LES FONCTIONS DK 11 VARIABLES

marquées par les nombres des classes I et II. Je disque Y. contient toutes ses fonctions limites^ c'est-à-dire que si une suite de fonctions y,, /o, ...,y*v, ... a'pour limite/, et si toutes appartiennent à E. il en est de même de/". En effet, par hypothèse, les fonctions

fi. fi f. ... appartiennent à certaines classes a,, a2. ...,

ay, Nous savons qu'il existe un nombre a des classes I ou II,

supérieur à tous ces nombres; donc f est de classe a ou de classe inférieure; donc /"fait partie de E.

Il est intéressant de se demander s'il existe une propriété qui se conserve à la limite, c'est-à-dire telle que, /» , /o? • • ••: f^ ... la possédant, et ayant une limite /", f la possède également. Je me contente d'énoncer la proposition suivante :

Soit une fonction/" définie sur un ensemble parfait P. S'il existe une fonction s définie sur P, de classe 1 et telle que les points où f est différente de es forment un ensemble de première catégorie dans P. cette propriété se conserve à la limite. On voit qu'elle appartient aux fonctions continues et aux fonctions de classe 1. Elle appartient donc à toutes les fonctions de l'ensemble E (').

(') Pour la démonstration, voir mon mémoire « Sur la représentation des fonctions continues » (pour paraître aux Acta mathematica) .