Transformations imaginaires d'une série génératrice

126 NOTE DE M. PAINLEVE.

Étoile curviligne. — Dans la fonction f(t), effectuons encore la substitution {= g(8), la fonction g(4) étant toujours holomorphe pour o£8 £1, égale à o pour Ô = 0, à 1 pour Â— 1, mais n'étant plus réelle quand À varie de o à 1.

Quand il en est ainsi, 0 variant (par valeurs réelles) de o à 1, le point £ décrit dans son plan un certain chemin / qui va de t=0 à t— 1. Si la fonction f(t) est holomorphe sur / (extrémités comf{8(8)] est holomorphe pour o £0£1; considérons une série génératrice (soit la série S du n° 12), et formons cette série pour la fonction f,(8) = as+a,0+a,02+...; le développement ainsi obtenu converge vers f,(1) = f(1). Mais, d'autre part, a, &,, ... sont des combinaisons linéaires et

prises), la fonction f,

homogènes de &, &, -.. [bien déterminées une fois choisie la substitution £ — g(8)]; de la série génératrice on déduit donc une

Fig. 6.

série de forme analogue, soit (S!), qui jouit de la propriété suivante : elle converge et représente f(1), quel que soit f(t) pourvu que f(t) soit holomorphe sur le chemin [, extrémités

comprises. Nous donnerons à de telles séries le nom de séries

génératrices d’espèce l. Si la série dont on est parti est normale, il en est de même de la série transformée.

Introduisons maintenant la fonction f(3t), où 3 est te provisoirement comme une constante, et appliquons à cette fonction le développement (S!). Il suffit de remplacer partout, dans la série (S2). que nous venons de former, ax par 4,3" (n —1, 2, 3, ...). La série ainsi obtenue converge pour 3 — %0 et ieprésee fs Si, £ variant de o à 1 sur l, la fonction f(z,t) est holomorphe; autre-

1" Le

’ Ée *

Ne JA %) e R

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 127 ment dit, st la fonction f(z) est prolongeable régulièrement (à partir de 3 — 0) sur le chemin l°, jusqu’au point 3, inclusivement (1). >

Considérons l’ensemble de tous les points z, du plan pour lesquels cette condition est remplie; nous représenterons par A! ce domaine, et nous l’appellerons l’étoile curviligne d’holomorphie (d'espèce let de centre O) attachée à la fonction f (3).

Si un point z, est exclu de l'étoile, c’est que le chemin /*° rencontre au moins un point singulier 6 de f(z). Marquons donc, dans le plan des 3, tous les points singuliers € de f (3) qu’on rencontre en prolongeant f(z) le long de chaque chemin /*, c’està-dire le long de chaque chemin obtenu en prenant un homothétique de / par rapport à O et en le faisant tourner autour de O. Tous les points 3, du plan exclus de l'étoile A! sont tels que 3, £ (pour un certain point £ de /) coïncide avec une des valeurs €. D'après

cela, soit /, le transformé de / dans la correspondance t, — ; ;

les points exclus de l'étoile A! font partie des courbes Æ.

À chaque série (M) la transformation précédente [une fois choisie la fonction g(8)] fait correspondre une série de même forme, que j'appellerai série (M) d’espèce [, ou (pour abréger) série (M).

Donnons-nous arbitrairement, dans le plan des {, une courbe / qui joint les points £= 0.et {= 1, et qui est partout analytique et régulière (extrémités comprises). Soit s l’arc de courbe compté positivement à partir du point £— o vers le point £—1,'soit 59

la longueur de l’arc entre t— 0 et 1 —1, et soit enfin 0 — ra Si

nous posons £ — u + &p, les coordonnées w, du point £ sont des fonctions réelles et holomorphes de 0, u—g,(8), = ga(), pour 0£0£ 1. Il suffit de poser

ur M. t=ut+ivr=gitig: = 8(0)

pour définir une transformation (2?) qui déduit de la série (M}

(!) Pour la notation, voir le n° 8.

* (2) I est loisible d’ailleurs, le chemin Z étant choisi, de remplacer, dans l’égalité (27), 9 par y (8), la fonction y (4) étdnt holomorphe, réelle et comprise entre o et 1 pour o <0£ r, et telle de plus que y(o)=0, y(1)= 1.

donnée [par exemple, de la série (M,)] une série (M!), convergente dans l'étoile curviligne A!, qui correspond à la courbe 4. o 47. Exemples. — Choisissons, comme chemin /, l’arc de la parabole

v= hu(u—:) (2 constante réelle + ou —)

compris entre l’origine et le point u—1, 6 —0o. Il suffit de poser ici

t=u+i=0[i1+1hk(0—1)] = g(86) pour obtenir une fonction g(06), holomorphe pour oS8£1, et telle que 4 croissant de o à 1, le point 4 parte de l’origine et décrive la parabole donnée jusqu’au point £ — 1. Cette parabole a comme

; I ; I h axe la droite u— >» pour sommet le point u — DV=— ra pour paramètre TA - Elle se réduit à l’axe des w quand h s’annule.

Si, dans la fonction JS) = do+ dit + at?+.. ñ on remplace £ par 8[1+ #4(0 —:1)] = 0(c0 + d), il vient

fA1(8)=a+m0(c0+d)+...+a,02(c0 + d)r+,.… = a+ a,0+...+a,0r+..., en posant

RER) | dy = Andi+ an-1dn?c

d=1—ih, CEA

avec

Pour fixer les idées, partons de la série (M,). Il suffit, dans cette série, de remplacer a, 3" par l’expression .s(n—Jj)(n—j—1...(n—27 + 16 dis Var js du=yer CR IERE JET se (RARES (0. £ jet) Ë J: 2/ j | pour obtenir une nouvelle série, soit (x{), de forme entièrement analogue, et qui converge dans l’étoile curviligne A! correspon-

dant à l’arc de parabole Let à la fonction f(:). Le (n + jyiène terme de cette série est un polynome en z de degré n.

Par exemple, appliquée à la fonction f{(z) — ue la série (pt?)

représentera celte fonction dans tout le plan, sauf sur l’arc de la cubique : (0 — hu)(u?+ v?) + hu? — 0 extérieur au cercle u2+ p2— 1.

IL est facile de préciser la convergence de cette série (17). Tout d’abord, il est évident qu’elle converge absolument comme la série (M,). Pour limiter le reste, il suffit de considérer le module maximum H de la fonction f,(0) —f[:g(0)] quand 8 varie dans un rectangle À qui a l’axe réel pour diamètre, et dont les deux côtés normaux à cet axe ont comme longueur *« et pour abscisses

— «et \ + «a, («= — pes): Si l’on arrête la série après Le (n + 1 )ième 2H

+ (voir le n° 12, p. 120). D'autre part, au rectangle À l'égalité t — e(0 )

fait bles une aire D, qui comprend à son intérieur l'arc de parabole et tend à se réduire à cet arc quand « tend vers zéro.

terme, le reste R, de la série est en module moindre que

Quel que soit le point 6 du rectangle À, sa distance minima à un

point du segment réel o — 1 est moindre que a. f1+ Fa < 24;

par suite, quel que soit le point £ de l’aire D, sa distance minima à un point de l'arc / est moindre que 2a[1+|h|+2|A0]|], car

on sait que 18(8)— g(%o)1 = 18 6) x |8"(6:)},

0, désignant un point convenablement choisi sur le segment rec-

tiligne qui joint 0, et 4. Or, dans A, on a La/(O)1= 11 éRCa8— Sn AI A0) Sa + VAI(S + 40).

Quand |A| est moindre que 1, ce que nous supposerons par la suite, et « moindre que 1 (c’est-à-dire » >> 8), la quantité 1 + |A|(3 + 4a) est moindre que 7. Dans ces conditions, décrivons, de chaque point de { comme centre, un cercle de rayon 144, et soit d l'aire

| du plan ainsi balayée : considérons ensuite l’aire semblable d%, ie qui tend vers l'arc de a. Lo, Lan n croît indéfiniment.

dans l'aire d* dès que n dépasse une certaine limite #, et son module reste, dans cette aire, inférieur à une certaine quantité H. On a donc, pourr >,

[Ra (30)| x

Il suit de là presque immédiatement (voir p. 110) que la série (u?) converge uniformément dans toute aire B dont tous les points (contour compris) appartiennent à A’. Elle est donc dérivable et intégrable terme à terme indéfiniment dans l'étoile A.

18. Au lieu de l'arc de parabole /, considérons le demi-cercle

supérieur À décrit sur le segment o — 1 comme diamètre. On peut prendre, comme transformation correspondante,

, U FE 1 ; LEUR ENT (1— cos x + ésinrô) = - (1— e—irb).

Si l’on pose encore aa in) % in ÿ2 ! 1 92 LASER cp 5 Ÿ+...= a+a0+a,02+...,

on a An = Cintre... + Cn,nAn)

les coefficients c;,, ayant des expressions faciles à former et que je n'écris pas pour abréger. Si l’on remplace, dans la série (M),

les a, 2" par (Ci, n 413 +...+ Cn,nAn2"), la série (À) ainsi obtenue

converge vers f(z) dans tout le plan, sauf sur des demi-droites

issues de points singuliers € de f(z) et faisant avec la direction OK.

, T l'angle — +

Si, au demi-cercle X, on substitue le demi-cercle inférieur !,

Ph n tP

il suffit, dans ce qui précède, de changer 8 en — 8 et l’angle 2.

en + … / 3-68 1

D'une manière générale, soit /' le symétrique de l'arc L par rapport à à l'axe réel : pour passer de / à [’, il suffit de changer . ê

en — & dans g(0) — g,(0) + iga(0); les deux séries (Mt) et (Me) 3

sont alors conjuguées l’une de l’autre : j'entends par là que les

coefficients de a,z" (pour z quelconque) sont conjugués dans les termes de même rang de (M) et de (M°).

19. Etoile curviligne attachée à une fonction multiforme. — Quand la fonction f(z) est uniforme dans tout son domaine d’existence, il n’y a aucune ambiguïté sur la valeur représentée

par une série (M‘). Par exemple, la fonction — - est représentée par la série (LÀ) dans tout le plan sauf sur la demi-droite x =1, YF < 0.

Mais, quand la fonction f(z) est multiforme, il convient de pré-

ciser : la branche représentée par une série (M!) en un point z de

Fig. 7:

. … l'étoile (A!) est la branche prolongée régulièrement le long du chemin Æ (à partir de l’origine).

Par exemple, soit f(:)—#ÿ1— 32 [avec f(o) = +1]; la série (1), formée pour cette fonction, converge dans le plan sauf sur la demi-droite x —1, y<o, qui est une coupure de la

: branche représentée. Si l’on désigne par f,(z) la valeur de f(z) __ prolongée régulièrement le long du vecteur Oz, la série (uw) re- présente f, (3), sauf dans le JRACRAREE > 1,7 < 0, où elle repré- sente — f,(z).

| Du peut se faire que les lignes frontières de (A?) se coupent, de

que cet espace est exclu de l'étoile. Soit, par exemple,

(29) so=ÿa-ol- rs ](- <<) [f(o)=1]; la série (l}) converge dans tout le plan sauf sur les trois demi-

droites AA', BB’, CC'( fig. 9) ; elle représente f, (3) sile vecteurOz n’est coupé par aucune (ou est coupé par deux) de ces trois demi- :

droites et elle représente — f, (z) si le vecteur Oz est coupé parune ou trois de ces demi-droites. En particulier, pour tout point z du triangle [JK, la série représente — f,(z), et le chemin l rencontre au moins une des trois demi-droites exceptionnelles.

20. Considérons à la fois les deux séries (À) et (uw), et soit ph et wA le (n + 1)?" terme de ces séries. Désignons par (w) » ee E er =: : Ps ty:

la série Ds - Cette série (où les coefficients des a,5” sont réels) présente des propriétés remarquables. : eh Tout d’abord, appliquée à une fonction uniforme, elle repré 4 sente cette fonction sauf sur les droites normales en chaque point singulier € à la droite OÙ. Mais si la fonction est multiforme, elle CNE

représentera f (3) dans le voisinage de l’origine, et dans d’autres

parties du plan ee (fs f2 désignant deux branches de f conve-

nablement oies), C'est ainsi qu’appliquée à la fonction vi D. la série (\) converge vers f,(3) dans le demi-plan x <1 et vers

zéro dans le nd xæ>1. Au contraire, la “ie

Ree de ve dans le demi-plan æ > 1. #

De même, appliquée à l’exemple (29), la série (w) représen Le Re zéro dans le triangle IJK (fig. 7) et dans les trois angles CAB | A'KB", C'JA'; elle représente f,(:) dans le domaine du plar . (comprenant l'origine) limité par la ligne brisée indéfinie CL: el une branche continue de f(z) dans les autres portio plan B’KJC' et B'IJ A’. de

Ainsi, il existe des séries de la forme

n D (on do+ Ain +... + Ânn An 2!)

qui convergent uniformément vers f(z) dans le voisinage de l’origine [quelle que soit la fonction

fa) = d+ a+ a:3+...,

holomorphe à l’origine] et qui, pour certaines fonctions f(z)

telles que V1—3z, convergent uniformément vers zéro dans une autre partie du plan.

: Fe + vw Au heu de la combinaison ra

» on aurait pu former aussi aPn+ bo + 0 . , FRAC r. ET ‘ . , ” rien à V1 — 2, la nouvelle série (v}) ainsi obtenue repré-

—b)vi

denterait —9)VI # nr Z dans le demi- -plan x > 1.

bien la combinaison » (a, b constantes numériques).

Enfin, on arriverait à des conclusions analogues en combinant deux séries conjuguées (M!) et (M!) quelconques.

2. Extension des résultats précédents. — Nous sommes partis, dans ce qui précède (n° 16), d’une courbe / joignant les points {—0,t—1 et partout analytique et régulière. Maïs il est loisible de se donner entre o et 1 une courbe continue entièrement quelconque, soit L. En effet, une telle courbe peut toujours être regardée comme la limite d’une courbe analytique régulière (joignant o et 1), qui dépend d’un entier n : quand n croît indé-

finiment, cette courbe /, tend vers L. Pour chaque chemin /, « sait former une série (M!) représentant f(z) dans l'étoile A4;

quand Ztend vers L, A! tend vers A.

Appelons d Pare balayée par les cercles ayant leur centre