I I 4 LEÇONS

li(jiie il line nappe du plan des zx se dédouble dans le sens de.s^, la partie qiii se développe en avant prend la valeur positive du paramètre (3, l’autre la valeur négative. Enfin pour l'ellipsoïde, dès que la plaque elliptique du plan des XJ SC dédouble dans le sens des z, la partie qui se développe vers le haut prend la valeur positive du paramètre celle ([ui se développe vers le bas la valeur négative.. . .•

§ LX:x:xix. .

llYPF.ltnOI.E OMUILICAI.E. KLLIPSE POC.U.E.

J.e passage des hypcrboloïdes de la première famille à" ceux de la seconde se fait par l’intermédiaire de l’iiyper- ■ bole dont les équations sont

t.c passage des hj’perboloïdes h une nappe aux ellipsoïdes ' se fait par l’inU-rmédiaire de l’ellipse ayant pour équations

Ces deux courbes, dont le» grandeurs et les positions relatives sullisent pour définir le triple .système, méritent d’étre ■ • désignées par des noms spéciaux. L’hyperbole (6) traçant sur chaque ellipsoïde de la troisième famille les quatre points, si importants dans la théorie de cette surface, auxquels on a donné le nom d’ombilics, nous l’appellerons V hyperbole ombilicale. L’ellipse (y) réunissant dans ses proju'cs foyers et ‘dans scs quatre sommets les six foyers constants du système triple, nou.s l’appellerons Yellip.ie focale, nom déjà adopté par plusieurs géomètres.

SlHl LES FONCTIOKS IIV VERSES, ETC. *

§ xc.

APPLICATIONS OLS fXÉMENTS.

L’hypirhole ombilicale <‘st iine des courbes S,; elle a pour équations

, a=-ct, P=o; d’où B = o, B, = o j

et si l’on exprime les D, par les B,, rélcnient (5) de celle courbe est r/S, = c/y; ce qui donne l’intégiale transcendante

pour évaluer les arcs d’hyperbole. L’ellipse focale est une des courbes S; elle a pour équations

p = ra',

:o; d’où Ci = o, C, = 0;

et si l’on exprime les D, par les C, , l’élément (5) de cette courbe est c/S = C* c/a ; ce qui donne l’intégrale transcendante ' , . • ■ ■

C ( a ) rfa,

pour évaluer les arcs d’ellipse.

Dans le système des coordonnées (a , (3, y), l’élément de volume est

c/Sc/S, </S, ou C^D’D; d; rfac/prfy.

S’il s’agit d’ évaluer le volume total d’un ellipsoïde, ou intégrera cet élément dea = oàa = CT, dcj3 = o à|3 = cr', de.y O à y; ce qui donnera la partie du volume cherché comprise dans l’angle trièdre des coordonnées positives, et qu’il faudra conséquemment prendre huit fois. On sait •

d’ailleurs que le volume total est| ttc’ A,B| C, ; on aura

<l(iuc i(lciui(|m*ini'iu