CUP

Ilest clair que la fonction f(x) que nous avons ainsi définie dans l'intervalle o — 1 n'y coïncide avec aucune fonction de classe o, 1,2. Car une telle fonction, définie dans Pintervalleo—1, … est représentable par une série (1) convergente pour Loutes les è valeurs de x comprises entre o et 1. Supposons, pour un instant, me que la fonction f(x) puisse être représentée par une telle série et. a “e soit #, le nombre qui correspond au système des coefficients À Ca,,y de celte série; pour x — w, la série converge, puisque ws est 7 compris entre o et 1; or, si la somme de Ja série est différente de … zéro, On à f(Un) = 0 et, si la somme de la série est égale à zéro, 4 nn ie ul y a donc contradiction et nous avons étab

résultat que nous avions en vue : il est CE de définir efecti-

donné jee QUE

(!) La démonstration précédente prouve simplement que la classe de la fo tion définie est supérieure à 2, mais n'exclut pas la possibilité que cette soit un nombre transfini, M. Lebesgue, à qui j'ai communiqué cette démon ] tion, a pu, en la modifiant et la complétant, en déduire la définition d'une

fonctions représentables analytiquement (Journal de Mathématiques pu

et appliquées, 1905). Dans ce Mémoire, M. Lebesgue donne des exemples de tions non représentables analytiquement. — Poir aussi l’article de M. ÉnLr

Villars).

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