V. — Cas particuliers

78. Signalons, comme cas particulier, celui des fonctions semicontinues. Il est facile de montrer qu'une fonction semi-continue est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, en étendant la démonstration du n" 48, donnée pour le cas d'un ensemble linéaire continu. On en conclut cju'une telle fonction est limite de fonctions continues.

Nous pouvons donner de ce fait une démonstration indépendante de la théorie générale. Nous allons choisir directement les nombres cp(A) considérés au n" 73. Supposons la fonction considérée semi-continue supérieurement sur l'ensemble parfait P. Nous prendrons alors, dans chaque domaine A, ce (A) égal au maximum de y dans ce domaine. Je dis que la condition

(a) lç(A)-/(Â)|<£

est vérifiée en chaque point A de P, s étant un nombre positif donné. En effet, d'après la définition de la semi-continuité supérieure, on peut trouver une sphère S de centre A telle que, pour tout point A' de P intérieur à S, l'on ait

LES FONCTIONS DE « VAniABLES. 123

Dès que le domaine A contenant A sera contenu dans S, le nombre »(A) sera compris entre /(A) ety'(A)H- s. On aura donc

79. Voici un autre exemple de fonctions limites de fonctions continues. Considérons une fonction continue d'une variable F(x). Supposons que cette fonction ait une dérivée, ou même seulement une dérivée d'un seul côté, à droite par exemple. Ceci veut dire

que le rapport

a une limite déterminée, si h tend vers o par valeurs positives. Soit f{x) cette limite. Je dis que f{x) est une fonction limite de fonctions continues. (Nous n'excluons pas le cas où cette limite serait + ao ou — co.) Prenons une suite de nombres positifs tendant vers o : A,, /io. . . ., /i„ Posons

-, =fn{x).

lin

fn{^) est continue et tend vers f{x) quand n croît indéfiniment.

80. On démontre qu'une fonction continue f, considérée dans un domaine borné, peut être approchée d'autant qu'on veut par un polynôme. Autrement dit, dans un domaine borné donné, il existe, quel que soit le nombre positif s, un polynôme P tel que Ion a

l/-Pi<-

Ceci posé, je dis que toute fonction limite de fonctions continues peut être considérée comme la limite dun polynôme, ou encore comme la somme d'une série de polynômes, le développement étant de plus valable pour Fespace G„ indéfini. En effet, considérons une suite de domaines c,, c^ c„, ... dont chacun est

contenu dans le suivant, et dont toutes les dimensions croissent indéfiniment. Tout point de G« finit par être compris dans un de ces domaines. Prenons une suite de nombres positifs s,. So, ..., E«, ... tendant vers o. Prenons une suite de polynômes P,. P^, . . ., P/, . . . tels que d'une façon générale l'on ait

ia6 CIIAPITRIC V.

en tout point du champ c,. Il est aisé de voir que la suite de polynômes P,, V-2: ••? l\n ••• tend vers f dans tout l'espace G„. Donc, il y a identité entre les séries de fonctions continues et les séries de polynômes.

81. Dans les études qui précèdent, nous avons étudié une catégorie particulière de fonctions discontinues, qui sont les fonctions limites de fonctions continues. Convenons de dire que les fonctions continues forment la classe 0. Nous dirons que les fonctions limites de fonctions continues forment la classe 1.

11 existe des fonctions qui sont limites de fonctions continues de classe 1, sans appartenir à cette classe. Par exemple, considérons, pour le cas d'une variable, une fonction y égale à i en tout point d'abscisse rationnelle, et à o en tout point d'abscisse irrationnelle. Elle n'est pas de classe 1. Mais elle est limite de fonctions de classe 1. Considérons, en eflet, la fonction f^ partout égale à o sauf aux points d'abscisse rationnelle dont l'abscisse a un dénominateur inférieur ou égal à v, points où elle sera égale à i. /^ a évidemment en chaque point pour limite y". Or, la fonction^v n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité; donc elle est limite de fonctions continues. La fonction y peut être considérée comme la limite de fonctions de classe 1 et, par suite, comme la somme d'une série dont chaque terme serait une fonction de classe 1. Donc, enfin, il existe une série double de polynômes Sa^pl^ap(^)? convergente pour chaque valeur de x, et qui a la valeur o quand a; est irrationnel, et la valeur i quand x est rationnel.

Nous conviendrons de dire que les fonctions limites de fonctions de classe 1 , qui ne font pas partie de celte classe, forment la classe 'È. Nous sommes ainsi amenés à la répartition théorique des fonctions en classes. En généralisant la définition précédente, nous aurons les fonctions de classes 3, 4, ...,/?,.. ..

Nous pouvons même, d'une façon générale, définir les fonctions de classe a, a étant un nombre des classes I ou II. Par définition, une fonction/" sera considérée comme appartenant à la classe a, si elle est la limite d'une suite de fonctions y<,yo, ...,fy, ... dont chacune est limite de fonctions d'une classe marquée d'vin nombre inférieur à a, et si y n'appartient pas à l'une de ces classes.

Soit E l'ensemble des fonctions appartenant à toutes les classes