jr

11 reste à voir ce qu'est la série pour les valeurs de x égales à t:,

St:, 5— — ~, — St, On reconnaît directement que la série

a tous ses termes nuls pour ces valeurs. Nous constatons ainsi que

la série > ( — i j""*"' est convergente quel que soit x, mais

représente une fonction y(x) discontinue. Elle serait géomélrique-

Fig. I.

ment représentée par une succession de segments de droites et de points isolés (fig. i /.

2. Plaçons-nous maintenant à un point de vue différent. Donnons-nous a priori une fonction discontinue /"(x), et cherchons à la représenter par une série dont tous les termes soient des fonctions continues de x. Je dis dabord qu'il revient au même de

rechercher une suite de fonctions continues /^,, f^^ ..., /"«, ,

telles que, pour chaque valeur Xq de x^ on ait

lim/„(a-o) =/(:ro).

ce que nous exprimons en disant que la suite /i , /o» • • -j /ni • • -j a pour limite /. En effet, étant donnée une série à termes continus M, -f- Mo — -. . .-r- M/i-f-- • •- la somme Ui ^ Uy^- ---r- u„, qui est continue, a pour limite /: et réciproquement s'il existe une suite de fonctions continues /, , /o, . . ., /«, .... avant pour limite /, en

posant

on a une série de fonctions continues dont la somme est /.

Comme exemple, nous prendrons la fonction /{x) définie pour — i^^^i, égale à o pour toute valeur de x sauf pour la valeur o pour laquelle elle est égale à i. Soit n un nombre entier; nous définirons une fonction continue y,2 de la manière suivante :

Pour

et pour

'; iP ^ I ,

fn = O.

Pour x-=o. /"„ = I . Dans chacun des intervalles à o, et o à - ,

fn variera linéairement, c'est-à-dire que l'on aura

f,i{x) — i^nx { £a7<o

. fn{x)^i — nx (o^xiy)-

La fonction y,2 ainsi définie est continue. Je dis que l'on a

ynnfn(x) =/(.r),

quel que soit x. En effet, distinguons deux cas :

i" Supposons X = o. Dans ce cas, quel que soit n, f,i= i , c'està-dire y„ = /*; 2° Si X est différent de o, il j a un entier/?, te /que,, pour n >/>, on a

A partir de ce moment, on a

et comme /(:c) = o, la propriété est encore vraie.

3. Comparons les deux exemples étudiés. On voit que, par le second, l'existence de fonctions discontinues limites de fonctions

PREyiÈRES RECHERCHES SDR LES FONCTIONS DISCOXTIXTES. 5

conlînues est mise en évidence d'une façon beaucoup plus directe que par le premier. Il v a lieu d'appeler 1 attention à ce propos sur les deux manières différentes dont s'introduit la notion de fonction en mathématiques.

Dans le premier exemple, on partait du procédé habituel qui consiste à définir un petit nombre de fonctions simples représentées par des notations conventionnelles et à considérer les fonctions qui s'obtiennent par combinaisons de ces premières fonctions.

Dans le second exemple, on n'a imposé aucune restriction à la notion de fonction. On s'est attaché seulement à ce que les fonctions que l'on considère soient définies pour chaque valeur de x, le procédé de définition pouvant être choisi d'une manière complètement arbitraire.

D'autre part, l'exemple de la série

montre que, même en se plaçant au piemier point de vue, il arrive un moment où l'on se trouve nécessairement conduit à introduire des fonctions présentant des singularités. Cela arrive en particulier quand on considère des séries, c'est-à-dire quand on introduit la notion de limite.

4. La méthode employée pour le second exemple peut s'appliquer à une fonction quelconque présentant une seule discontinuité. Soit en effet y (x) une fonction définie pour a^x^b, et qui soit continue en tout point de cet intervalle, sauf pour la valeur x = c. Considérons un intersalle (c — a..,, c-i-aL„), a^ étant un nombre positif qui tendra vers o quand n croîtra indéfiniment. Nous définirons y« comme il suit : /„ sera égale à y"pour toute valeur de x prise dans l'intervalle (a, b), en dehors de l'intervalle (c — x„, c-i-a„), et aussi pour x = c. Dans chacun des deux intervalles (c — a„. c) et ( c, c — x„). fa variera linéairement ^c pourrait être l'une des extrémités a ou 6, auquel cas on ne considérerait qu'une moitié de l'intervalle c — a,, à c -h ata). On reconnaît que la fonction /"„ ainsi définie est continue et tend vers f.

II. — Théorèmes fondamentaux sur les fonctions limites de fonctions continues.

O. L'étude que nous nous proposons est celle des jonctions discontinues qui sont limites de fonctions continues.

Nous nous limiterons d'abord aux fonctions discontinues dépendant d'une seule vaiiable x., qui prendra toutes les valeurs d'un intervalle fini (a, 6); nous supposerons de plus ces fonctions bornées., c'est-à-dire comprises entre des limites finies.

Transformons tout d'abord le problème de la construction d'une suite de fonctions continues tendant vers une fonction discontinue/(^r).

Supposons que/* (^) soit limite d'une suite de fonctions continues

L'ensemble des valeurs des fonctions f^ifi^ • ■ -^ fn-, ■ • •■, peut être considéré comme fonction des deux variables x e\ n\ à la variable n, qui ne peut prendre que des valeurs entières, nous allons substituer une variable continue jy. Nous introduisons une fonction Y{x.,y) que nous assujettissons comme première condition à se réduire

poury ^ oà/(.2:) etpourj)/- = - à f,i{x). Représentons géométriquement les valeurs des deux variables :r ^,1 y [fig. 2); .r varie

Fis. 2.

1 Ai B,

An

Bn

entre a el b représentés par les points A et B; y prend toutes les valeurs de o à i. Nous mettons en évidence les droites A|B,,

AoBo,

A„B,,, ... d'ordonnées i, •-» r? -zf

PRElflÈRES RECHERCHES SUR LES FOXCTIOXS DISCOXTIXCES. 7

Par définition, la fonction F(x,y) doit être égale, sur le segment AB, kf{x), sur le segment A^Bn. k/„(x).

Je dis que Ton pourra construire la fonction F(x, ») en l'assujettissant en outre à être continue par rapport à l'ensemble des deux variables dans tout le rectangle ABA, B,, sauf sur AB.

11 nous suffira de prendre la loi suivante. Sur une parallèle quelconque à Or, x^Xq. entre deux valeurs consécutives de >' de la

forme — » la fonction variera /i/iéaire/»ie/if par rapport kr: on aura

donc, pour ^ -»< - -

fi

a et ^ étant fonctions de x seul ; ces fonctions sont déterminées par les conditions

d'où résuite, pour < y< -,

( I I V(jr.y . = «(«-,) ^Çy —L- )f,,ix) - ( ~ -,>')/„+, (:r)j .

F est ainsi définie dans tout le rectangle ABA,B,. Je dis que cette fonction satisfait à la condition de continuité. Pour un point dont

l'ordonnée n'est pas de la forme -, l'expression (i) de la fonction

montre sa continuité. Pour un point situé sur un segment A„ B„, on voit que F(x, y) revêt de part et d'autre de ce segment deux expressions différentes, toutes deux continues, et prenant toutes les deux sur ce segment les mêmes valeurs : la fonction F est donc continue par rapport à l'ensemble (x, y) en chaque point du segment, et. par suite, en tout point du rectangle ABA, B,, sauf peut-être sur le segment AB.

Enfin, en tX)ut point M</e AB, la fonction F (a;, y') est continue par rapport à r. Il faut montrer que, pour un point variable d abscisse fixe Xo et d'ordonnée y\ positive et tendant vers zéro, la valeur correspondante de la fonction tend vers F(j:"o- o »=/(xoV

Soient en effet M,, M^. M«, ... (^gr, 3) les points d'abscissex»

situés sur les segments y = - • Notre hypothèse première est

que la suite fi.fi, ••., /«, ••• a pour limite /. Autrement dit F (^05-) tend vers /(^o) quand n croît indéfiniment. Or, étant donné un point M' d'abscisse y tendant vers zéro d'une façon quelconque, il existe un nombre entier /? et un seul, tel que

et, quand y tend vers o, n croît indéfiniment.

La fonction variant linéairement par rapport à y quand x est

fixe, la valeur pour jk' est comprise entre les valeurs pour jk = ^^If^^

etjK=-- Comme F (x,) 5——) ^^^' \^o-> 'Ji) tendent vers /(^Tq),

F(^oj y') tend aussi vers/(.2;o), c'est-à-dire vers ¥{xoi o).

Il y a donc continuité en tout point M de AB par rapport ky.

Fis. 3.

Aj

An

Wn

Réciproquement, supposons que l'on connaisse une fonction F {x^y) telle que, x variant dans un certain intervalle représenté par AB, ety de o à y,, la fonction considérée soit partout continue par rapport à [x, y), sauf aux points de Ox, où elle est seulement continue par rapport à y. Je dis que la fonction y*(^) = F(:r, o), qui peut être une fonction discontinue, est limite de fonctions continues.

Prenons en effet une suite de valeurs jk<, ...,yni •••■, décroissantes et tendant vers o. Considérons les parallèles à Ox d'orjdonnéeyi, ...,y„, .... P<^)sons

D'après nos hypothèses, /„ est continue. De plus, si l'on considère une parallèle à Oy, x =■ x^^ d'après la continuité par rapport