Notions sur les ensembles de points et applications

9. Pour appliquer ce théorème, nous allons introduire quelques notions sur la théorie des ensembles^

Point limite. — Considérons un ensemble de points P sur un segment de droite AB. On dit que M est un point limite de l'ensemble P, si tout segment contenant M à son intérieur contient un point de P autre que M.

Sous une forme plus brève, dans le voisinage de M il j a toujours un point de P autre que M.

Remarquons que si un point M (appartenant ou non à P) est point limite d'un ensemble P, dans tout intervalle comprenant M à son intérieur il y a une infinité de points de P. Car, s'il nV avait qu'un nombre fini de points de P autres que M dans un tel intervalle, l'un de ces points serait plus rapproché de M que les autres; soit o sa distance à M. Ln intervalle contenant M à son intérieur et dont la longueur serait inférieure à o, ne contiendrait aucun point de P autre que M, et. en vertu de la définition donnée plus haut, M ne serait pas un point limite.

La réciproque est d'ailleurs évidente. La définition donnée équivaut donc à la suivante : un point M est point limite de P si, à l'intérieur de tout segment contenante! à son intérieur, il v a une infinité de points de P.

Ensemble dérivé. — Etant donné un ensemble de points de P, on appelle ensemble dérivé de P l'ensemble des points limites de P.

Nous le désignerons par P* .

Ensembles Jermés. — On dit qu'un ensemble de points est

I4 CIIAPITUli I.

fermé, s'il contient tous ses points limites, c'est-à-dire si tout point qui est limite pour l'ensemble en fait partie.

Considérons, par exemple, l'ensemble des points d'abscisses -,

-,•••,.•• et l'ensemble contenant ces mêmes points et, en

plus, le point zéro. Ils possèdent tous deux le point zéro pour point limite, et celui-là seulement. Donc, le second ensemble est fermé, le premier ne l'est pas.

10. Etant donné un. ensemble quelconque P, l'ensemble dérivé P' est fermé.

Autrement dit, l'ensemble P' contient tous ses points limites.

Fit;. ().

Soit M un point limite pour P' {fig. 9). Je dis qu'il est limite pour P. En ellet, dans tout intervalle M'M" contenant M à son intérieur, il y a une infinité de points de P'. Choisissons-en un intérieur à M'M". Ce point étant limite pour P, il existe une infinité de points de P dans l'intervalle M'iM". Donc : M est un point limite de P.

Etant donné un ensemble P, réparti sur un segment fini iSB^ si l'ensemble P contient une infinité de points, cet ensemble a au moins un point limite.

En eflet, soit C le milieu de AB {fig. to); l'une des deux por-

tions AC, CB contiendra une infinité de points de P. Ce sera AC par exemple. J'opère sur AC comme sur AB. J'obtiens un nouveau segment, C, C par exemple, qui contient une infinité de points de P, et de longueur '— ; j'opère sur C, C de la même manière, et amsi de suite. J'obtiens ainsi un segment variable, contenant toujours une infinité de points de P, dont l'extrémité gauche ne rétrograde jamais vers A, celle de droite ne se rapproche jamais de B.

PREMIÈRES RECHERCHES SIR LES FONCTIONS DISCOXTI>XES. l5

Sa longueur tend vers o. Les deux extrémités tendent donc vers une même position limite. D'après la façon dont ce point est défini, ce sera un point limite pour l'ensemble P, car tout segment contenant ce point à son intérieur contient une infinité de points de Tensemble.

Nous déduisons de ce théorème la conséquence suivante :

Etant donné un ensemble P réparti sur le segment AB. si une portion a,3 du segment ne contient aucun point du dérivé P', il n y a sur cet intervalle a^ qu'un nombre fini de points de P; car, si -xp contenait une infinité de points de P. il contiendrait un point limité de P, qui appartiendrait à P*.

Nous exprimerons le fait qu'il n'y a dans a^ aucun point de P' en disant que, dans a3, on a

A l'aide de ces notions, nous pouvons démontrer le théorème suivant :

Si V ensemble P des points de discontinuité de 'f(x) est tel que son dérivé P' contient un nombre fini de points, f{x) est limite de fonctions continues.

En effet, soient M,, M2. ..., M«, les points de P'. Appliquons le théorème I : dans tout segment ne contenant aucun des points M,, Mo. . . . , M;i, nous n'avons qu'un nombre fini de points de P, c'est-à-dire de discontinuités pour y; dans un tel segment, y est limite de fonctions continues ( n" 6). Donc, dans AB, par application du théorème I, / est limite de fonctions continues.

Considérons, par exemple, l'ensemble P composé : i" des points

d abscisses -» 7» ••' —•> •■■ qui ont pour point limite o: 1'* des

points --T--'- — ~'â^8'"'"'-I — ~i'' " ' ^"' ^^^ pour point

limite -• On voit que P' se compose des points o et i- D'après le

théorème précédent, la fonction partout égale à o, sauf aux points de l'ensemble P, où elle est égale à i , est limite de fonctions continues.

l6 CHAPITRE I.

H. Ensembles dérivés d'ordre supérieur. — Supposons que P< contienne une infinité de points. P' possède alors un ensemble dérivé que nous noterons P-. Nous dirons que P- est le dérivé d'ordre 2 de P.

Puisque P' est fermé (n" 10), P- est contenu dans P'. Nous noterons ce fait ainsi (' ) :

Réalisons des exemples d'ensembles de points possédant un dérivé du second ordre P-.

Nous allons chercher à former un ensemble où le point -

appartient à P^. P' devra contenir une infinité de points ayant ce point pour point limite. Ce seront par exemple les points

i. j — , j — , . • . , — ! , . . w II nous faut maintenant placer de

nouveaux points ayant pour points limites les points de P'. Considérons l'intervalle de i à — \- -• Nous y plaçons une infinité de

points ayant pour point limite le point ; — h 7- Ce seront les points

' 4/ "*" 16' ■ ■ ■' Va "^ 4/ 2"'

Pareillement, dans chacun des intervalles en nombre infini de la

forme H à — h : > nous plaçons un ensemble de points

occupant la même situation par rapport à cet intervalle que l'ensemble ( - ' 7 ' o j • • • ) par rapport à l'intervalle (0,1).

Soit P l'ensemble des points ainsi obtenus. On voit que les

I r I II . ,. . i^ Ti

points -> ; — hy • • -y — '^ TTi'' ' ' ' sont points limites pour i\ Ils

appartiennent donc à P'. Ces points de P' ont un point limite,.

le point -• Ce point appartient à P-. Nous avons ainsi construit un

ensemble P dont le dérivé du second ordre contient un point donné à l'avance.

(') D'une manière générale, nous indiquerons par P^ Q le fait que l'ensemble P conlient tous les points de Q, par P > Q le fait que P contient tous les points, de Q et, en outre, au moins un point.