THÉORÈME FONDAMENTAL DE WEIERSTRÂSS

Une jonction continue quelconque peut être représentée par une série de polynômes. Telle est la proposition fondameatale qui a élé établie par Weierstrass (*). Diverses démonstrations en ont été données; elles peuvent toutes se ranger en deux catégories. Les unes, comme celles de Weierstrass et de MM. Picard (2)^ Lerch (') et Volterra (*), font appel à des notions d'un caractère transcendant; les autres, comme celles de M. Lebesgue (°) et de M. Mittag-Leffler C), sont d\ine nature tout élémentaire et peuvent être rattachées à un important Mémoire de M, Runge (^).

Toutes les méthodes dont nous venons de parler conduisent au résultat suivant: Etant donnée une fonction f{x) continue dans [intervalle {a, 6), extrémités comprises, on peut troui^er un polynôme P(a?) tel que Von ait dans tout cet intervalle :

|/(a7)-P(ar)|<6,

e étant un nombre positif , donné à V avance, aussi petit que Von veut.

(') Wbikrstrass, ^er/iner Sitzungsberichte, i885. (*) PiCARDi Traité d'Analyse y %, I, p. 258.

(3) Lerch, Bozpravy ceské Akademie (a* classe) t. I, n» 33 (189a) et t. II, n** 9 (1893). Je ne connais ces Mémoires de M. Lerch que par la citation qu'il en fait lui-même dans son Mémoire :,Sur un point de la théorie des fonctions

énératrices d'Abel {Acta Mathematica, t. XXVII, p. 339), où se trouve aussi une démonstration du théorème de Weierstrass au moyen de séries trigonométriques.

(*) Volterra, Bendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1897, P- ®3-

(^)LsBEsauE, Bulletin des Sciences mathématiques, iS^S,p, 278.

(*) Mittaq-Lbffler, Bendiconti del Circolo matematico di PalermOf 1900.

(^ ) RuNQEi Acta mathematica^ i885, p. 38;.

REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES, 5l

Supposons, pour le moment, cette proposition établie et appelons P»(^) le polynôme qui correspondrait à la valeur— de e.

Pni^) sera la somme des n premiers termes de la série de polynômes :

(S) Pi 4- (P,— Pt)-^...-+-(P/,—P«i )-+-....

Et l'on aura |/(j?) — P„(a?)|<;£, pour toutes les valeurs de X comprises dans rintei'valle (a, 6). Donc la série S converge uniformément vers fi^x) dans cet intervalle.

Elle converge même absolument dans cet intervalle, car on a

■ 1 P«-P«-hil<|P/.-/(ar)| -+-!/( ar)~P„^,|<-i.

Cherchons à étendre ce résultat au cas où l'intervalle que Ton considère comprend toute la droite.

Nous supposons ç\\ie f{x) ^oit continu pour toute valeur réelle de^. D'après ce qui précède, on pourra trouver un polynôme Qn(j:), tel que l'on ait dans V intervalle (— a», 4- bn) :

a», bn, croissant indéGniment avec n.

Alors la série

Qi -+-(Q« — Qi )-+- (Qa - Qî) -+-...-+- (Q« - Q«, ) -h. . .

converge absolument vers f{x)pour toute valeur de x.

Mais, en général, elle ne converge pas uniformément sur toute la droite. Tout ce qu'on peut dire, c'est qu'elle converge uniiformémentdans tout Intervalle fini.

Méthode de ÏVeierstrass, — La démonstration de Weierslrass est très simple et le principe en est utile dans bien d'autres questions. Elle repose sur le calcul bien connu de l'intégrale

e-'* dt.

(Mais on pourrait refaire le raisonnement de Weierstrass avec une autre intégrale jouissant de propriétés analogues.) Cette intégrale

a un sens et sa valeur est y/rc. U en résulte, en particulier, que, étant

donné le nombre positif co, on peut toujours trouver un nombre A tel que l'on ait

pour ûr > A.

Nous allons d'abord montrer que Ton a

avec

fix) = linnl(ir, k)

^{x,k)^^ / f{u)e \ ^ ) du,

et k étant un nombre positif el/{x) une fonction bornée^ uniformément continue pour toutes les valeurs de x; nous désignerons par M sa limite supérieure.

En eflTety soit A^in nombre positif quelconque. On aura

OU, en posant u = x -\- kt,

\/i^{Xy k) = f f{x + kt)e-^^dt

-f- r f{x-\'kt)e-''dt-\- f f{X'i-kt)e-^dL

%y ^^ flD

La première intégrale peut s'écrire

en désignant par 6| un nombre compris entre — i et H- i . De même, on a

/ f{x-hkt)e-'^de = ^iM e-^^dt,

le k

f /{x-hkt) e-'* dl = e J M f e-'' û?^

RBPHKSENTATION DES PONCTIONS CONTINUES. 53

avec I O2 1 < I , I Os I <; I . Or, pour y >• A, on a

et, d'autre part, on a

|/(a7-he|A)-/(a:)|<a) pour A •< a.

En résumé, pour A < a et A" < t' ^" ^

\/7Z^{Xy /{)= [/(a7)-h0u)](/î: — 20'a))-h2ft''Ma),

les nombres 0, 0', 0" restant compris entre — i et -4- i . Ou

+ (ar, A) -/(o:) = U -+- ^^^^ - 2Ô' ^^^ - 260' «o lo)

L /- vit j

ou enfin, en supposant lo <^i,

Le nombre a peutétre déterminé indépendamment de x puisque /{x) est uniformément continu pour tontes les valeurs de x. Par conséquent, si 7^ désigne un nombre aussi petit que l'on veut, on

/en prenant co = -^-rr \ un nombre a, tel que

peut trouver

/ Ton ait

quel que soit x^ pourvu que l'on ait A: < - •

Autrement dit, ^(Xj k) tend uniformément vers y( a?) lorsque k tend vers zéro.

Maintenant, considérons l'intégrale ^{x^ k); je dis que c'est une fonction entière de x. En effet, posons ^ = ^ + {7|, on aura

54 cuAriTiŒ IV.

Les deux inlëgrales sont celles qu'on obtient en remplaçant dans ^(^, k) la fonction /(i/) par la fonction

/(a)cos j^ ou /(M)sin jr^—^'

Ces deux dernières fonctions sont bornées et Utlirormémeat continues quel que soit u. Par conséquent, ^(2, k) est une fonction finie et bien déterminée de $ et de tj. On verrait facilement qu'il en est de même de ses dérivées en ^ et 7| qui vérifient les relations de Cauchy; en définitive, ^(^, k) est une fonction entière de z. Par suite, on peut écrire

les quantités Co= ^(o» k)^ Cj = ^'(oj k)^ . . . étant évidemment réelles avec k. Le second membre est une série uniformément convergente dans toute région finie du plan; donc on peut prendre un nombre n tel qu'en posant

V(x^ = Go-h Giar -4-. . .4- G„ar'*, on ait

pour toute valeur de x comprise dans un intervalle quelconque donné d'avance. Et si l'on a pris, comme il est possible, k assez petit pour que l'on ait, quel que soit x entre les limites précédemment fixées,

on aura

pour toute valeur de x^ comprise dans l'intervalle donné.

Alors, soit <f{x) une fonction continue dans l'intervalle (a, 6); si l'on prend pour /(^) une fonction égale à ^(a:)^entre a et 6 et égale à cp(a) pour x'Sa et à ^(b) pour x^b^ la fonction /(.r) sera bornée et uniformément continue quel que soit x. On pourra donc lui appliquer la méthode précédente et l'on aura un polynôme P(^), tel que

entre a et b. Nous avons ainsi atteint notre but.

Si la fonction f{x) est bornée et uniformément continue quel que soit a?, la méthode même de Weierstrass permet de la représenter par une série de polynômes qui converge uniformément et absolument dans tout intervalle fini. C'est la série

où Ton a, quel que soit x entre — n et -h n :

\^n(a;)-Ax)\<±.