PAR DES SÉRIES DE POLYNOMES

Puissance d’un ensemble. — L'idée d'ensemble est une notion primitive dont nous ne donnerons pas de définition (‘). Citons seulement quelques exemples d'ensembles : l’ensemble des points : d’une droite, l’ensemble des polynomes en zx, l’ensemble des surfaces minima, etc.

On peut raisonner sur les ensembles sans s'occuper de la nature des objets qu'ils contiennent. Lorsqu'un ensemble est fini, on est ainsi amené à distinguer, parmi les propriétés abstraites de cet . ensemble, le nombre des objets qu’il contient. Deux ensembles finis contiennent chacun le même nombre d'objets si, à tout

… élément de l’un, on peut faire correspondre un élément de l’autre | nn réciproquement. S'il en est encore ainsi pour deux ensembles | QUELI oNQuESs E, E,, nous dirons avec M. Cantor que E a même de PUISSANCE que E;. Nous pouvons maintenant nous proposer de comparer, au point de vue de la puissance, un ensemble quelconque à quelques ensembles qui nous sont familiers et que nous pren-

, drons pour types.

__ (*} Voir, pour la discussion de l’idée d'ensemble, Émice BoreL, Leçons sur la théorie des Fonctions, Chapitrelet Notes (Paris, Gauthier-Villars), et ÉMILE BOREL, Sur les principes de la théorie des ensembles (Communication faite au IV* Congrès international des Mathématiciens, Rome, avril 1908).

Ainsi, un ensemble E qui a même puissance que l’ensemble des nombres entiers : 1, 2, 3, ..., n, ..., est un ensemble dénombrable. Si E a même puissance que l’ensemble des nombres compris entre © et 1 (limites Gps on dira que E a la puissance du continu.

Donnons des exemples de l’un et de l’autre cas. Un ensemble. de nombres : Um,m..m Qui se distinguent par la suite de leurs | k'indices entiers m,, ..., mx est un ensemble dénombrable. Il ci suffit, pour le voir, de montrer que l’on peut ranger ces nombres dans l’ordre 1, 2, ..., n, ..., de façon à les obtenir tous, chacun une seule fois. Pour cela, considérons tous ceux de ces nombres … dont la somme des Has est égale à n. Il y en a un nombre fini, on peut donc les numéroter. Si l’on opère ainsi pourn —1,n=—=2, 24 on pourra les numéroter tous à parur de 1, AS

Ainsi les nombres rationnels à forment un ensem/le dénom

Rod Dr z. Ven brable, car uh,3 = : est bien déterminé par les indices mn

et q ("): à x REA CR De même, on peut démontrer (?) que l'ensemble des poin IST"

compris dans un carré de côté égal à 1 a même puissance que re l’ensemble des points situés sur un de ses côtés, c’est-à-dire, a :

la puissance du continu. Une question se présente naturellement au sujet des deux ensembles que nous avons pris pour types & l’ensemble E des nombres compris entre o et 1 est-il dénombrable? La réponse est négative (3) : lorsqu'on enlève de l'en: s semble E une infinité dénombrable semess il en restera : UT toujours une infinité, de quelque manière qu’on opère E ñ

CE > tions 1 E du moment que p'etg'ne sont pas ie Re dl àp

pra même.

MEN? (2) Voir E. BoREL, loc. cit., p. 17. : É Pet: . (#) Voir E. Borez, loc. cit., p.14. S %

. DCR (*) D'ailleurs il ne faudrait pas croire que les deux types de puissance a nous avons considérés soient’ les seuls possibles. pers à ce e sujet, E. EL, RRICLE -D:.107: 8m

Ensembles de points.

On peut aller beaucoup plus loin dans cette étude des ensembles abstraits (1). Mais nous aurons surtout à utiliser dans la suite les propriétés spéciales aux ensembles de point (et particulièrement de points d’une droite). Plusieurs de nos résultats pourront se généraliser à l’espace x dimensions, en appelant point un ensemble de » nombres réels : x,, &2, ..., x», et sphère le lieu des points pour lesquels on a

(t1—m)+...+(æn— an) = r'<R?,.

Le nombre positif r sera la distance du pointir,, 4,7, au centre &,, ..., 4n; R est le rayon de la sphère.

La notion fondamentale qui s’introduit dans la considération des ensembles de points à un nombre quelconque de dimensions est celle de point limite. Nous dirons qu'un point A est point limite d’un ensemble E si, quel que soit le nombre positif e, on peut trouver un point de l’ensemble E distinct de A et dont la distance à A soit plus petite que €.

Il résulte évidemment de cette définition qu’il y a une infinité de points de E près de A.

Il y a souvent avantage à introduire la considération du point à l'infini. Il sera, par définition, point limite de E, s’il y a des points de E à l'extérieur d’une sphère quelconque.

L'ensemble E’ des points limites de E est l’ensemble dérivé de E. On dira que l’ensemble E est fermé (2?) s’il contient tous les points de son dérivé E’ et parfait s’il coïncide avec E/.

On voit immédiatement que l’ensemble dérivé E' d’un ensemble quelconque E est fermé. En effet, près d’un point

limite quelconque de E’, B, il y a des points A’ de E’ et, près

. de A', il y a des points A de E. On peut s’arranger (£ étant un

nombre positif donné) pour que les distances de B à À’ et ensuite de A’ à À soient plus petites que : et alors la distance de B à A

sera plus petite que &; car il résulte de la définition analytique de la distance qu’un côté d’un triangle est au plus égal à la somme

(‘) Pour cette étude, nous renvoyons le lecteur à l'Ouvrage de M. M. FRÉCHET, Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'analyse générale qui paraîtra incessamment dans cette Collection.

(?) Au contraire, un ensemble formé de points d’un espace & est ouvert s’il .ne renferme aucun point qui soit à la fois point d’accumulation de points de

l'ensemble et de points de &.

vs

des deux autres. Donc un point limite quelconque de E/ est un point de FE.

L'étude de l’ensemble dérivé E! d’un ensemble E peut dans y certains cas nous révéler certaines propriétés de l’ensemble E, comme nous allons le voir. D'autre part, le sujet de cette étude est plus restreint, puisque E/ ne peut être donné a priori d'une re façon quelconque, d’après le théorème précédent.

Taéonëme ne Wrirnsrnass-Bozzano. — La condition néces= saire et suffisante pour qu'un ensemble ne contienne qu'un AS nombre finit de tb à est que son ensemble dérivé soit es (c'est-à-dire qu’il n'y ait pas de points limites de E). à NN

Il suffit évidemment de démontrer. que, si un ensemble E con ie tient une infinité de points, il a au moins un point limite. En. effet : ou bien le point à l'infini est point limite; ou bien tous … les points de E sont dans une sphère S de rayon fhi, En agrandissant S, on peut supposer que S soit un volume limité par plans parallèles aux plans de coordonnées (!). Menons mainten des plans équidistants de ceux-ci; ils partageront S en un certai nombre de parties égales S,, S', ... et dans l’une au moins ces parties, S, par exemple, il y aura une infinité de points de E: Opérons de même sur S,; il y aura une des parties de S, au moins, re soit S2, qui contiendra une infinité de points de E, et ainsi de suite.

PS