Ceci posé, donnons à « une suite de valeurs tendant vers
zéro soit a — = ; log
| finiment. La valeur correspondante de B est 1 — —=. Pour chaque ne Le
» J désignant un eue, FER croîtra indé-
valeur de l’entier , les domaines c; et C;, qui correspondent aux
ni UN Ar
A+ ll [ .
cercles EL T (ae rayons 1 et 1 + : e = rt 5 22 sont bien d KA
déterminés et tendent vers le segment réel o —1 quand j croît indéfiniment; dès que 7 dépasse une certaine limite X, la fonction f(t) est holomorphe dans C; et son module y reste inférieur à une certaine quantité H. Dès que 7 dépasse #, la somme
A+ A;+...+ A, qui correspond à chaque valeur de J diffère 2H yj - ;
donc de f(1) d’une quantité moindre en module que
Cette quantité, s£ l’on prend n — j, peut s'écrire 2H V} ” x" I n 1+ — ( 2 7%) pour 7 très grand (!), elle est comparable à ei et moindre par /
e £ M suite que FL Posons donc
n 1 à m=f(o) mm=fto)+ DE Kiafe),
avec 2 1 # Togr” PAPE et 20 =wo—=/f(0), Qi = Di — wo; Le = M9 — V1, cs Qn= On Orge La série
S = Po+ Pi + Pate. +Ont...
est une série génératrice normale.
Toutes les propriétés énoncées dans le n° 8 s'appliquent en particulier à cette série S. Si on représente par w,(:)le polynome
71 k h— r og(i+A) aG-F er AE TT (pour on
er APPLE
2 V] pi
(!) La Los (x BAT E
su
; est donc moindre que 2
donc > F L'expression pour j 2 ga
de 24) [Po Pit. Pa —f(s)] <
SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 121 en z obtenu en remplaçant « par «z dans w,, et par P,(:) le polynome 5(3)—w»,(2), la série (M:) f(o)+ Pi(s)+...+P,(z)+...
est un développement (M) qui converge absolument vers f(3) dans toute l'étoile, et uniformément dans toute aire intérieure à l'étoile (!).
Insistons sur la rapidité de la convergence. Soit = p(cosw + rsinw) ou P, un point du plan complexe (fig. 5). Enfermons le segment OP dans un rectangle À qui admet OP comme diamètre, et
Fig. 5.
dont les côtés perpendiculaires à OP ont comme longueur r4p et sont distants respectivement de O et de P de la te ao
HorpRe et garde un module inférieur à H, on a
2H nr 2H yn | POMC
(2) Les coefficients des a,;z* dans Chadite polynome &æ,(z) sont rationnels
C désignant toujours os) Si, dans le rectangle À, f(3) est holo-
Le 9
en Vnet t logn. Mais on voit etais que si z remplace Vr et logr par des
valeurs rationnelles approchées : et L, &,(z) convergera encore vers f(x),
dans l'étoile À, pour 2 = æ, pourvu que les différences (va — £) et (lon -— £)
il L ï . . . .
tendent vers zéro avec 7 Suivant une loi suffisamment rapide (indépendante de
ne fonction f). On peut donc déduire de la série (M,) une série jouissant des mêmes REPRISE mais où les coefficients des a,z*, dans chaque polynome P,,
(TO * OA pr
122 NOTE DE M. PAINLEVE.
Soit B un domaine limité du plan des 3, entièrement intérieur à l’étoile À, et B' un domaine limité, intérieur lui aussi à l'étoile, et comprenant B à son intérieur. Soit, d'autre part, B, le domaine balayé par le rectangle À quand x varie dans toute l’aire B; lorsque n croît indéfiniment, B, tend vers B, et lorsque n dépasse une certaine limite 4, B, reste intérieur à B'. Si H désigne le module maximum de f(z) dans B/, l'inégalité (24) a lieu dans toute l’aire B dès que n dépasse k.
43. Remarques sur le développement précédent. — 1] est loisible, dans le raisonnement précédent, au lieu de prendre x = de prendre pour n une valeur plus grande que 7.
Soit, par exemple, n — j?. Ceci revient à poser
El flo) 1j(2)=f(0)+ DE Ki(azf) 1 ÿ
avec
hp et x :
Qo=To=f(o), Q=M(z)—Mo, Q;(z)=0,(3) — Hz) La série (m) f(o) + Q(z) + Q:(2)+...+ Q;(2) +...
est une série (M), plus rapidement convergente que la série (M,) mais à termes plus compliqués. Dans l'aire B, pour la nouvelle série, on aura, en place de l'inégalité (24). l'inégalité
à 2H H ; (25) (QE + QÉe GER RES : de ; x (+7) ue + On peut modifier légèrement cette série (m) de façon que :
le (n + 1)" terme (qui est de degré #?) renferme z” en facteur.
Considérons, en effet, la fonction US >) Sr.
fa(s) = f(z) — 3 — as3?... — ag. ae"
Puisque la fonction f(z) est holomorphe pour 3 —0, les coeffi- ACRe
ar 4
>? dési-
cients a; (pour 72 21)sont moindres en module que ( 2)
gnant une quantité convenablement choisie; soient r, le module maximum de 3 dans l'aire B', et R le rapport en (ou l’unité, si ce
rapport est <Z 1). La somme a;z+.. .+ ax3% est moindre en module dans B’ que ÆR#; le module de f,(z), dans B’, reste donc inférieur à H + ÆR4.
Appliquons maintenant le développement (m) à la fonction fx(z). Il suffit, dans chaque polynome [l;(z), de faire
di = A—=...—= Uk = O.
En particulier, pour 7 —k, le polynome W,(3) ainsi obtenu, polynome qui renferme en facteur 2X*!, vérifie, dans l’aire B, l'inégalité 2(H+ ARE VE.
et
(26) [fk(z) — Vx(z)| <
lorsque # dépasse H, le second nombre est moindre que
GkTRE 3 /R NX He (z)' e* et
Se . I F 5 quantité plus petite que 7: dès que Æ est suffisamment grand.
Posons alors
Io— &o, gitz)=æs:+wi(s), qatzs)—=l@32+ Was) — Wi(z), :.., gaz) = ap2zk+ W,(z) — Wyi(z), AS La série n (m1) do+ 41(3)+...+ qn(3) +...
est une série (M), qui converge absolument vers f(z) dans toute
MT AE LA | ENRE £ A TR À VA l'étoile, et uniformément dans toute aire B intérieure à l'étoile. En effet, la somme a+ qgi(s) +... gx(s) est égale à
do+dz+...+ aps + WVy(s), et par suite, d’après l'inégalité (26), diffère de f(z), dans B, d’une quantité moindre que FL dès que # est suffisamment grand.
- Dans la série (m,), chaque polynome 9, est de degré n? et ren-
on obtient une nouvelle série génératrice (qui est normale q 8
ferme en facteur 37; on peut écrire
Qn= 2[Antn+ 3 nt nr. + 2-0} nan].
Chaque dérivée ft (0) = n'a, ne figure donc plus au delà du (n + 1)" terme.
La série (M,), dont nous avons déduit les séries (m) et (m), : à est une des plus simples parmi les séries (M) connues. Elle a été Ê RE formée, pour la première fois, par M. Frédholm. Mais il est évi= Ÿ dent que la méthode des n°° 5 et 6 permet d’en former une infinité 1 d’autres. Le mode de transformation que nous allons indiquer … Cr
fournit d’ailleurs le moyen, une série génératrice normale étant 14, connue, d en déduire aisément de nouvelles (!). - Loftte
14. Transformations d'une série génératrice. — La fonc- re tion f(t) étant holomorphe pour 0 £ LE l, remplaçons-y tparune fonction g(8), choisie une fois pour toutes, qui répond aux AS conditions suivantes : g(0) est holomorphe et comprise entre o 2 et 1 pour o£8£1; de plus g(o)—o et g(1)—1. La fone K tion f,(0)—/[z(8)] est, elle aussi, holomorphe pour o £8<1." Supposons donnée une série génératrice : soit la série S du n° 12 Si l’on applique ce développement à la fonction f,(8), la série d obtenue converge etreprésente fi (1 1) == #19 0e série fi(8)e8e k: développable en série de Mac-Laurin
f1(0)=ao+a 0+a,0t+..…, : . . e ? "et: TNT les a, étant linéaires et homogènes en &,, ..., 4n; à savoir
a, = ag (0), je = aa8*(0)+ ag" (0), DEC
la première série est normale).
gine, Lout autre point z= adu plan, à condition de Dupin FAST E 4 (o). QE RATES (a), as Rs nouvelle np M ainsi fo
SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 125 Par exemple, soit g(0)=— 4# (k entier positif). On a YAUDE ao + a30#+.. RC an0kn+,.., c'est-à-dire a, — 0 d,, —=0, d,— PRE L DO PNG Ode dif di) 0,12, La nouvelle série génératrice s’obtiendra donc : 1° en annulant dans la série S tous les a, dont l’indice n n'est pas un multiple
de k; 2° en remplaçant ensuite chaque ax où n = 7Jk par dj: Pour chaque valeur de k, on déduit ainsi immédiatement de la
‘série S une autre série génératrice. D’un développement (M), par
exemple du développement (M,), on déduit donc un autre développement (M) : 1° en annulant tous les a, dont l'indice n n’est pas muliple de Æ; 2° en remplaçant ensuite a;xz/* par a;z/ (l’entier X est choisi arbitrairement une fois pour toutes).
15. Une autre transformation des séries (M), uniformément convergentes dans toute aire intérieure à l'étoile, provient de ce qu’elles sont dérivables et intégrables terme à terme. Supposons connu un développement (M) : soit (M') la série obtenue en dérivant terme à terme la série (M) qui représente f (3), et soit (M!) la série qu’on obtiendrait en appliquant à f'(3) le développement (M); en général (voir p. 111), les deux séries (M') et (M!) sont différentes. D’après cela, au lieu de développer f(z), développons f'(z) en série (M), puis intégrons terme à terme de o à z et ajoutons à. Nous obtenons une nouvelle série (M) qui se déduit de la première en remplaçant partout a," par any: gti:
(n—0, 1, 2, ...), et en ajoutant à. Plus généralement, en è dk , à : ; développant eh, on obtiendrait une nouvelle série (M), qui se
déduirait de la première en changeant partout 4,3" en aux get,
et en ajoutant en tête &@+@,3+...+ ax n2*7t. Si, au lieu de
partir de la dérivée de f(3), on part de la primitive de f(z), on voit de même que de la série (M) on peut déduire une autre série (M) : 1° en supprimant les termes en &o, 2° en remplaçant
partout ensuite anz* par an.,3% !. Plus généralement on peut
A0 Dr «
supprimer dans (M) tous les termes en &,, @,,..., ax, (entier donné) et remplacer ensuite partout a,,,3"T# par an 2" : la nou-
- velle série ainsi obtenue est encore une série (M).
