PREMIERES RECHERCHES SCR LES FONCTIONS DISCONTIXUES. II

remplies dans chacun de ces rectangles: elles sont alors remplies dans le rectangle total.

Le théorème s'étend au cas d'un nombre fini quelconque de segments partiels, c'est-à-dire que :

Etant donnée une fonction f{x) définie sur AB, si AB est décomposé en un nombre fini de segments, sur chacun desquels f est limite de fonctions continues, la propriété est vraie sur le segment total.

On en déduit, en tenant compte du résultat du n° 4, (\\x'une fonction présentant un nombre fini de discontinuités est limite de fonctions continues.

7. Nous allons étendre ce résultat à des fonctions plus compliquées; prenons d'abord l'exemple suivant où la fonction considérée possède une infinité de discontinuités.

Imaginons une fonction définie en tout point du segment (o,i) de la façon suivante : i** elle est égale partout à o sauf aux

points I ,-...•,->.-•» o ; 2° en tous ces derniers points, sa valeur est I.

Cette fonction peut-elle être représentée comme limite de fonctions continues? Le théorème suivant va nous répondre affirmativement. Observons d'abord que. si C est un point intérieur à AB [AB étant le segment (o. i)], le nombre des points de discontinuité situés sur le segment CB est toujours ^/i/, et, par suite, sur CB, la fonction est limite de fonctions continues.

Étant donnée une fonction f définie sur un segment AB, {fig- 7) sij quelque soit le point C intérieur à AB, la fonction,

Fi?. 7-

jy^

Cn Cj Cl B

considérée sur CB, est limite de fonctions continues, elle est aussi, considérée sur AB, limite de fonctions continues.

12 CHAPITRE r.

En effet, considérons une série de points C|, C2, ..., C«, ..., tendant vers A, chacun d'eux étant à gauche du précédent. Menons AB, et marquons les points C, , Cl, ..., C,',, ..., dont les projections sur AB sont C,, Cj, . . ., G„, Nous allons définir, dans le

rectangle ABB,A,, une fonction V(x,y) qui remplira les conditions du problème (A) relativement à la fonction f{x). Je me donne d'abord une fonction continue par rapport à {x^ y) en tout point du triangle AA, Bj, et ayant en A la valeur/(A).

Je définis ensuite F dans le trapèze C| C, BB,, F se trouvant déjà définie sur C, B et sur C, B, ; cela est possible en vertu de l'hjpoihèse que/, sur C| B, est limite de fonctions continues.

Je définis ensuite F dans le trapèze C2CIG1C', , F étant définie déjà sur GoC,, C, G, et G^G,. Je définis successivement F dans tous les trapèzes analogues, de bases G| Go, G2G3, ....

L'opération étant supposée répétée indéfiniment, F se trouve définie en tout point du rectangle A.V, BB, . De plus, la fonction F est continue en tout point du rectangle, sauf peut-être sur AB. Par rapport ày, elle est continue, en tout point de AB autre que A, d'après la construction, et elle l'est aussi en A, d'après la définition donnée de F dans le triangle AB, A,. La fonction F résout donc le problème posé.

8. En combinant les résultats des théorèmes qui viennent d'être établis (n"* 6 et 7), on a la proposition suivante :

THÉoiiiîME L — f{x) étant une fonction définie sur le segment AB, sHl existe un nombre fini de points tels que, dans une portion quelconque de AB ne contenant aucun de ces points, f est limite de fonctions continues, la fonction est aussi limite de fondions continues sur tout le segment AB.

En effet, soient G|, G2, ..., C,i {fg. 8) les points dont il est

Fis. 8.

A C, Cn B

D^ Da Dnn

parlé dans l'énoncé; entre A, G,, G2, ..., G«, B, intercalons des points D,, D2, ..., D/,^.,. AB est décomposé en un nombre fini de segments AD,, D,G|, G1D2, ..., D^^^, B. Sur chacun de

PREMIÈRES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DISCOXTIXCES. l'i

ces segments, nous sommes dans les conditions du théorème précédent, le rôle du point B de ce théorème étant joué ici par un des points D. Sur chacun de ces segments, y est donc limite de fonctions continues. Comme ils sont en nombre fini, / est, sur AB, limite de fonctions continues.