SUR L'EXISTENCE DES FONCTIONS DE CLASSE QUELCONQUE

effectivement définie est nécessairement de classe 0, 1, 2 ou 3. Nous allons, au contraire, montrer qu'il est possible de définir effectivement une fonction dont la classe dépasse un nombre donné d'avance.

D'ailleurs, cette définition exigera en général des opérations transcendantes pratiquement inexécutables; on sait que cette difficulté se présente presque toujours lorsqu'il intervient des processus infinis : séries ou intégrales.

Voici comment on peut définir une fonction de classe supérieure à deux; le même raisonnement s’appliquerait à une classe

quelconque. Posons ë Y=2+8

PaB(z) — à Ca,B,yTŸpdt Y=0

Toute série double de polynomes peut être écrite sous la forme

(0) > À Paste) ; CES

& x (EP À ,

! | … Si dans un certain intervalle la série (1) converge, elle définit,

… fonction de classe o, 1 ou 2 peut être définie de celte manière par un choix convenable des c,,8,, (chaque fonction est même définie d’une infinité de manières, mais cela n’a pas d’inconvénient pour ce qui suit).

Aie On peut, au Tableau des constantes Ca,B,y faire correspondre | d’une manière univoque un nombre w, compris entre o el 1 ; c’est-

à-dire s'arranger de manière qu’à tout nombre w, corresponde un

système de constantes Cu,g, et à out système de constantes un

tèmes distincts, et réciproquement. Une telle correspondance peut

déterminée (1). Ceci fait, nous allons définir une fonction f(x), dans l'intervalle o — 1, de la manière suivante : soit w, une valeur

dans cet intervalle, une fonction de classe 0, 1, ou 2; et toute

nombre w», deux nombres distincts correspondant à deux sys-.

quelconque de x comprise entre o et 1; formons la série (1) qui

tion déterminée de classe 3; pour la démonstration, voir H. LEBESGUE, Sur i