PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION

Ce petit Volume a été rédigé par M. Maurice Fréchet, d'après une cours que j'ai fait à l'École Normale, pendant le semestre d'hiver

1903-1904; ce cours était consacré aux séries de polynomes; onmne trouvera ici que la partie relative aux variables réelles; j'espère déve= lopper et publier ultérieurement la partie relative aux variables come plexes (1). D'ailleurs, comme il arrive souvent, la distinction entre variables réelles et variables complexes ne peut pas toujours ètre faite d'une manière précise; 1l y a des domaines mixtes; les belles mé thodes de M. Painlevé, notamment,-devaient être mentionnées à lan fois ‘à propos des variables réelles et à propos des variables come plexes. À l'aide de la représentation conforme, c'est-à-dire d'une méthode du champ complexe, M. Painlevé est en effet tout d'abord

arrivé à des résultats du plus haut intérèt dans le champ réel (inté= "M gration des équations de la Mécanique et de lAstronomie) pour ST retourner enfin au champ complexe et y étendre les résultats obtenus Eee pour le champ réel. On trouvera l'exposition synthétique deces méthodes dans une Note que M. Painlevé a bien voulu rédiger; je” liens à lui exprimer mes vifs remerciments pour cette marque +

d'amitié; tous les mathématiciens seront heureux de trouver ict lis

démonstration des résultats si remarqués que M. Painlevé LR

énoncés dans les Comptes rendus.

Je dois adresser aussi mes remerciments à M. Lebesgué qui, non seulement a écrit une Note des plus importantes, mais a bien voulu lire entièrement les épreuves et me faire de nombreuses observations, Judicieuses et profondes, qui m'ont été souvent très utiles. Je 1

bien voulw écrire pour cette collection des Leçons sur les séries ñe re e à une variable complexe.

PRÉFACE. VII ne dois pas oublier M. Maurice Fréchet, qui a apporté tous ses soins à la rédaction et à la revision de ses épreuves. 1] a notamment mis au point quelques démonstrations dont j'avais seulement indiqué la marche générale.

Ce Volume est le sixième de ceux que j'ai publiés sur la T'héorte des

. fonctions; 11 est le huitième de la collection de Monographies dont

M. Gauthier-Villars a bien voulu me confier la direction et dont on voudra bien m'excuser de dire ici quelques mots.

Tout d’abord, bien qu'il soit devenu banal de parler de l'accueil excellent que recoivent à la maison Gauthier-Villars toutes les publications scientifiques, je considère comme un devoir de mentionner ici toute la part qui revient à M. Gauthier-Villars dans la création de cette Collection et dans la manière dont elle est présentée au public.

Comme je l'ai dit dans la Préface du premier de ces Volumes, il m'avait semblé qu'il y avait place, entre les Traités d'Analyse et les Mémoires originaux, pour des publications moins étendues que les Traités et plus accessibles que les Mémoires. Une telle forme de publication me paraissait éminemment de nature à favoriser la recherche et l'événement n'a pas déçu mes espérances. J'ai été ainsi encouragé à continuer ces publications et, ne pouvant traiter toutes les parties de la Théorie des fonctions, à m'adjoindre des collaborateurs. Ceux dont on a pu lire les noms à la page précédente sont assez connus pour quil n'y ait pas lieu de les présenter au public mathématique. Chacun d’eux a choisi son sujet; car, pour que cette Collection conserve le caractère vivant qu'on a bien voulu généralement lui reconnaître, 1] a paru nécessaire de ne pas découper arbitrairement la science en morceaux dont chacun serait attribué à un auteur, mais de laisser chaque auteur déterminer lui-même le cadre dans lequel il pourrait le plus aisément développer sa pensée : sous la seule réserve d'éviter qu'un Volume fasse double emploi. Mais il a paru préférable d'admettre parfois quelques brèves redites plutôt que de renoncer à l'indépendance des Volumes de la Collection, chacun d'eux devant pouvoir être Îu isolément par un lecteur ayant des connaissances générales d'Analyse. Sans ce principe d'indépendance, on aurait eu tous les inconvénients d’un grand Traité, sans en avoir les avantages.

Je ne pense pas qu'il y ait eu lieu de justifier, auprès des lecteurs habituels de cette Collection, lintérêt primordial qui s'attache à la Théorie des fonctions, qui est la base de l'Analyse moderne.