PREMIERES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DISCOXTIXCES

à ^ au point (xp, o), la suite des nombres F(aro, yi}-; •••■. ¥{xo, yn), ... a pour limite F(j:,, o;, cest-à-dire que/, (xq), .. ., /«(^o)î .-. a pour limite /(xo).

Ceci ayant lieu quel que soit Xq, f{-x:) est la limite des fonctions continues/),.

On pourrait généraliser ceci en remplaçant Ox par une courbe. Par exemple, supposons une fonction définie dans un cercle de rayon R et sur son contour (^fig- 4% celte fonction étant continue pour tout point intérieur, et jouissant sur le contour de la propriété suivante : la \aleur de la fonction en un point M' mobile sur le rayon OM tend vers la valeur en M quand M' tend vers M

(continuité suivant la normale). Prenons, pour coordonnées d'un point, son argument «i» et sa distance /• à l'origine. Pour r<; R, F(/-, •!/) est continue par rapport à (r, •!): pour r= R, F(/\'i/o ) est continue par rapport à /*. Considérons des cercles concentriques de rayons r, , r-^, — /•„, ... tendant en croissant vers R. Il est aisé de montrer que la suite des fonctions de 'l : F{r„j «i) a pour limite F(R, -i).

En résumé, ta recherche d'une suite de fondions continues ayant pour limite une fonction f{x^ définie sur le segment AB. est absolument équivalente à celle d'une fonction F(x. r) se réduisant à /(x) pour i- = o, continue par rapport à l'ensemble des deux variables (x, y) dans le rectangle ABA,B, sauf sur AB, et enfin continue par rapport à y en tout point de AB.

Appelons problème (A) la recherche d'une telle fonction F(x,y) pour une fonction donnée /(x), et faisons quelques remarques sur ce problème.

Si l'on en connaît une solution F,,, on peut en déduire d'autres. Il suffit d'ajouter à Fq une fonction s (^x^y) continue en tout point

du rectangle (j compris les points de AB) par rapport à l'ensemble (^, y) et se réduisant à o sur AB.

Si le problème posé pour la fonction /(x) admet une solution F(^, jk), on pourra en donner une autre F,, telle que F, prenne sur le contour du rectangle des valeurs données à l'avance. En effet, je prends un point G intérieur au rectangle {/ig. 5), je le joins à A et à B par des droites. Dans le triangle ACB, je définis F,

Fi;;. 5.

comme identique à F, et je relie les valeurs assignées sur le contour AA)B,B aux valeurs données sur ACB par une fonction continue.

Plus généralement, on peut se donner à l'avance les valeurs de F, sur une courbe joignant A à B et intérieure au rectangle.

6. Étant donnée la fonction f (x) définie sur le segment AB {^fig. ()), supposons qiûil existe un point G entre A et B, tel que la fonction f{x) soit, sur chacun des segments AG et GB,