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sur leur contour. de point À sera un point limite dt E, puisq tie y aura une infinité de points de E aussi approches de lui de LE le voudra. Se.

Nous allons maintenant démontrer une pp an U

y à une infinité non dénombrable de points de E à l'extérieur d’une sphère de rayon aussi grand que l’on veut

On peut alors répéter la démonstration du théorème précédent en remplaçant les mots : in/finité de points par tn/finité non dénombrable de points, et points limites par points de condensation. On prouvera ainsi que tout ensemble non dénombrable admet au moins un point de condensation (1).

Cette même notion permet de démontrer simplement la propo: sition suivante (2):

Taéonkme DE Canron-Bennixson. — Un ensemble renmé quelconque F peut être décomposé en un ensemble parfait P et un ensemble dénombrable D.

En effet, appelons P l’ensemble des points de condensation

de F (ce sont des points de F puisque F est fermé) et soit D l’ensemble des autres points de F.

” Je dis que P est parfait et D dénombrable.

7 Tout d’abord; P coïncide avec son dérivé P’, Car, soit A’ un point de P”, il y a près de A' une infinité de points À de P dans

une sphère de centre A’ et de rayon 2e Près d'un point A, il y a une infinité non dénombrable de points B de F dans une sphère de centre À et de rayon 2: Donc, il y a une infinité non dénombrable

de points de F dans la sphère de centre A’ et de rayon & : A’est un point de P.

Réciproquement, considérons deux sphères À, À, concentriques

à un point À, de P et de rayons 2, —!. Entre ces deux sphères, n n+I

il ne peut y avoir un nombre fini ou une infinité dénombrable de

points de F quel que soit n. Sans quoi, on pourrait les désigner

par Ad, Gas ur 5) el alors, dans une sphère de centre À, et

de rayon assez pelit, 1l n’y aurait d’autres points de F que des

te points aix qui forment comme on l’a vu un ensemble dénombrable. Par conséquent, À, ne serait pas point de condensation de F.

Il y a donc des valeurs de n aussi grandes que l'on veut pour

(') D'une manière plus précise, on peut démontrer que, dans tout ensemble non dénombrable il existe au moins un point qui est un point de condensa- “ tion pour l’ensemble considéré (cf. DE LA VaLLée Poussin, /ntégrales de Lebesgue, fonctions d DE" classes de Baire, p. 3, Ouvrage publié dans cette Collection).

lesquelles il y a un ensemble non dénombrable de points de F entre 2, X,.

D'après le théorème démontré, il y aura au moins un point de condensation de F entre X, et X;,. Le rayon de X, tendant vers zéro, À, sera un point limite de P. Ainsi P est parfait; il en résulte en particulier qu’un point de D ne peut être limite de points de P. Autrement dit, la distance d’un point bien déterminé € de D à un point quelconque À de P a un limite inférieure r non nulles

L'ensemble E, des points de D pour lesquels r > : est dénom-

brable, sans quoi cet ensemble E, aurait au moins un point de condensation qui serait en même temps un point de condensation

. . . . I ‘ de F. Or ceci est impossible puisque r > + Nous pourrons donc ranger les points de D pour lesquels r >> 1 dans l’ordre €y,, Cu, . 4 I e Le Ci33 -<.- puis ceux pour lesquels on ai12r°> : dans l’ordre €,

C22 Cas, -.. et ainsi de suite. Tous les points de D pouvant être obtenus chacun une fois dans l’ensemble des c;, D est bien dé- | nombrable. La démonstration précédente n’est exacte que si tous les points de l’ensemble sont à distance finie. Une simple transfor- ii" mation homographique ramènerait à ce cas l’hypothèse contraire. …

Structure des ensembles parfaits linéaires.

Nous allons maintenant nous restreindre à la considération des ensembles de points situés sur le segment (0,1) que nous appel-. À lerons intervalle fondamental. Quelques-uns de nos résultats » pourraient s'étendre comme les pra aux ensembles de

aa points à n dimensions, mais nous n’aurons pas à utiliser celte