I.F.ÇONS
i»'“suhal véiifié par Poisson, lors Oc l’aj)parition des non- . velles coordonnées.
Oii conçoil (|ui! si l’on a, entre les paramètres du système triple (i), une équation de la forme F (ac,(3, y) = o, le lieu f'éoméiriqnc des points de l’espace dont les, coordonnées (a, [3, '/) vérifieront cette équation sera une certaine surface ; que si l’on a deux équations entre les mômes variables , elles représenteront une ligne courbi’. Dans les deux cas, si l'on veut exprimer le lien géométricpie en (.r, z) , il faudra éliminer les paramètres (x , (3, y) entre Icséqua-^ lions données et les formules de transformation (3). Voici deux exein[)les pour lesquels celte élimination s'opère sans difficulté.
§ -KCl.
C0N01DEv=ra.
Dans notre systèine de coordonnées, a et 7 varient entre les deux mêmes limites — ci et -(-ci,, cl l’on peut sC demander quel est le lieu géométrique des points de l’espace [tour lesquels 7 et a ont la même valeur uuméri([ue, c’està-dire de reconnailre la surface dont l’équation est 7 = a. Pour tons les points de celte surface ou aura, d’après les formulés { 2 ) du ^ ()7,
substiinanl dans les formules (3) , elles deviennent
At;
z = rt.-:
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S{jn f ES K»?SCTIOJ«iS IWVEnSES, ETC.
fl l’oii a siu cessiveniont , à Taide des relalions (2),
^ y-— c’Bj =r f’ (AJ — if-’). A’ = Tj— ^ >
I rijuaiion t*ii (x, y, z) d<; la surface diercbée esl donc (.r- + i') ~ ( A'’ .r- — A- z^).
f)ii peut niellre relie é((ualiou sous les deux formes
La première montre <pie la surface csl ciif'eudrée par le inouveiuent d’une droite (pii reste coiistammcnl parallèle , au plan des zx, en rencontrant toujours l’axe desy ; c’est un conoïde. l-.a seconde forme fait voir que la courbe d’in- tersection des deux cylindres droits
se trouve sur la surface; celte intersection peut être prise pour la directrice du conoïde. La surface est entièrement comprise entre les deux plans parallèles à celui des £X, menés par les foyers constants f et f'. . '
§ XCIL
COUUBE 7 =& = a QUAND X- = 4 ^.
La coordonnée /3 variant entre les limites — Cj' et t/, diflérenies de — ci et + cr , on ne pourrait pas traiter aussi simplement le cas d’une surface dont réijuaiion contiendrait jS. Mais il existe un système triple pour lequel on re-
Il8 LEÇONS
trouve la même simplicité; c’csl celui qui corresj>oii(l au
rapport k = k' = son conjugué se confond avec lui, et
l’on a n/= CI. On j>cut alors se demander quel est le lieu géométrique des points où les trois paramètres ont la même valeur numérique, c’est-à-dire de reconnaître la courbe représentée par les équations (3 = y = a. Cette courbe se trouve déjà sur le conoïde '/=«, dont l’équation en (or, y, z) est actuellement
r' (z’ + X" ) = — fx’ — zM.
Pour trouver une seconde surface qui contienne la même courbe, rappelons les formules (6 his), § 48, en y supprimant les accents et faisant k = // = elles donneront
y/aC
pour tous les points du lieu géométrique cherché, lequel est tel que (3 = « ; substituant ces valeurs dans les équations ( 9 ) , qui ont encore lieu , dans le cas actuel, puisque y = a , elles deviendront
•7^5 ï=cA;
V^.B )/iC
et comme C® — B* = A''®= - ? il s’ensuit
telle est la seconde surface.
SUR LES FOiNCTIONS INVERSES, ETC. Iip
Les é(|iiations en (j’, z) de la courbe cherchée soûl donc.
ce qui donne, |>our exprimer le cylindi'e projeianl la courbe sur le plan des z.r on la projection même, l’équalion
Z dr . r'
•r = zt c — . .. , (i ou — = Zt î
yc-'—2z‘ —
déi ivée qui se réduit à ± 1 jiour z — o. La ligure suivante
représente cette projection; le cercle a pour rayon c; h-s deux tangentes au {>oint multiple et de double inllexion sont orthogonales; les deux asymptotes, parallèles à l’axe des x,
' • ^ ont pour ei{uation z = zh — •
Dans les recherches faites à l’aide du système coordonné défini dans cette leçon, au lieu des paramètres thermométriques (a, P, y), on adopte les paramètres géométriques (v, f/, 0) , § 3 d, ou les piemiers axes des surfaces orihogo- ' iiales conjuguées. Les autres ases^ sont exprimés par des ^ radicaux , (jui font disparaître la symétrie des formules de
