zéro, A| sera un point limite de P. Ainsi P est parfait; il en résulte en particulier qu'un point de D ne peut être limite de points de P. Autrement dit, la distance d'un point bien déterminé C de D à un point quelconque A de P a un limite inférieure r non nulle.

L'ensemble E| des points de D pour lesquels r> - est dénombrable, sans quoi cet ensemble E| aurait au moins un point de condensation qui serait en même temps un point de condensation

de F. Or ceci est impossible puisque /•> — • Nous pourrons donc

ranger les points de D pour lesquels r> i dans l'ordre c^^ C\2i

c<3, ... puis ceux pour lesquels on a i ^/'> - dans l'ordre Cai,

^22) ^23> • • • et ainsi de suite. Tous les points de D pouvant être obtenus chacun une fois dans l'ensemble des cik^ D est bien dénombrable. La démonstration précédente n'est exacte que si tous les points de l'ensemble sont à distance finie. Une simple transformation homographique ramènerait à ce cas l'hypothèse contraire.

Structure des ensembles parfaits linéaires.

Nous allons maintenant nous restreindre à la considération des. ensembles de points situés sur le segment (o, i) que nous appellerons intervalle fondamental. Quelques-uns de nos résultats pourraient s'étendre comme les précédents aux ensembles de points à n dimensions, mais nous n'aurons pas à utiliser cette extension.

Considérons un ensemble de points de l'intervalle fondamental; nous dirons qu'il est dense dans un intervalle partiel (a, 6), si son ensemble dérivé contieut tous les points de cet intervalle. On voit qu'un ensemble dense dans un intervalle (a, b) contient, s'il est parfait, tous les points de cet intervalle.

Nous allons montrer maintenant comment on peut construire un ensemble parfait P défini dans l'intervalle fondamental. Soit,

dans cet intervalle, un point A n^appartenant pas à l^ensemhle P [ce qui suppose que F n*est pas dense dans l'intervalle (o, i)]. Supposons d'abord qu'il existe au moins un point B de P d'abscisse b supérieur à l'abscisse a de A. La limite inférieure des abscisses b est un nombre déterminé, p, abscisse d'un certain point N et l'on a jS^a. Le point N est évidemment point limite de P, c'est donc un point de P. Par suite, il ne peut coïncider avec A et l'on a : p ;> a. D'ailleurs, entre A et M, il n'y a certainement aucun point de P. Supposons de même qu'il y ait au moins, un point C de P d'abscisse inférieure à a, on voit qu'on pourra former un intervalle MN dont les extrémités seules appar^ tiennent àV et qui contient A à son intérieur.

Nous dirons, en adoptant une expression proposée par M. Baire, que l'intervalle MN ainsi déGni est un intervalle contigu à l'ensemble parfait P.

Pour exprimer que A est entre M et N sans coïncider avec M ni avec N, nous dirons que A est intérieur à MN au sens étroit; il serait intérieur au sens large s'il pouvait coïncider avec l'une des extrémités.

Il pourra exister des points A tels qu'il n'y ait pas de points de P à droite de A (c'est-à-dire d'abscisse supérieure). Dans ce cas, on pourrait encore construire un segment tel que MN, sauf que N serait le point i n'appartenant pas à P. De même, s'il n'y avait pas de points de P à gauche de A, M serait le point o.

Observons que si l'on détermine tous les segments tels que MN, on obtient une infinité dénombrable de segments n'empiétant pas les uns sur les autres et n'ayant même pas dextrémiié commune. Le fait que les intervalles conligus à P sont sans points communs résulte de leur définition même. De plus, ces segments forment un ensemble dénombrable. Car le nombre de ceux de ces

segments dont la longueur est plus grande que -- est inférieur à n

par suite des propriétés précédentes. D'après un raisonnement que nous avons fait plusieurs fois, cela suffit à démontrer noire propo^ sition.

Il en résulte qu'on obtiendra l'ensemble parfait P {qu'on a pris arbitrairement, mais distinct de l'ensemble des points de V intervalle fondamental) en enlevant de cet intervalle les

points intérieurs {au sens étroit) à un certain ensemble dénombrable E dUntervalles MN sans points communs. Réciproquement, si l'on opère ainsi en se donnant a priori un ensemble E, nécessairement dénombrable, d'intervalles MN sans points communs, V ensemble P obtenu est par/ait.

En eflFet, soit A' un point de l'ensemble dérivé P' de P; A' est un point de P sans quoi il serait intérieur au sens étroit à un intervalle MN qui ne contient pas de points de P autre que M ou N et alors A' ne serait pas point limite de P. Soit maintenant A un point de P, il faut montrer quMl y a au moins un point de P distinct de A dans tout intervalle a^ ayant pour milieu A et aussi petit que l'on veut. Or, ou bien il n'y a que des points de P dans l'un des deux intervalles Aa, A^ et alors la proposition est vérifiée; ou bien il y a au moins un point 6| dans aA et un point B2 dans ^ A qui n'appartiendraient pas à P. Les points B| et B2 seront respectivement situés dans deux des intervalles enlevés M| N^, M2N2 et, puisque A appartient à P, l'extrémité droite N| de l'un et l'extrémité gauche M2 de Tautre seraient deux points de P contenus l'un entre B^ et A, l'autre entre B2 et A et par conséquent contenus entre a et ^. De plus, l'un au moins de ces deux points est distinct de A, car les deux segments M|N|, M2N2, étant distincts, sont sans points communs. Ainsi l'ensemble P est parfait. Remarquons en passant que, sUl n'est dense dans aucun intervalle, on peut le considérer comme composé de l'ensemble dénombrable des points M (par exemple) et de l'ensemble dé rii^é de celui-ci. Car, d'après la démonstration précédente, dans tout intervalle a^ ayant pour milieu un point A de P il y a toujours un point M distinct ou non de A, à moins que P ne soit dense dans l'un des intervalles Aa, A^, ce qui est impossible dans notre hypothèse.

La même démonstration suppose qu'il existe au moins un point A dans l'ensemble P et alors il y en a nécessairement une infinité puisque A sera point limite. D'autre part, nous avons admis qu'on enlève de la droite seulement les points intérieurs au sens étroit aux segments MN (tous compris au sens large -entre o et i) ; mais la démonstration, pour être exacte, exige qu'on «nlève le point i pour l'unique segment qui se termine en ce point, s'il en existe un et de même pour le point o.

Si £ comprenait un segment qui soit précisément (o, i) et qu^on enlève tous les points de ce segment, P n'aurait aucun point. Si nous écartons ce cas, P a toujours une inanité de points.

En effet, dans le cas contraire, P n'aurait aucun point. Ceci est manifestement impossible, si E ne comprend qu'un nombre fini de segments sans points communs. Or le cas où E comprendrait une infinité de segments sans points communs se ramène à celuici au moyen du théorème général suivant (') qui s'applique à des intervalles quelconques empiétant ou non :

Si Von a sur le segment (o,i) une infinité E d'intervalles partiels MN, tels que tout point de la droite soit intérieur (au sens étroit) à l'un au moins de ces intervalles, il existé um NOMBRE LIMITÉ dc CCS intervalles, tel que tout point de la droite soit intérieur au sens étroit à au moins l'un d'eux.

Ce théorème a été démontré par M. Em. Borel dans le cas d'une infinité dénombrable d'intervalles. Nous allons donner la généralisation de M. Lebesgue (^) au cas d'une infinité quelconque d'intervalles. Nous dirons qu'un point x de l'intervalle (o,i) est atteint si l'on peut trouver un nombre fini d'intervalles MN qui recouvrent complètement l'intervalle (o, x) (en le débordant). Il faut démontrer que le point i est atteint. Le point o est dans un intervalle partiel au moins : [xv; donc il y a certainement des points atteints entre o et i : ceux qui sont entre o et v. Or tout point à la gauche d'un point atteint est atteint et tout point à la droite d'un point non atteint n'est pas atteint. Dès lors, si i n'est pas atteint, il y a un point Xq entre o et i qui est le dernier point atteint ou le premier point non atteint. Il est situé dans un de nos intervalles : [x'v'. Soient x^ entre [x'et Xq^ x^ entre x^ etv'. Le point 0:2 s ra atteint au moyen des intervalles qui servent à atteindre X\ (à la gauche de x^) et de l'intervalle u'v'. Ceci est impossible puisque x^ est à la droite de x^. Donc 1 est atteint.

D'ailleurs, il est loisible de supprimer les portions de ces intervnllcs qui pourraient déborder à la droite de i ou à la gauche

(^) Voir Em. Borkl, loc. cit. (p. f^2). L'extension au domaine à n dimensions est immédiate; elle a été développée dans le Journal de M. Jordan : Contribution à l'Analyse arithmétique du continu, par Em. Borel (p. 357, fascicule IV, 1908 ;.

(*) Voir Lebesoue, Leçons sur rintégration et la recherche des fonctions primitives. Paris, Gautliier-Villars.

lO CHAPITRE I.

de o, et alors tout point (sauf les points o, i) sera encore intérieur au sens étroit aux intervalles partiels. Il en serait de même pour le nombre Gni d^intervalles que nous avons obtenu.

Théorème fondamental sua la mesure. — Considérons maintenant un ensemble dénombrable E d'intervalles quelconques MN compris dans (o, i ) au sens large.

Nous pourrons les ranger dans un ordre déterminé : M|N|, M2N2, .... Appelons o"/ la longueur de M/N/. Si les intervalles n'ont aucun point commun, on aura certainement : T| -f- 0-2 -|- . . . -j- o-^ < i pour toute valeur finie de q. Donc la série à termes positifs :

sera convergente et sa somme o- ne sera pas supérieure à un. Autrement dit, la longueur totale des intervalles enlevés, que nous pourrons appeler la mesure de E, est au plus égale à la longueur totale de l'intervalle (o, i). Nous avons vu d'ailleurs que les points du segment (o, 1) ne sont pas nécessairement tous enlevés. Ou peut se demander s'il est possible (les intervalles MN empiétant ou non) que les points du segment (o, 1) soient tous enlevés sans que o* soit supérieur ou au moins égal à un, La ré- |)onse est évidemment négative dans le cas où il y a un nombre fini de segments MN. Il en est encore de même s'il y a une infinité dénombrable de segments MN puisque ce cas se ramène au précédent au moyen du théorème de M. Borel (p. 9). Ceci suppose que l'on enlève seulement de chaque segment MN les points intérieurs au sens étroit. Le résultat est encore exact dans le cas contraire. En effet, on enlèvera bien les points intérieurs, à M/N,- au sens large, si l'on supprime les points intérieurs au sens étroit au segment M)N)- qui a même milieu que M<N| et dont la longueur est o-'^= o-/(i 4- e), e étant un nombre positif fixe. Or, si la série o- = o-| 4- 0*2 -f- . . . est convergente et de somme inférieure à uriy on peut prendre e assez petit pour que la série convergente 0-'= 0"'^ 4-0-2 4-. . . ait aussi une somme inférieure à un. Mais, d'après ce qui précède, les points du segment (o, i) ne pourraient être tous enlevés, quand on emploie les segments M^N| au sens étroit. A fortiori, il en sera ainsi quand on enlève les segments M/N/ au sens large.

NOTIONS aâNÉRALES SUR LES ENSEMBLES. II

En résumé, lorsqvHon enlève du segment (o, i) tous les points intérieurs à une infinité dénombrahte d'intervalles M|N| e/npiétant ou non les uns sur les autres et de longueur totale

<y = {T| -h (Tj -j- . . . -h (T,, -4- . . . < I ,

il reste certainement des points non enlevés sur le segment (o, i). On peut dans cet énoncé entendre le mot intérieur indifféremment au sens étroit ou au sens large.

Donnons un exemple d'un tel ensemble d'intervalles. On obtiendra certainement tous les nombres rationnels compris entre o et I, dans la suite :

„ OIOI20I23

(eu supprimant les fractions non irréductibles, on a là une preuve directe que les nombres rationnels forment un ensemble dénombrable).

Soit — le terme de rang i de cette suite, nous prendrons pour intervalle M/Nj- l'intervalle ( — ^> — -H -^)* On aura :

2E 'IZ 2 S 2ô 2&

^^ = 1 r— ^ -4-...-+- — — : h... = 2eM,

M étant la somme d'une série convergente. Donc, en prenant pour £ un nombre déterminé, assez petit pour que 2e M soit inférieur à w/i, on aura o* < i et par conséquent en enlevant les intervalles M/N| il restera un ensemble G de points sur le segment o, i. En modifiant légèrement la construction, on peut obtenir un ensemble G parfait. En effet, supprimons d'abord de la suite des

nombres — les fractions non irréductibles. Puis enlevons successi-

vement du segment (o, i) les inlervalles M/N/, qui correspondent chacun maintenant à un seul nombre rationnel et réciproquement; mais, en arrivant à Tintervalle de rang i, rapetissons cet intervalle de façon qu'il n'ait aucun point commun avec les précédents. On aura, à plus forte raison, o'<[ i et il y aura encore un ensemble G de points non enlevés. D'ailleurs, cette diminution des segments M/N/ pourra se faire de façon qu'il reste encore

la CHAPITRE ].

une infinité de segments M/N/ non nuls. Sans quoi, il y en aurait un nombre fini sans points communs n^occupant pas tout le segment (o, i); il resterait donc au moins un intervalle (a, 6) de points

non enlevés. Or ceci est impossible, car dans la suite des — on

pourrait trouver un terme de rang assez élevé pour être intérieur à cet intervalle au sens étroit et qui pourrait encore donner lieu à un nouveau segment M/N,-.

Si maintenant on enlève les points intérieurs au sens étroit à cette infinité dénombrable d'intervalles sans points communs, on aura un ensemble parfait G (p. 8) et pourtant G ne sera dense dans aucun intervalle partiel (a, b) entre o et i . Car, étant parfait, il contiendrait tous les points de (a, b), ce qui est impossible d'après ce qui précède (•).

M. Cantor a donné un exemple efTectif d'un ensemble linéaire

])arrait qui n'est dense dans aucun intervalle entre o et i. Il utilise

dans ce but la représentation de l'abscisse dans le système de

numération dont la base est 3. Un point compris dans l'intervalle

ibndamenlal sera représenté par Texpression o^abcde, . . où les

nombres a, 6, c, ûf, e, ... sont tous o, i ou 2. On peut toujours

supposer, sauf pour le point o, que les nombres a, 6, c, ^f, é, . . •

ne sont pas tous nuls à partir d'un certain rang, car on peut écrire,

par exemple,

o^abcdi = o ^abcdoTii , . ., o , abcdi = o , abcdi %'ii ....

Cela posé, l'ensemble F sera formé de tous les points dont les abscisses o^abcde . . . peus^ent être écrites sans employer le chiffre i, en utilisant, s'il est nécessaire, la remarque précédente. On obtiendra tous les points de F en enlevant tous les autres. Or on y arrivera méthodiquement de la manière suivante.

On enlèvera d'abord les nombres dont le premier chiffre après la virgule est i , puis les nombres dont les premiers chiffres après la virgule sont oi ou 21, et ainsi de suite. On voit que cela revient à enlever les points intérieurs au sens étroit aux intervalles (o, i; 0,2); puis (0,01; 0,02) et (0,21; 0,22); puis (0,001; 0,002),

(') Bien que nous ne puissions faire ici un historique complet, il est nécessaire de dire que Paul du Bois-Reymond a beaucoup contribué à élucider ces notions.

NOTIONS GÉNÉRALES SUn LES ENSEMBLES. l3

(o,02i; 0,022), (0,201; 0,202), (0,221; 0,222), En définitive,

on voit qu'on enlèvera les points intérieurs au sens étroit à une infinité dénombrable d'intervalles sans points communs. Ainsi Fensemble F est parfait; d'ailleurs, il n'est dense dans aucun intervalle. Car, étant parfait, il devrait contenir tout cet intervalle, ce qui est impossible : dans tout système de numération, entre deux nombres quelconques, on peut en intercaler un troisième dont l'un des chiffres après la virgule soit i.

On peut même remarquer que si, avec les notations précédentes,, on appelle mesure de Vensemble F la quantité i — o-, la mesure de F est nulle. En elTet, les longueurs de nos intervalles sont, écrites dans le système de numération ternaire : 0,1; puis 0,01; 0,01; puis 0,001; 0,001; 0,001; 0,001 ; ....

On a donc

d'où

D'ailleurs, on peut former géométriquement nos intervalles d'une façon simple : on divise le segment (o, i) en trois parties égales et l'on supprime la partie moyenne; puis on fait de même dans les intervalles restants et ainsi de suite.

Enfin, notons ce fait paradoxal qu'après avoir enlevé du segment (o, i) une infinité de segments dont la longueur totale est égale à celle de ce segment, il reste un ensemble de points F qui a même puissance que l'ensemble des points de l'intervalle (o, i). En effet, un point quelconque de F a pour abscisse a = o,a6ct/« • •, où a, 6, c, <i, ... sont tous égaux, soit à o, soit à 2. Faisons correspondre à un tel nombre a, le nombre a' obtenu en y remplaçant 2 par I et supposé écrit dans le système binaire. Le nombre a' sera compris entre o et i et Ton établira ainsi une correspondance univoque et réciproque entre les points a de F et les points a' compris entre o et 1. Il y a une petite difficulté à cause du fait que certains nombres peuvent s'écrire de deux manières dans le système de base 2; mais leur ensemble est dénombrable (ce sont les nombres qui peuvent s'écrire au moyen d'un nombre ^/i/ de chiffres après la virgule) de sorte que la difficulté se lève aisément.

On peut généraliser ce dernier résultat sous la forme suivante :

l4 CHAPITnB I.

Théoueme de m. Gantor. — Tout ensemble parfait linéaire a la puissance du continu.

Il suffit de prouver le ikéorème dans le cas où Tenscinble parfait P n^est dense dans aucun intervalle. Car autrement, en supposant par exemple P entre o et i , Tensemble P serait une partie de l'ensemble continu (o, i) et d'autre part une partie de P, dense dans un intervalle (a, 6), coïnciderait avec l'intervalle (a, b) et aurait par conséquent même puissance que (o, i). P aurait bien dans ce cas la puissance du continu (*).

Supposons que P soit un ensemble parfait qui ne soit dense dans aucun intervalle. On peut l'obtenir en enlevant (au sens étroit) du segment (o, i) une infinité dénombrable d'intervalles partiels sans points communs Mf-N/. Puisque P n'est dense dans aucun intervalle, c'est que dans tout intervalle (a, b) il y au moins un point n'appartenant pas à P. Donc dons tout intervalle (a, 6), il y a tout ou partie d'un intervalle partiel M/Nj; en particulier entre M/N/ et MyNy, il y a au moins un intervalle entier M^N^t.

Ceci étant, la méthode de M. Cantor consiste à établir une correspondance univoque et réciproque entre tous les segments M/N/ et tous les nombres rationnels compris entre o et i , de manière que deux éléments correspondants soient disposés de la même façon. Pour cela, observons qu'on peut obtenir tous les segments M/Ni une fois et une seule en les rangeant de la façon suivante. Prenons un intervalle M|N| quelconque entre o et i, puis un intervalle M2N2 quelconque entre o et M|N|, M3N3 quelconque entre M<N< et i, M4NJ1 quelconque entre o et M2N0 (-), . . . , en prenant ainsi un intervalle MN successivement entre chacun de ceux qu'on a déjà pris, etc. Si l'on opère de la même manière pour les nombres rationnels, l'ordre relatif de ces nombres rationnels sera bien le même que celui des intervalles MN. Mais il est nécessaire de prendre une précaution pour être certain d'épuiser tous les nombres rationnels et tous les intervalles. Lorsque, ajant pris n — i nombres rationnels, on devra choisir

( ' ) Voir Em. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Note I.

(^) Pour être sûr d'obtenir ainsi tous les segments, il suffit, en les supposant rangés d'une manière quelconque en suite dénombrable, de prendre chaque fois rinlervalle MN qui a le plus petit indice parmi tous ceux entre lesquels on a le choix.

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES ENSEMBLES. l5

le 71**"*, au lieu de le prendre quelconque dans un certain intervalle déterminé ( — » -^ ) on choisira le nombre rationnel de cet intervalle que Ton trouve le premier dans la suite :

(ou dans tout autre ordre déterminé des nombres rationnels compris entre o et i). Par cette méthode on obtiendra bien chaque nombre rationnel une fois et une seule. En effet, diaprés la méthode suivie, chaque point rationnel utilisé n'est pris qu'une seule

fois. D'autre part, soit ^ un nombre rationnel (quelconque entre o

et i)qui occupe le rang n dans la suite (S); il suffit de démontrer que si l'on a pris les /i — i précédents au bout d'un nombre fini A d'opérations, le /i***"* sera choisi à son tour. En effet, la valeur

de — se trouve entre deux des B nombres de la suite (S), qui ont

été choisis après A opérations; soient a;^ et a^ ces deux nombres, qui correspondent à deux certains intervalles M^Na, M>iN>i. Soit MrNr celui des intervalles compris entre ceux-ci qui a le plus petit indice. Le nombre rationnel qui correspond à M^Nr est celui des nombres rationnels compris entre a;^, a^^ que l'on trouve

le premier dans la suite (S). C'est nécessairement — qui devra donc être pris à la /•'«"« opération.

Maintenant, faisons correspondre à un nombre rationnel

quelconque ~ l'extrémité droite Mr de l'intervalle correspondant M^N^. l^a disposition des points Mr est la même que celle des points—' Par suite, si M^ tend de façon quelconque vers un

point m du segment (o, i ), — tend vers un point déterminé ^ du

segment (o, i) et réciproquement. Je dis que la correspondance

entre les points M^ et — > m et ^ est une correspondance univoque

et réciproque entre les points de P (sauf les points N) et l'ensemble continu formé par les points du segment (o, i). Il suffit évidemment de montrer : i° que tout point de P qui n'est pas un point N est un point M r ou un point m, ce qui a été établi page 8 ;

1^ que tout point entre o et i est un point — ou p, ce qui est

évident.

Donc P a la puissance du continu. On aurait pu donner de ce fait une démonstration plus courte, mais la méthode précédente (due à M. Ganlor) a l'avantage de fournir une correspondance effective remarquable entre les points de P (sauf les points N, dont l'eusemble est dénombrable) et les points de (o, i).

Ensembles mesurables.

Nous avons eu déjà l'occasion (p. i3) de parler de la mesure d'un ensemble linéaire. On peut généraliser cette notion de plusieurs manières ( * ). Cette extension est toute naturelle lorsque Ton considère un ensemble E formé des points d'une infînité d'intervalles sans points communs deux à deux et situés entre o et i. On a vu que ces intervalles sont en infinité nécessairement dénombrable et que la somme

5 = 0" [ -h ffj -f- . . . -H Œ/i -h . . .

de leurs longueurs est déterminée et au plus égale à i . Ce sera la mesure de E; et la longueur i — o- (qui peut être nulle) sera la mesure de l'ensemble complémentaire C(E).

Nous obtenons ainsi deux classes d'ensembles que nous pourrons appeler mesurables. On pourra en ajouter d'autres par les conventions suivantes. Si Ton a un ensemble dénombrable E d'ensembles mesurables E/ sans points communs deux à deux, la mesure de E sera la somme des mesures des ensembles E/. Si un ensemble mesurable E| est compris dans un ensemble mesurable E2, la mesure de l'ensemble (E^ — E2) sera la did'érence (ti — t^) de leurs mesures respectives o-i, o-j.

On s'assure facilement (-) que la mesure ainsi définie est un nombre déterminé qui n'est jamais négatif, de sorte qu'on n'est

(>) La définition donnée dans le texte a déjà été exposée par M. Borel dans les Leçons sur la théorie des /onctions ( p. 46 ). Elle a été généralisée par M. Lebesgue dans sa Thèse. On verra, dans ces deux Ouvrages, comment on est amené logiquement à la définition de la mesure.

(^) Voir par exemple Lkbesque, Annali di Afatematica, 1902, p. 288.

jamais conduit à des contradictions. Lorsque les définitions précédentes pourront s'appliquer à un ensemble E, nous dirons que cet ensemble est mesurable. Ainsi un ensemble qui comprend un seul point est mesurable et sa mesure est nulle; car Tensemble complémentaire est évidemment composé d'intervalles sans points communs dont la longueur totale est égale à i . Il en résulte qu'un ensemble dénombrable est mesurable et que sa mesure est nulle. D'autre part, un ensemble parfait est évidemment mesurable, puisque l'ensemble complémentaire est formé d'intervalles sans points communs. Or, un ensemble fermé F est la somme d'un ensemble dénombrable D et d'un ensemble parfait P. Donc F est mesurable et sa mesure est celle de P.

Plus généralement, un ensemble dénombrable E d'ensembles parfaits sera mesurable. Il en est ainsi, même lorsque ces ensembles parfaits ont des points communs. Car on obtient chacun d'eux en enlevant du segment (o, i) une infinité dénombrable d'intervalles sans points communs. Par conséquent, on obtiendra l'ensemble total en enlevant de la droite une infinité dénombrable d'intervalles qu'on peut supposer sans parties communes, mais qui auront peut-être deux à deux une extrémité commune. Si l'on enlevait aussi ces extrémités communes, on aurait un ensemble mesurable E|. L'ensemble E est donc mesurable, puisqu'il est la somme de l'ensemble E| et de l'ensemble des extrémités communes, lequel est nécessairement dénombrable.

Désignons en général par (E| -|- E2 + . . .) l'ensemble dos points qui appartiennent à l'un des ensembles Ef, E2, ..., et par (E|, E2, •••)) l'ensemble des points qui appartiennent à la fois à chacun des ensembles E|, E2, • . ..

Si les ensembles Ei, E2y ... sont mesurables, les deux ensembles (E| -hE2 4-. . .), (E|, E2, ...) sont aussi mesurables (*). Or, on peut remarquer que tous les ensembles que nous pourrons effectivement former seront obtenus chat-^un en effectuant un nombre fini de fois, sur des ensembles, sommes d'intervalles, ou sur leurs complémentaires, les opérations représentées parles symboles (E| -h E2-f-. . . ), (E|, Eo, ...). Par

(') Voir par exemple Lsbesque, loc* cit., p. aSg^ 2/10.

|8 CMAPITRI*: I.

suite, ils seront tous mesurables. Pour préciser cela, nous e?kaininerons un cas particulier.

Appelons ensemble limite complet des ensembles E|, E2, . . . Tensemble E formé des points qui appartiennent à une infinité d'enire eux. Appelons aussi ensemble limite restreint des ensembles E|, ... l'ensemble R formé des points tels que, pour chacun d'eux, on puisse déterminer n de façon que ce point appartienne à E„, E„^i, .... On voit que l'ensemble R est contenu dans l'ensemble E; mais il ne lui est pas identique, en général.

On peut observer que l'ensemble limite complet E des ensembles E|, Ea, ... est le complémentaire de l'ensemble limite restreint des complémentaires c(E|), ^(Ea), ... des ensembles donnés et de même en intervertissant les mots complet et restreint.

Je dis que, si les ensembles E|, Ea, . . . sont mesurables^ il en est de même des ensembles limites E, R. En eflTet, si l'on pose e„ =(E„, E„^|, . . .), on voit que Ton a

Par suite R est mesurable. Mais alors Tensemble limite restreint des ensembles c(E|), ^(Ea) . . ., qui sont mesurables, sera mesurable. Donc le complémentaire E sera mesurable.

Nous allons même montrer qu'on peut avoir un renseignement sur la mesure de E (ou de R), même lorsqu'on ne connaît que les mesures des E/.

Pour cela, faisons d'abord remarquer que si chacun des ensembles E/ était mesurable et contenu dans le précédent, la mesure de E serait la limite des mesures des ensembles E/. En effet, l'ensemble c(E) est évidemment de la forme

c(E) = ic(Ei)-H[Ei, c(E,)] + ...-f-[E«, c(E«^0]-+-...j.

Or les ensembles [E«, c(E„^, )] sont sans points communs et par suite la mesure de c(E) sera la somme de leurs mesures. Donc, en appelant t la mesure de E, t/ la mesure de E/, on a

D'où

ex = limite j;,.

Supposons maintenant que parmi les ensembles E/ il en existe une infinité qui soient mesurables et tels que la mesure a-/ de chacun d'eux, F/, reste supérieure ou égale à un nombre positif fixe k\ Dans ces conditions, je dis que Tensemble limite complet E contient un ensemble mesurable F dont la mesure n'est pas inférieure à k.

En efiTet, je vais d'abord montrer qu'étant donné s (nombre positif plus petit que A), on peut former un ensemble mesu. rable G|, de mesure supérieure ou égale à A", tel que (Gi, F/)

ait une mesure supérieure ou égale à /c quel que soit i.

Si l'ensemble F< ne peut pas être pris pour ensemble G|, il y a

un ensemble F/^, tel que : mes.(F|, F/J<; k — -• Or on a

Les deuxpremiers ensembles étant sans points communs, on aura

mes. [F,, c(F/,)] = mes.Fi— mes. (F,, F/,)^ -•

Alors, posons

F', = [Ft,c(F/.)] + F,-=:(F,-f-F,.).

L'ensemble F', sera mesurable, sa mesure étant supérieure ou

égale à A' -h }• Opérons sur F^ comme sur F| : ou bien F'^ répond

à In question, ou bien on formera un ensemble F^ dont la mesure

sera supérieure ou égale à [ A: -f- 7) -h - > et ainsi de suite; si

aucun des ensembles formés au bout de p opérations ne satisfait aux conditions, le dernier V sera mesurable et sa mesure sera

supérieure ou égale à k-^p-- Or, lorsque p devient suffisam-

ment grand, k -^ p - arrive à surpasser i , ce qui est impossible. On

trouvera donc l'ensemble cherché G| au bout d'un nombre limité d'opérations. D'ailleurs G| est évidemment formé de points tous contenus dans l'un au moins des ensembles Ff, F2, .... Mais les ensembles G), = (G| , F„^| ) sont mesurables et leurs mesures sont

supérieures ou égales à A* • Par conséquent, on pourra,

d'après ce qui précède, former un ensemble mesurable G2 dont la

^O CllAPITRB I.

mesure n'est pas inférieure à A* — - et tel que les mesures des

ensembles (G2, G^,) soient supérieures ou égales à A: -•

D'ailleurs, les points de G^ seront tous contenus dans l'un des ensembles (G|, Fa), (G|, Fs) ..., c'esl-à-dire dans l'un des ensembles F2, • . ., F/,, ... ; ils sont tous aussi dans G|.

Opérant sur les ensembles G* = (Gj, G^^+a) comme sur les ensembles (G|, F„^i), on obtiendra un ensemble G3 contenu

dans G2 et dont les points appartiennent àFs, F4, .... De plus G»

est mesurable, sa mesure n'est pas inférieure k k -r et les

ensembles (G2, G*) ont leurs mesures supérieures ou égales

kk 7 — 5» et ainsi de suite: on aura des ensembles Gi,

Ga, G3, . . . , Grt, - . . mesurables, chacun compris dans le précédent, et dont les mesures sont supérieures à A* — e. D'après ce que nous avons vu, leur ensemble limite G est mesurable et sa mesure^ limite de la mesure de G», sera supérieure ou égale à A* — s. D'ailleurs, un point A de G appartient à tous les ensembles G/i, c'est donc un point de l'un des ensembles F,, Fa, F,, .... Il ne peut appartenir seulement à un nombre fini de ces ensembles : Fto,, . . ., F^ . Car, si N est le plus grand des nombres /W|, . . ., m^, comme G est contenu dans G^^n ses points appartiennent tous à l'un des ensembles F^^.,, FJ,^j, .... Donc A appartiendrait à d'autres ensembles que F„ip . . . , F,„ . Par conséquent, tout point de G est un point de £.

Prenons maintenant des nombres ei, 829 • • -7 ^n; • • •) tendant vers zéro; soient G(e,), G(e2), ..., G(en), ..., les ensembles qui se déduisent de ces nombres comme nous avons déduit G de e ; nous prendrons

L'ensemble F ainsi défini est contenu dans £ et a une mesureau moins égale à A.

On pourrait définir F d'une manière plus simple, mais mettant moins en évidence sa construction : parmi les ensembles Ë/, les F/ sont mesurables et de mesure ^A*; posons

NOTIONS GENERALES SUR LES ENSEMBLES. ai

et soitHrensemble des points communs à tous lesH,i; comme H/, est contenu dans Hn-i et de mesure au moins égale à A*, H est de mesure au moins égale à A:. Or £ contient H ; le théorème est donc

démontré.

De celle démonstration il résulte que, si les ensembles E/ sont mesurables et s^ il y en a une infinité de mesure supérieure ou égale à A", V ensemble limite complet E {qui est mesurable) a une mesure supérieure ou égale à k.

Appliquons ce résultat aux: ensembles c(E/); en tenant compte de ce que leur ensemble limite complet est c(R), on arrive au résultat suivant : si les ensembles E/ sont mesurables et s* il y en a une infinité dont les mesures soient inférieures ou égales à A, r ensemble limite restreint R [qui est mesurable) a une mesure inférieure ou égale à h. Ce résultat est d'ailleurs très aisé à démontrer directement.

' Pour tirer de ces propositions tout ce qu'elles peuvent faire connaître sur la mesure de E et R, il suffit d'introduire la plus grande et la plus petite des limites (L et /) des mesures o-/ des ensembles E/. On pourra prendre pour valeurs des nombres k et A, dans les énoncés précédents, les quantités L — set /-h e où e est un nombre positif aussi petit que Ton veut. Par suite, on peut dire que la mesure de E est supérieure ou égale à l et que la mesure de R est inférieure ou égale à L.

En particulier, les ensembles E, R ne peuvent coïncider que si les mesures (Tî des ensembles E/ tendent vers une limite dé terminée qui sera la mesure commune de E et de R.

Ensembles de première catégorie.

M. Baire appelle ensemble de première catégorie tout ensemble dénombrable E d'ensembles E|, E2, ••• qui ne sont denses dans aucun intervalle entre o et i.

Un point appartiendra à Tensemble E s'il appartient à l'un des ensembles E|, E2, .... Si les ensembles E|, E2, ... ont des points communs, ceux-ci ne seront comptés qu'une fois dans E. D'ailleurs, on peut supposer que Ef, E2, •.. soient sans points

!22 CHAIMTHE I.

communs. £n effet, soit E^ l'ensemble des points de E2 qui ne sont pas dans E|, soit £', l'ensemble des points de Ë3 qui se sont ni dans E| , ni dans E^, .... L'ensemble E| -h E^ -h E, + . . . et l'ensemble E contiennent les mêmes points, chacun une fois. Et les ensen'ibles E'jj, E'^, . . ., seront a fortiori non denses dans tout intervalle s'il en est ainsi pour E2, E3, ....

Soit c(E) l'ensemble complémentaire de E, c'est-à-dire l'ensemble des points du segment (o, i) qui ne figurent pas dans E. L'ensemble c(E) est dense entre o et i ; c'est-à-dire que, dans un intervalle (a, b) quelconque, il y a des points qui n'appartiennent pas à E. En effet, dans (a, 6), on peut trouver un intervalle («i , bx) où il n'y ait aucun point de E| puisque E| n'est dense nulle part; de même, on peut trouver dans (a<, b^) un intervalle (a^, 62) où il n'j ait aucun point de E2, .... Comme on peut prendre a^ 6|, 0262) • • • aussi petits que l'on veut, on voit qu'on aura une suite d'intervalles Onba emboîtés les uns dans les autres qui tendront vers un point a. Il y a donc bien dans (a, b) un point a qui n'appartient pas à E, sans quoi a appartiendrait, |)ar exemple, à l'ensemble E^, ce qui est impossible puisqu'il est dans apbp.

Un ensemble dénombrable d'ensembles de première catégorie E^*^, ..., E^"^, ... est encore de première catégorie. Car si £(/!) = Ef) ^ ...+- E^'^ -h ... , l'ensemble des ensembles E^'^ sera un ensemble dénombrable d'ensembles E^"qui ne sont denses dans aucun intervalle.

Tout ensemble qui n'est pas de première catégorie sera, par définition, de seconde catégorie; un tel ensemble, nécessairement, sera dense dans au moins un intervalle partiel entre o et i .

Par exemple, Vensemble des points de (o, 1) est de seconde catégorie puisque, dans un intervalle partiel, tous les points de cet intervalle appartiennent à l'ensemble. Il en résulte que si un ensemble quelconque E est de première catégorie, r ensemble complémentaire c(E) est de seconde catégorie, sans quoi la somme de ces deux ensembles [c'est-à-dire l'intervalle (o, i )] serait de première catégorie.

Oscillation en un point. — Nous nous bornerons d'abord au cas d'une fonction uniforme d^ une variable réelle f{x) définie dans un inlervalle pour lequel nous pourrons prendre le segment (o, i).

Soit Ç un point compris dans l'intervalle partit.'l {x — h, x -h h). L'ensemble des valeurs /($) a toujours une limite supérieure M(^, h) s'il existe un nombre fixe B tel que l'on ait toujours y(Ç) •< B. S'il n'existe pas un tel nombre B, nous dirons encore que /(Ç) a une limite supérieure M(:r, A) = 4-00. De même, /{^) a, dans tous les cas, une limite inférieure m{x, h) qui est la limite supérieure de — /($). Observons que les limites supérieure et inférieure dey(Ç) peuvent ne pas être atteintes; en particulier, il peut arriver que /(Ç) soit toujours fini et que M soit infini. Tel serait le-cas pour la fonction /(j:) qui est égale à q lorsque x est

égal à la fraction irréductible — et qui est nulle quand x est

incommensurable.

On appellera oscillation dans l'intervalle (x — A, x -+- h) la quantité w(a:, h) = M(x^ h) — m(x, h).

Considérons maintenant les limites supérieure et inférieure dey(^) dans un intervalle (x — h\ x -^ h') plus petit que le précédent; soient M(a:, A'), m(^, A'). On a M(:r, A')<M(a:, A) puisque les valeurs que prend f{x) dans Tinlervalle x — A', X -\- h' sont des valeurs de /(x) dans Tintervalle x — A, x + h. De même m{Xj h')'^m{Xy A).

Si donc on fait décroître le nombre, positif A, on voit que M(Xj A) décroîtra constamment ou du moins ne croîtra pas et inversement pour m{xy A). D'ailleurs M(a:, A) reste manifestement supérieur ou égal à /(^) et m (a:, A) inférieur ou égal kf{x).

a 4 CHAPITRE II.

Ces deux quantités ont donc respectivement des limites M(jr) et m{x) lorsque h tend vers zéro de façon quelconque et Ton a

Les deux quantités M(j?) el m{x) qui sont bien déterminées en chaque point x de rînlervalle o, i sont appelées le maximum et le minimum de la fonction f{x) au point x. Il peut d'ailleurs arriver que leurs valeurs soient infinies. On doit remarquer que les mots de maximum et de minimum ne sont pas employés ici dans leur sens ordinaire. Nous définirons aussi l'oscillation de /(x) au point x^ ce sera la quantité

qui est toujours positive ou nulle (*).

La condition nécessaire et suj/î santé pour que la/onction /(x) soit continue en un point x est que son oscillation en ce point soit nulle.

Par définition, la fonction /(j;) sera continue en x si, quelle que soit lu quantité positive e, on peut trouver un intervalle {x — h^ X -\- h) tel que l'on ait

lorsque Ç est quelconque dans cet intervalle. S'il en est ainsi, ou aura ni^cessairemcnt

d'où

D'ailleurs co(a:, A) ne croît pas lorsque h décroît et sa limite est (ù{x). Donc (i>{x) est inférieur ou égal à un nombre positif as qui est aussi petit que l'on veut et, par suite, (o(a*) est nul. Réciproquement, si (ù(x) = o, on aura

(') Les définilions que nous venons de donner s'étendent immédiatement aux fonctions de plusieurs variables.

NdtlONS SUR LA CONTINUITÉ. a5

Or on peut trouver un nombre h tel que l'on ait

M(a?, A) — M(27)<e, /n(a?) — /n(ar, h)<^t.

Si $ est compris entre x — A et ^ + A, on aura

/"(.r, A)£/(Ç)^M(a7, A), d'où

/(ar) — e</(î)</(ar)-he.

Ainsi, lorsqu'une fonction f{x) est discontinue en un point x^ Toscillation est sûrement positive en ce point. Nous pourrons dire que la valeur de l'oscillation en un point est la mesure de la discontinuité en ce point. On peut alors compléter ainsi la proposition précédente :

/«a condition nécessaire et sujjîsante pour que la mesure de la discontinuité en un point x soit supérieure ou égale à un nombre b {positif ou nul) est que Von puisse faire correspondre, à tout nombre positif ^^ un nombre h tel que Von ait pour\r,\<\h\

Ç, et $2 étant deux certains points de Vinten^alle {x — rj, x-\-r^). En effet, si cette condition est remplie, on a

Lorsqu'on fera tendre t^ vers zéro, on aura

quel que soit e et, par conséquent, (ù(x)^b.

Réciproquement, si (i)(x)^6, on peut trouver un nombre A tel que

(i}(Xy h)^^ b — -»

€ étant un nombre positif donné. Or, on peut déterminer deux nombres Ç|, $2 dans l'intervalle {x — A, x + A), tels que

D'où

/(îi)>M(rr, A)-|, -/(Ç,) > m(^, A) - ^'

l/(Si) -/(?.); > ^(^, A) - ^ > 6 - e.

26 CIIAPITKE II.

Il résulte presque îmnnédialemcnt de notre proposition que V ensemble E des points oà la mesure de la discontinuité de/(x) n'est pas inférieure à b{b> o) est un ensemble fermé.

En effet, soit ai un point limite, s'il en existe, de points a où l'on ait ti)(âc)> b. On peut, dans tout intervalle (ai — r,, a, 4- r^), trouver une infinité de points a; considérons un de ces points a distinct des extrémités de Tintervalle. Étant donné le nombre positif e, on peut trouver un intervalle (a — rj', a -f- r/) assez petit pour être compris dans le premier et dans lequel il existe deux points in ^2 Icls que

Comme Ç| et Ça sont compris dans l'intervalle (ai — t^, a, -4- r\) et qu'on peut prendre r\ aussi petit que l'on veut, on aura a)(ai)^6 d'après le théorème précédent et par conséquent ai est lui-même un point a.

Bien entendu, il peut arriver qu'il ny ait pas de points limites de points a et dans ce cas E ne contiendra qu'un nombre fini (ou même nul) de points a.

Fonctions ponctuellement discontinues, — On dit qu'une fonction y(jc) est ponctuellement discontinue entre o et i , si l'ensemble de ses points de discontinuités ne contient aucun intervalle. C'est-à-dire que, dans tout intervalle (a, b) compris entre o et I, on peut trouver un point où la fonction est continue. SoilE,, l'ensemble des points où l'oscillation de f{jo) est supérieure ou

égale à -• L'ensemble E des discontinuités de/(.r) est formé de

tous les points qui figurent dans l'un au moins des ensembles E/. L'ensemble E,| est un ensemble fermé, qui ne contient aucun intervalle puisqu'il est contenu dans E; donc il n'est dense dans aucun intervalle entre o et i . 11 en résulte que E est un ensemble de première catégorie. On sait même quelque chose de plus sur cet ensemble, car les ensembles E„ sont fermés.

Considérons maintenant un ensemble dénombrable de fonctions ponctuellement discontinues entre o et i : ^i , . . . , /^, ... ; dans tout intervalle {a, b) entre o et i, il y a des points oà

toutes ces /onctions sont continues (*). En efiTet, l'ensemble des points de discontinuité pour l'une des fonctions /i, . . •,/*;», . . . est l'ensemble dënombrable des ensembles de discontinuité de chacune de ces fonctions. Chacun d'eux étant de première catégorie, il en est de même de l'ensemble lolal (p. 22), ce qui démontre la proposition.

Continuité uniforme, — On dit que f{x) est uniformément continue dans un intervalle a^ b, si l'on peut faire correspondre à tout nombre positif e un nombre positif A tel que l'inégalité

entraîne, pour deux points quelconques ^1 , ^2 de l'intervalle (a, b),

l'inégalité :

l/(?t)-/($OI<e.

On voit d'abord que ceci ne peut avoir lieu que si/^x) est continue en tout point de l'intervalle a, b.

Réciproquement, siy(^) est continue en tout point de l'intervalle (a, 6), extrémités comprises, y(^) est uniformément continue entre a et b, La restriction relative aux extrémités est essen-

tielle ; ainsi, sin— est continu pour toutes les valeurs de x comprises

entre o et i sauf à l'extrémité x = o; sin- n'est pas uniformément

continu entre o et i.

On connaît la démonstration classique du théorème que nous venons d'énoncer; M. Baire en a généralisé l'énoncé.

TnÉouliME DE M. Baire. — Si, dans un inten^alle (a, b),, on a : tô[x)^b, on peut faire correspondre à tout nombre positif t un nombre positif 7i, tel que ^inégalité \\x — $2! < ^1 entraîne pour deux points quelconques Ç| , Ç2 de l'intervalle (a, b), l'inégalité :

En ellet, si x est un point de l'intervalle (a, 6), on peut former

(*) Ce théorème a été d'abord démontré par M. Volterra dans le cas d*un nombre flni de fondions/, ...,/.

'iB CHAPITRE II.

un iutervalle (x — h^x + h) dans lequel on aura :

c«)(a:, h) — bi{x) < e, OU

et alors ^i, ^2 étant deux points quelconques de cet intervalle, on aura r

Ainsi, à tout point x de l'intervalle (a, b) on peut faire correspondre un intervalle MN {x — A, ^ + h) dans lequel Tinégalilé précédente est vérifiée, et qui contient x à son intérieur au sens étroit. Donc, d'après le théorème (p. 9), on peut trouver un nombre fini de ces intervalles M<N|, ..., M^N^, tels que tout point de (o, i) soit au moins dans Tun d*eux au sens étroit.

Ceci étant, si Ton inarque les extrémités de ces segments, ils partagent la droite en un nombre fini d'intervalles a^ dont la longueur minimum est un certain nombre positif 7,. Si deux points Çiîia du segment (o, i) sont séparés par une distance inférieure à 7), ils sont dans le même jntervalle a^ ou dans deux intervalles a^ contigus ; donc ils sont dans le même intervalle M/N/ et rinégalité est bien vérifiée.

Nombres dérivés,

Paul du Bois-Reymond et Dini ont étendu la notion de dérivée d'une fonction au cas d'une fonction continue quelconque. Considérons la quantité

OÙ h est une quantité petite et différente de zéro. L'expression ©(^, h) est bien déterminée pour x fixe et h compris entre o et T^; soient L(j?, vj), /(^, rî) les limites supérieure et inférieure des valeurs de <p(x, h). En supposant par exemple tj positif, nous dirons que a: + t^ est à droite de x et nous appellerons nombres dérivés à droite de x par excès et par défaut les quantités :

^dfi^) = limiteL(a7, tj)

K/i^) = limite /(a?, rj

en siipposanl que y^ tende vers o par valeurs constammenl positives et non nulles. Les quantités L et /auront bien chacune une limite (d^ailleurs finie ou non); car, lorsque y^ décroît, il en est

manifestement de même de L et de .» et Ton a toujours L^/.

On définira de même les dérivées à gauche A*y(ar) en supposant que 7^ reste négatif. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit dérivable en:r est évidemment que les quatre nombres dérivés soient égaux en ce point. On obtiendrait une classe plus étendue de fonctions en imposant la condition que les quatre nombres dérivés soient finis. Celte condition s'est introduite naturellement, indépendamment de la notion de nombre dérivé, dans la théorie des équations difl'érentielles. C'est la condition dite de Lipschitz à laquelle on donne habituellement la

forme

La considération des nombres dérivés permet de généraliser certaines propriétés des fonctions dérivables. Par exemple, la condition nécessaire et suffisante pour que deux fonctions continues quelconques ne difl'èrent que par une constante est que leurs nombres dérivés correspondants (supposés finis) soient égaux. Nous renverrons pour plus de détails au livre de M. Lebesgue (foc. cit.).

Intégrale.

Considérons une fonction f{x) quelconque, définie entre o et i ,

Riemann a donné la définition suivante de l'intégrale / f{x) dx.

Bornons-nous au cas où a <C 6 et divisons l'intervalle a, b en intervalles partiels séparés par les points (rangés dans l'ordre croissant de leurs abscisses).

et soient M/, m/ les limites supérieures et inférieures de /'(^) dans l'intervalle (^/-i, xi). Nous supposerons que la fonction est bornée entre a et i, c'est-à-dire reste comprise entre deux nombres finis M et m. Alors les nombres M/, mi sont finis et il en est de

3o CHAPITRE II.

même des deux sommes

S = Mi(a7i — a:o)-+-. . .-i- Mn{^n — ^n-l),

qui sont comprises entre M (6 — a) et ni{b — a).

M. Darboux a démontré (*) que ces deux sommes ont chacune une limite bien déterminée lorsque l'étendue de rinlervalle partiel maximum tend vers zéro. On pose

Wms = / f{x) dx.

La première est l'intégrale supérieure, la seconde est l'intégrale inférieure.

Par définition, la fonction f{x) sera intégrable de a à 6 au sens <le Riemann [ou intégrable (R)], si ces deux quantités sont égales

et leur valeur commune sera la valeur de l'intégrale / f{x) dx.

Il est d'ailleurs évident que, si la fonction f{x) est continue de a à by elle sera intégrable au sens de Riemann. Car on pourra trouver un nombre o tel que, si x' et x*' sont (entre a et b) dans un intervalle quelconque plus petit que S, on ait

Alors, en prenant les intervalles partiels plus petits que S, on aura

S — 5 = (Ml— //t|) (^1 — iFo)-+-. . .4-(Mrt— nin){Xn— X,i-\) < 6(6 — a).

Et par conséquent, comme e est aussi petit que l'on veut, la limite ■de S — s est nulle.

11 existe des fonctions qui sont intégrables (R) sans être continues : telle est, par exemple, la fonction égale à o entre o et -^ et •égale à i entre ^ et i. Mais toutes les fonctions ne sont pas intégrables (R). Il est nécessaire et suffisant pour qu'une fonction le soit, que la quantité (S — s) tende vers zéro lorsque les longueurs des intervalles partiels tendent vers zéro.

(•) Darbol'x, Mémoire sur les fonctions discontinues {Annales de l'École normale, 1875).

NOTIONS SLR LA CONTINL'ITÊ. 3l

Il en résiille que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction bornée f(^x) soit intégrable (R) est que la longueur totale d des intervalles sans parties communes^ tels que dans chacun d^eux V oscillation totale soit supérieure ou égale à un nombre positif arbitraire ty tende vers zéro lorsque, e restant fixe y les longueurs de chaque intervalle tendent vers zéro, Kn effet, f|uel que soit le mode de division, ou aura S — s^td. Donc (^ tend vers zéro si la fonction est intégrable (K). Uéciproquement, remarquons que, dans chaque intervalle, l'oscillation est plus petite que M — m. D'où

et, lorsque les longueurs des divisions tendent vers zéro, on peut prendre e, puis <i aussi petits que Ton veut, par conséquent (S — s) tend vers zéro.

Remarquons que si V oscillation en un point est supérieure ou égale à e, Voscillation dans un intervalle quelconque contenant ce point sera aussi supérieure ou égale à s. Donc, Tensembie Ë' des points où Toscillation est supérieure ou égale à e est contenu dans Tensemble Ë des points des intervalles où Toscillation est supérieure ou égale à e, et ceci dans un mode de division quelconque de rintervalle fondamental (les points de division seuls pourraient avoir une oscillation supérieure à e, il n'en résulte pas de difficulté).

D'ailleurs l'ensemble E' est fermé (p. 26) et par suite mesurable. Dès lors, si la fonction est intégrable (R), la mesure d' de Ë' (inférieure à la mesure (^ de Ë qui peut être rendue aussi petite que Ton veut) sera nulle. En particulier, ^ensemble des discontinuités f{x) (qui est la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles tels que Ë') sera de mesure nulle. La réciproque est vraie; voir Lebesgue {loc. cit.), pages 29 et 109.

Généralisation de AI. Lebesgue. — Pour obtenir l'intégrale de Riemann, on commence par diviser Tintervalle d'intégration en intorvallé^T partiels et l'on multiplie la longueur de chacun d'eux par une ordonnée correspondante. M. Lebesgue suit une marche inverse; il commence par établir des divisions dans Vin-

tervalle de variation (m, M) Aef{x)j

Si la fonction ne décroissait jamais de a à 6, les points pour

lesquels on a

yt-\<f{3:)<yi

seraient dans un seul intervalle de longueur ^|. Ceux pour lesquels on a

seraient dans un intervalle de longueur e^ (les quantités e/, e\ peuvent être nulles). Alors Tintégrale de Riemann serait évidemment la limite des quantités

C'est cette limite que nous prendrons encore comme valeur de l'intégrale (L) (intégrale de M. Lebesgue) pour une catégorie de fonctions beaucoup plus étendue, en généralisant la signification des quantités ^z, e^.

Pour cela, considérons une fonction /(x) définie pour tous les points d'un ensemble mesurable E et bornée (*). Nous dirons qu'elle est intégrable (L) dans l'ensemble E, si l'ensemble F des points de E te/s que

est mesurable quels que soient h et ^ et sUl en est de même de l'ensemble G des points de E tels que

f{x) = A quel que soit A. En particulier, l'ensemble E peut être un inter-

(*) Dans tout ce qui suit nous n'avons considéré, pour plus de simplicité, que des fonctions bornées. Les résultats que nous démontrerons peuvent être étendus à certaines fonctions non bornées {voir Lebesour, Annali di MatematicOf 1903, p. 259).

valle (a, b) déterminé. Observons que l'ensemble G est l'ensemble des points communs aux ensembles F;, tels que

Donc si les ensembles F sont mesurables quels que soient A et B, il en sera de même des ensembles G. En remplaçant les inégalités

précédentes par A £/(a:)^ Ah — > on voit aussi que si les

ensembles tels que A^y(^)^B sont mesurables, la fonction est intégrable (L).

Si maintenant m et M sont les limites supérieures de /(x) dansE el^i,^2, .. .,y„i des valeurs croissantes intermédiaires, avec yQ-= m^ j^„=M, nous pourrons appeler Ci la mesure de Pensemble des points tels que

el e] la mesure de l'ensemble des points tels que

Les expressions (i), (2) donneront donc à S et 5 des valeurs finies bien déterminées et, en appliquant à ces sommes le raisonnement employé par M. Darboux pour l'intégrale de Riemann, on voit que ces deux expressions ont séparément des limites déterminées lorsque les longueurs des intervalles yi — yi__^ tendent vers zéro.

D'ailleurs

t=zn

— ■* = 2 ^'(^*— ^'-i )^^^ry

en appelant e la mesure de E el Sjr la plus grande longueur des intervalles yi — ^i|. Donc S — s tend vers zéro avec Ay et par conséquent les deux limites S et 5 sont les mêmes. Celte limite commune est l'Intégrale de M. Lebesgue,

prise dans l'ensemble E. [I est d'ailleurs manifeste que si deux

ensembles E, E' sont sans points communs et si la fonction est

34 GHAPITIŒ II.

inlégrabie (L) dans chacua d^eux, elle sera intégrable (L) dans Tensemble E 4- E' et l*on aur^

(L) f fdx=^{L) Çfdx^iD ffdx.

En parliculier, si E est Tinlervalle de a à 6 (au sens large ou étroit), l'intégrale s'écrira

(L) f fax.

Enfin, n'oublions pas d'observer que S et ^ sont tous deux compris entre Me et me.

Pour que Tintégrale de M. Lebesgue soit une généralisation utile, il faut qu'elle comprenne Tintégrale de Riemann comme cas particulier. Nous allons montrer qu'il en est bien ainsi : LorsqiC une fonction est intégrable (R) dans un intervalle (a, 6), elle est intégrable (L) et les valeurs des deux intégrales (R) et (L) sont les mêmes dans cet intervalle.

En effet, soit E l'ensemble des points où l'on a A</(j?)^B. Soit e l'ensemble des points limites de E n'appartenant pas à E : les points de e sont des points de discontinuités; ils forment un ensemble mesurable de mesure nulle puisque la fonction est intégrable (R). D'autre part, l'ensemble E -h e est fermé, et par suite mesurable. Il en est donc de même de E.

Dès Jorsy(j?) est intégrable (L) entre a et b.

Divisons (a, b) en intervalles partiels par les points eu ordre croissant

Dans l'intervalle (^/i, x/) (où les limites de /" sont m/. M/), on dura pour les deux intégrales (R) et (L)

i(xi^ Xi^iX I f{x)dx<Mi{Xi^Xi^^).

D'où

r /(2;)c/x-(R) f 'f{x)dx

<(M|— m/)(ar/— ar/,).

Or, pour les deux intégrales, on a

Dès lors

(L) / f{x)dx^{^) / f^^)dx

< 2( M,— mi){xi— Xi-i ) <(M — 7n)(J4-£(i — 9)

en appelant o* la longueur totale des intervalles où roscillation est supérieure ou égale à e. Puisque la fonction /est intégrable (R), on peut rendre e et a- aussi petits que Ton veut. Donc la différence des deux intégrales est nulle.

Il résulte en particulier, de cette démonstration, que toute /onction continue est intégrât le (L), ce qu*on aurait pu voir directement.

L'intégrale (L) coïncide avec l'intégrale (R) toutes les fois que cette dernière existe, mais l'intégrale (R) peut ne pas exister alors que l'intégrale (L) existe.

Considérons par e&emple la fonction f{x) qui est nulle pour les valeurs rationnelles de x et qui est égale à i pour les autres valeurs. Elle n'est pas intégrable (R) de o à i. Car en un point quelconque l'oscillation est égale à i . Mais elle est intégrable (L). Car l'ensemble des points rationnels entre o et i (qui est dénombrable) est mesurable et sa mesure est nulle. De même, l'ensemble des autres points est mesurable et sa mesure est i. Donc la fonction a une intégrale (L) qui est égale à i.

Nous donnerons d'ailleurs des catégories très étendues de foQClions qui sont intégrables (L) sans être, en général, int<'grable«(R)

Considérons une série donl le terme général esl une fonction de X (réelle comme dans lout cel Ouvrage)

Mi(ar) -f- Ui{x) -h. . .-h Mrt(^;H-...

et appelons S„(;r) la somme des n premiers lermes de celle série.

Le premier proble;me qui se présente dans l'étude de celle série est l'étude de sa convergence. Nous ne nous en occuperons pas; nous ne considérerons que le cas où l'on sait que celle série converge pour toute valeur de x entre o et i . La somme est une fonction de a; que nous désignerons pary(:c). Le second problème qui se pose est de chercher les propriétés de Sn{^) qui se conservent à la limite lorsque n croît indéfiniment. M. Osgood a fait remarquer que ce problème peut souvent se ramener au problème général de Tinterversion dans la « double limite » (*).

Ainsi, on peut se demander siy(:r)est continu, lorsque S„(:i:) est constamment continu (c'est-à-dire lorsque ii,t est continu). Cela revient à chercher si l'égalité

lim r lim S,j(t)1 = lim [" lim S„(jr )"|

est exacte.

De même, on peut se demander si l'intégrale de f{x) est la limite de l'intégrale de Sn{x). Or cela revient encore à chercher si l'égalité suivante est exacte

lim I lim ^ S^/a

= lim I lim 2. S,i ( a

(*•) O.SG00D, Bulletin of the American mathematical Society, nov. 1896, p. 61.

Celle question de Tinlerversion des limites se présenlc d'ailleurs dans un grand nombre d'aulres parties de l'Analyse; par exemple

dans la dérivation sous le signe / , dans Texpresslon d'une intégrale double sous forme d'intégrales simples, etc.

Avant d'entrer dans Tétude des problèmes précédents qui exigeront certaines restrictions relatives à la continuité des fonctions M/i(^), nous démontrerons un théorème très général qui suppose seulement que la série considérée est convergente. Désignons par r„(x) le reste de la série : rn{x)^f{x) — Sn(j:).

Si la série /{x) est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre o et i^et si Von appelle E„ V ensemble des points pour lesquels \rn{x)\ est supérieur à un nombre positif t donné, aussi petit que Von veut, la mesure de E;» tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment {^),

En effet, il nous suffira de montrer que Tensemble E. limite complète de E/^ lorsque n croît indéfiniment, a une mesure nulle (p. 21 ). Or cela est certain, car E ne comprend aucun point. S'il y avait un point a?i dans E, il j aurait une infinité d'ensembles E„^, E^^, ... qui coritiendraient Xx\ et par conséquent les quantités

restant supérieures à e, la série ne serait pas convergente en ;i;|.

Ce théorème, par sa généralité, parait susceptible d'un grand nombre d'applications; nous en donnerons quelques-unes.

Il a été démontré pour la première fois par M. Arzela dans un cas particulier (^).

Continuité de la série.

Supposons maintenant que les fonctions Un{x) soient des fonctions continues dans un intervalle (a, b) ou la série est conver-

(*) Dans les applications^ l'ensemble E^ sera ttiujours mesurable. Ccpendanlf on peut se passer de cette remarque, en remplaçant dans Ténoncé précédent la mesure de E^ par la limite supérieure des mesures des ensembles mesurables contenus dans E..

(') Mémoires de Bologne, 1899.

gente. Il n'est riiiHemeot évident que la somme f{x) doit être elle-même continue (comme le montre bien notre interprétation par la double limite).

Remarquons qu'il est tout aussi général de se donner une série par la somme de ses n premiers termes S«(j:) que par le terme général Un{x), Car une série quelconque peut s'écrire sous la

forme

Sj-f- (Sj— S,) +. . .-h (S,,— S«i) -I-. . .

et par conséquent ce n'est pas construire une série d'une façon vraiment artificielle que de la donner en choisissant S^ au lieu de Un*

Cette remarque faite, il suffit de prendre :

pour voir que la série ainsi définie est convergente pour toule valeur finie de x et que ses termes sont des fonctions continues de X. Cependant la somme de la série est i lorsque ^ > o, o lorsque x = o^ — i lorsque x <do.

La question s'est donc posée de rechercher à quelles conditions la continuité des fermes d'une série convergente entraîne la continuité de la somme.

Convergence uniforme.

Un premier pas fut fait dans celte voie par Tintroduction de la notion de convergence uniforme (*).

Nous dirons (^) qu'une série quelconque /(x) est uniformément convergente dans l'intervalle (a, 6), si, à tout nombre positif e donné à l'avance, aussi petit que l'on veul, on peut faire correspondre un nombre N tel queTinégalité n > N entraîne dans tout l* intervalle (a, &),

k/i(ar)i <£.

(•) Voir Stores, Mathemalical and physical papers. Cambritige, i8^o, p. 236-285, et aussi Seidel et Lcjeune-Dirichlet dans la colleclion : OstwalcVs Klassiker, n» IIG. Slokes et Seidel paraissent avoir élucidé en même temps cette question, indépendamment l'un de l'autre.

(') Voir Tannery, Fonctions d'une variable. i886, note de la page 366.

SKRIES DE FONCTIONS RKELLES. Sq

Remarquons d'abord que la série f{x) sera convergente dans (a, 6). Je dis de plus que la continuité des termes entraînera celle de la somme. En effet, si x' et x" sont entre a et 6, on aura

et si l'on prend pour n un nombre fixe supérieur à N, la fonction Sn{x) est une fonction continue entre a et 6; donc on peut prendre un nombre a tel que pour

on ait D'où

Au contraire, supposons seulement que la série soit convergente entre a et b. A tout nombre x compris entre a et 6 on pourra faire correspondre un nombre N tel que /i > N entraîne |r;i(j:)|< e. Le nombre N sera bien déterminé pour chaque valeur de a?, si l'on prend toujours pour N le plus petit nombre entier possible. On voit alors qu'il revient au même de dire que la série est uniformément convergente entre a et 6 ou de dire que la fonction N(a:) que nous venons de définir est (pour chaque valeur de e) bornée dans cet intervalle.

Si nous supposons de plus que les termes de/{x) soient continus, il résulte de ce qui précède que, dans le voisinage d'un point de discontinuité Xi de/(x)y la fonction N{x) a une limite supérieure infinie pour une valeur suffisamment petite <r donnée à e. On peut même préciser ce résultat : si l'oscillation to(x) au point Xi est supérieure à un nombre positif b, on peut prendre

pour 0" le nombre -• En effet, supposons qu'en prenant pour e le

nombre -> la fonction N(j:) reste inférieure à un nombre entier n

dans un intervalle assez petit (x^ — A, Xi-\-h), On pourrait prendre un intervalle encore plus petit (x^ — A|, Xt-\-ht) où l'oscillation de la fonction continue S;i(j7) serait inférieure à un nombre quelconque positif donné, par exemple : o>(j?|) — b — ti.

4o CIIAPITBE 111.

El alors l^inégalilé ( i ) montre que Ton aurait dans cet intervalle

ce qui est manifestement impossible (p. 27).

La condition de convergence uniforme d'une série de fonctions continues n'est pas nécessaire pour la continuité de la série. M. Bendixson (I) en donne l'exemple très général suivant. Considérons une série convergente et à termes continus entre a et 6, mais non uniformément convergente, et soit r„(.v) le reste. La

série

ri— r, -f- rj— rj-h...

converge vers zéro entre a et 6, mais elle n'j converge pas uniformément.

Pour obtenir une condition nécessaire et suffisante, il faudrait donc donner une définition de la convergence uniforme moins serrée, pour ainsi dire, que celle que nous avons donnée.

M. Dini (^) a réalisé ce but en partie au moyen de ce qu'il appelle la convergence uni/orme simple.

On dira qu'une série a une convergence uniforme simple entre a et 6, si : i** la série reste convergente dans cet intervalle; 2" pour tout nombre positif e aussi petit que l'on veut et pour tout nombre entier N aussi grand que l'on veut, il existe un nombre entier /i^N tel que l'on ait

pour tous les points de l'intervalle (a, b).

Cette définition comprend comme cas particulier la définition ordinaire de la convergence uniforme. Par conséquent, M. Dini a élendu les résultats précédents lorsqu'il a démontré que, si une série à termes continus a une convergence uniforme simple, elle est continue.

Ainsi le dernier exemple que nous avons donné est une série

(*) Voir Bendixsox^ Sw la convergence uniforme des séries, Ofversigt of, Kongl. Veleoskaps-Akademiens Fôrhandiiugar, 1897, "° ^^f Stockholm.

(*) Dini, Fundantenii per la teorica délie Funzioni di variabili reali, Pise, 1878, p. io3.

SÉRIKS DE FONXTIONS RÉELLES. 4^

qui a une convergence uni forme simple, car les restes de rangs impairs sont nuls.

Mais cette extension n'est pas encore suffisante. M. Bendixson (toc, cil,) donne en effet des exemples de séries converçenles, à termes continus, dont la convergence n'est pas une convergence uniforme simple et qui définissent pourtant dos fonctions continues ( * ).

Ainsi, considérons la série telle que

Les termes sont continus lorsque x reste compris entre o et i et elle converge vers zéro, même pour j: = i. Pourtant sa convergence n'est pas uniforme, car pour x = i > on a

k„(a:)| = |S„(x)|=|(i-iy'-i

Par suite, pour tout nombre /i, il existe un nombre x pour lequel |r;i(^)| est supérieur à un nombre positif fixe.

Convergence quasi-uniforme.

C'est M. Arzela qui est parvenu le premier à la condition nécessaire et suffisante cherchée. 11 l'obtient au moyen de ce que nous appellerons la convergence quasi-uniforme (*) qui est une nouvelle extension de la convergence uniforme ordinaire.

Nous dirons (\\x une série converge quasi-uniformément entre a et b si : i° la série converge entre a et b] i^ on peut faire correspondre à tout nombre e positif aussi petit que Von veut et à tout nombre N aussi grand que Von veut, un nombre fini, N'^N, tel que, pour chaque valeur de x comprise entre a et 6, il existe un entier nx compris entre N et N', et tel que Von ait :

(*) Voir aussi Jordan, Court d* Analyse, a* édition, t. I, p. 3i5.

(^) M. Arzela Tappelle convergence uniforme à traits (a tratti). Celte dénomination se ratiacbe à la représentation géométrique dont M. Arzela fait grand usage {Mémoires de Bologne, 1899).

42 CHAPITRR III.

Nous allons maÎQtenant démonlrcr le théorème qui résout complètement la question de la continuité. Ce théorème a été obtenu par M. Arzela par une méthode assez compliquée. Mais, comme il arrive bien souvent, une proposition qui a été obtenue au prix de grands efforts peut, quand son énoncé est connu, être démontrée très simplement.

La condition nécessaire et suffisante pour qi£ une série à termes continus entre a et b représente une fonction continue dans cet intervalle est qiielle y converge qua^i-uniformément,

La condition est suffîsante. En effet, d^abord la série est convergente entre a et 6; soient f{x) sa somme et x' un point quelconque entre a et 6. On peut déterminer un nombre N tel que rinégalité /i > N entraîne

kn(^')|<|-

Mais, puisque la série est quasi-uniformément convergente entre a et 6, on peut faire correspondre à e et N un nombre N' > N, tel que, pour toute valeur de x comprise entre a et é, il existe un nombre nx compris entre N et N' pour lequel

Or, quel que soit x^ nar>N, donc

\rnA^')\<y

D'autre part, il est possible de déterminer un nombre A^, tel que rinégalité \x^ — ^"| < hp entraîne

, |SN^,,(x')-SN-Hp(;r')|<î.

Donc, si a est le plus petit des nombres

(dont il j a un nombre yîn/), on aura sûrement

pour \x' — x"\ < a, puisque nx' est compris entre N et N'.

SÉRIES DK FONCTIONS RÂELLCS. 43

El comme on aura

on voit que

l/(^')-/(-2?')I<e pour |r' — J7'|<a-

Donc la fonction /* est continue en un point arbitraire x' de l'inlervalle.

Réciproquement, supposons la série convergente et sa somme continue (ainsi que ses termes) entre a et b, Sbit x' un point compris entre a et 6, on peut déterminer h tel que Ton ait

pour \a: — x^\ <. h. Mais soit N un nombre donné aussi grand que l'on veut; on peut déterminer un nombre /i > N de façon que Ton ait

Le nombre n étant ainsi choisi, la fonction S/,(j:) est continue et Ton peut déterminer /i|, tel que Ton ait

|S«(a:) — S«(ar')| < - pour \x — .v'\<hi.

\rn(or)\^\AT)^/{a:')]^\S,(x)-Sn{x')]^\rn{x')\.

Dès lors, si a est le plus petit des nombres h et A|, on a

k/i(^)|<e pour |ir — ar'[<a,

n étant un nombre fixe supérieur à N.

Il suffit pour le raisonnement précédent que /{x) soit continu au point x^ , Mais, puisque y(x) est continu de a à b^ on pourra déterminer pour chaque point x de cet intervalle un nombre n > N, et un intervalle partiel ayant ce point pour milieu tel que [^«(a;)! reste inférieur à e dans cet intervalle partiel. Alors, tout point de (or, b) est intérieur au sens étroit à l'un de ces intervalles partiels; on peut donc (p. 9) trouver un nombre fini de ces intervalles :

qui jouissent de celle propriété. Par conséquent, à tout point x de (a, b) on peut faire correspondre un entier rixi tel que l'on ait

k/»,(ir)|<E.

Et les nombres Rx sont pris parmi les nombres /i^,; on peut donc déterminer un nombre N' (le plus grand des entiers /î^.., qui sont en nombre lirailé/;) tel que rix resle compris entre N et N'.

On peut donner, de cette réciproque, une démonstration un peu différente. La série étant convergente entre a et 6, on peut faire correspondre à chaque nombre x compris entre a et 6, un entier Hx supérieur à un nombre fixe donné N indépendant de n, tel que

Et le nombre rix sera une fonction bien déterminée de x^ si Ton prend pour rix le plus petit entier possible supérieur à N satisfaisant à cette condition. Je dis que celte fonction est bornée supérieurement. En effet, s*il n'en était pas ainsi entre a et 6, la fonction rixTie serait pas non plus bornée dans Tun des deux intervalles moitiés, ni dans l'un des intervalles moitiés de celui-là, et ainsi de suite. On formera ainsi des intervalles (a^, bp) emboîtés les uns dans les autres et dont la longueur tend vers zéro. Ils ont donc pour limite un certain point Ç de l'intervalle (a, 6). Or nous avons vu, dans la première partie de la démonstration précédente, qu'on pourrait déterminer A et /i| >> N tels que

dans l'intervalle Ç — A, $ -f- h. Mais si petit que soit A, on pourra prendre/? assez grand pour que (ût^, bp) soit contenu entre Ç — h et $-+-/*, et alors dans l'intervalle {apy bp) la fonction rix serait bornée supérieurement (/ix^'?i)i ce qui amjneunc contradiction. On peut vérifier sur l'exemple que nous avons donné d'une série convergente à termes continus dont la somme n'est pas continue que cette série n'est pas quasi-uniformément convergente.

Nous avions pris S^ = jc*"""' ; pour j: > o, le reste est i — x Dans l'intervalle (o, i), si l'on veut que ce reste soit inférieur à s,

il fandia que Ton ait

par consëquenl la valeur minimum de n ne sera pas bornée supérieurement dans cet intervalle.

Les considérations qui précèdent s^étendent immédiatement aux séries de fonctions de plusieurs variables. Ainsi /a condition nécessaire et suffisante pour qu!une série de fonctions de plusieurs variables continues par rapport à leur ensemble dans un domaine fermé D ait pour somme une fonction continue dans D est que la série consierge quasi- uniformément dans D. Gela veut dire qu'on peut faire correspondre à un nombre entier N et à un nombre positif e, un nombre entier N'^N tel que Ton ait en tout point Â de D : |/'„j^|< e» /^a étant un certain nombre entier déterminé par A et compris entre N et N'. La démonstration est la même que celle que nous avons donnée.

Intégration des séries.

Deux problèmes se posent tout d'abord, quand on veut intégrer uuQ fonction représentée par une série : i" En supposant la série convergente et à termes inté^rables entre o et i, la somme sera-t-elle aussi intégrable? 2" Si la somme et les termes de la série sont intégrables, est-ce que l'intégrale de la somme sera la somme des intégrales des termes? Le premier problème a deux solutions diOTérentes selon que l'on se place au point de vue de Riemann ou à celui de M. Lebcsgue. Mais il suffira évidemment de résoudre le second problème au sens de M. Lebesgue pour en obtenir la solution au sens de Riemann comme cas particulier.

M. Arzela (*) a montré que la condition nécessaire et suffisante pour que la somme f{x) d'une série com^ergente de a

(') A.11ZELA, Mémoires de l'Académie royale des Sciences de VInstiliU de Bologne, 27 mai 1900.

à b et dont les termes Un sont intégrables (R) de o à i, soit intégrable {K) de o à i est que la série ait une convergence quasi'Uniforme ^n général entre o et i.

Celte dernière expression a la signification suivante : i^ la série /(x) est convergente entre o et i et sa somme est bornée; 2° élaut donnés les nombres 8, s, N, on peut déterminer entre a et b des intervalles 1 en nombre fini et sans partie commune, de longueur totale supérieure à i — o, tels que l'on ait |^/ï,(^)| < e

lorsque x appartient à un intervalle I, le nombre entier ni (constant dans un intervalle I) restant supérieur à N (* ).

Supposons ces conditions vérifiées et que les termes de la série soient intégrables (B). Dans tous les intervalles I en nombre/?, on aura

par suite, l'oscillation de f{x) dans 1 sera au plus égale à 2£ augmenté de l'oscillation de S/,^. Or, dans l'intervalle I, S» est

intégrable (R); on peut donc y former un nombre fini d'intervalles J, sans partie commune, de longueur totale inférieure à -

et en dehors desquels l'oscillation de S/, est inférieure à e. Appelons K les intervalles sans parties communes intérieurs aux I et extérieurs aux J; dans ces intervalles, l'oscillation de /(x) sera

inférieure à 3e. Mais la longueur totale des K entre o et i est

supérieure à i — S — p - =\ — 20. Dès lors, on aura pu diviser

le segment (o, i) en intervalles tels que la longueur totale de ceux où l'oscillation surpasse 3 e soit inférieure à 28. Comme e et 8 peuvent être pris aussi petits que l'on veut, la fonction bornéey(^) est intégrable (R) entre o et i.

Réciproquement, admettons que /(a?) soit intégrable (R), ainsi que les termes de la série (supposée convergente deo à i). Soient, d'autre part, F l'ensemble des points oiif{x) est contiau, K,, l'ensemble des points où Sn(^) est continu, E l'ensemble limite com-

(' ) La série serait quasi-uniformément convergente si cette condition était réalisée pour des intervalles I en nombre (ini sans parties communes qui rem^ plissent tout le segment (0,1).

plet des En* Les ensembles E^ et F ont pour mesures i (p. 3i), il en est donc de même pour E (p. 21). Or on a

Les deux ensembles du second membre n'ont pas de point commun ; donc

mesure(E, F) = mesure F — mesure[C(E), F].

Or l'ensemble [F, G(E)] est contenu dans G(E) dont la mesure est nulle. Par suite, la mesure de l'ensemble G des points communs à E et F est égale à i — = 1. Geci étant, soit af un point de G, il est contenu dans une infinité d'ensembles E;» : E^ , E

Or on peut déterminer un nombre q tel que l'inégalité m'^ q

entraîne |/'i»(j?')|<; ô* Soit maintenant un nombre N donné à

l'avance; prenons parmi les nombres /i|, n^-, ••., qui croissent indélinimenl, un nombre déterminé n supérieur à ^ et N. On aura

De plus, x' sera commun aux deux ensembles E^ et F. Par conséquent, on pourra déterminer un nombre h tel que l'inégalité \x — j/|<; A entraîne

\Ax)-f{x')\<\ et

D'où

\rn{x)\<\rn{x')\-^\f{x)-f{x')\-^\Sn{x')^Sn{x)\<z,

Ainsi tout point x' de l'ensemble G est intérieur au sens étroit à un intervalle I pour lequel il existe un nombre n tel que l'on ait en tout point de l'intervalle I

\rn{x)\<it.

Or l'ensemble complémentaire G(G) ajant une mesure nulle, $es points pourront être tous enfermés au sens étroit dans des

intervalles J sans point commun de longueur totale inférieure à 7j (*). Alors tous les points du segment peuvent être enfermés au sens étroit chacun dans un intervalle I ou J. Par suite, on peut en trouver un nombre fini qui les contiennent tous au sens étroit 1|, I2) • ' * ^ *pt '^ i ^ • • • J J gm

Les points qui ne sont pas intérieurs au sens étroit à l'un des intervalles J forment un ensemble G| intérieur à G et de mesure supérieure à i — r^, Ils sont tous contenus dans I|, L, ..., I^, qu*on peut supposer sans point commun et compris entre o et i , intervalles qui auront une longueur totale supérieure à 1 — 7;. Or, à chacun d'eux, I, correspond un nombre entier W|>N tel que

pour tout point de I, on ait

Comme e, 7\ et N sont arbitraires, la série a une convergence quasi-uniforme en général, entre o et i.

La résolution du problème que nous venons de traiter est bien plus simple si Ton se place au point de vue de M. Lebesgue.

Si l'on considère une série de fonctions bornées iniégrables (L) : Wi, «a» • • • > dont la somme /(x) est com^ergente entre a et b, cette somme supposée bornée est aussi intégrable (L).

L'ensemble des points Ë tels que l'on ait

est compris dans l'ensemble limite restreint F^ des ensembles E» des points tels que

A-i<S„(j:)<BH-i,

p nombre entier fixe.

Cet ensemble V p est mesurable et l'ensemble E est évidemment l'ensemble des points communs aux ensembles F|, Fa, . . ., F^,, . . .. Donc E est mesurable quels que soient A et B ; par conséquent, f{x) est intégrable (L).

La proposition que nous venons de démontrer peut s'énoncer ainsi : Toute fonction bornée f{x)^ limite de fonctions bornées intégrahles (L) est elle-même intégrable (L). Sous cette forme,

( ') Voir par exemple Lebbsque, Annali di Matematica, 190a, p. 387.

elle nous fait connaître des champs de plus en plus étendus de fonctions intégrables (L); par exemple, toute fonction bornée limite de fonctions continues est intégrable (L).

Si une série de /onctions bornées intégrables (L) est convergente de a à b et si l'on a \rn{x)\<^yi quels que soient V entier n et V abscisse x dans (a, b), la série des intégrales (L) des termes est aussi convergente et sa somme est l'intégrale (L) def{x).

En effet, on a/= S»+ R»; or il est facile devoir que la somme des intégrales (L) de deux fonctions est égale à l'intégrale (L) de leur somme. Donc

(L) / /{x)dx—(L) I Uidx — ... — (L) l Undx = {L) 1 r,idx.

Or, puisque la série W| + . . . est convergente de a à 6 l'ensemble E des points tels que |/Vi(^)| soit supérieur à £ a une mesure a^i qui tend vers zéro avec /i. El Ton a

Jf /•„ dx = I r,j dx -h I rn dxy d'où

< Mffrt-h e(6 — a),

M étant supérieur de a à 6 à la fonction bornée |/'7i(^)| quel que soit n, Clomme on peut prendre e et (t,i aussi petits que l'on veut lorsque n croît indéfiniment, la proposition est démontrée.

Dans l'énoncé du théorème, on peut remplacer l'intervalle (a, b) par un ensemble mesurable quelconque E, la démonstration sera entièrement analogue.

Le théorème est encore vrai, si l'on prend l'intégrale de Riemann (*) au lieu de l'intégrale de M. Lebesgue, d'après notre remarque (p. 34), à condition que la somme de la série soit intégrable (R).

(') Le cas où les fonctions/ et /„ sont continues avait été déjà obtenu pur M. Osgood {American Journal, 1894).