XCIV

GÉNfiRALlTÉ. ANOMALIES.

Pour toute gramleui’ de la ligne c,(pii ne soit pas nulle, pour toute \aleur du rapport , qui ne soit ni zéro, ni ruuité, on a le même ensemble de surfaces isoilicrines ortbogonales, de l'onctions inverses doublement périodicjues, et de coordonnées theianoniélri<jucs. Les nombres ra et vs', qui dépendent de .sont Unis, et toutes les formules précédentes n’offrent aucune indétermination.

Il n’en est plus de même aux limites de A, qui sont zéro et Tunité : alors une des trois familles de surfaces sembltî disparaître; les fonctions inverses sont en nombre moinilre; elles n’ont plus cbacunc qu’une seule période, réelle ou im.iginaire; des deux nombres rj et üs ' on n’en retrouve

plus qu’un, (jui est enlin, les formules de transformation (6) sont indéterminées. Des disparitions et des indéterminations d’une autiv nature ont lieu, quand la lignée est inlininient ptuile ou nulle. Il s'agit d’analyser ces cas extrêmes et de rétablir, pour eux, b^s propriétés du système général, avec les modilications qu’exigent ces cas parli<-uliers. Laissons il’abord la constante c Unie et quelconque.

§ xcv.

INDÉTEUMlNATlüN LORSyi'E A -- o.

Lorscpie la constante h e.st nulle, ou i|ue A = o, le paratiiètre géométrique v, (|ui doit toujours être compris entre o cl Al est nul , ainsi (|ue y A* — y", et Ve*— v' se lakiuil à la cou-

Sun I.Es FONCTI03VS INVEnSES, TTC. ' 12,”)

stantoc; les fondions invorso.s A cl I) soni donc nnllos, fl C est cgal à l’unité; la faiiiillc des hyjieiboloïdes à deux naj)j)es, au pauainèlre a, semble disparaître, et les formules de transibrmalion (6) sont indéterminées. Mais les

fonctions A , R étant nulles avec h , les raj)poris j ? som

des sé/'o .««/• zé/’o dont il faut chereber les valeurs. A eel

edel , laissant A quelconque, ou essayera de substituer au

groupe des fondions (A , I?, (i) une seule fonction inverse,

dont les premières dépendront, et <ju’il faudra choisir de

,, , Al!.,

telle sorte que les rapports j, - soient lonjoms assigna-

blés, lors même que /i serait nul.

§ XCVl.

TIIANSKORMATION DES (A, B, C) EN -ba.

Ilemarquant que A ei 15 vérilient la relation A’-|-I5®=r/,*, que A est une fonction impaire et 15 une fonction paire,

on posera •^ = siii0, y = cosQ, et 0 sera la fonction inter-

ri k

médiaire eberchéc , si l ien ne s'oppose à sa détermination. Par son inlrodiidion , on a, tableau (3),

V = h sin S , ^ — v’ ~ // cos 0 , \l«r — v' — c i — b’ sin’ 0 ,

ce (|tii donne d’abord

el par riiitêgralion

l.EÇONS

V I — sin’ 0

ÎT

VI — X ' sin’0

^ I — /■'’ sin- 0 '

La fonction inverse 6, que nous désignerons par est déterminée par la première intégrale (8) ; les deux autres intégrales , lesquelles sont déjinies, sont des expressions nouvelles des nombres cr et ta'. Les fonctions primitives A, B , C seront données par les formules

(g) — = siD5i.a, - = cos„l,a, C = y^i— ^ sin’ ,La.

L’équation de la première famille de surfaces, et les formules de transformation du tableau (6), pourrontse mettre sous la nouvelle forme

sin*

a \ I — A-*sin*.A^a/

(lO)

COS*eL

X — cA,Ai .sin .iLa, k' y — c B,Bi . cos cV a ,

/■'z= cC, C, . y/ 1 — /•* sin*,l, o,

qui , vu son manque de symétrie, ne saurait être préférée à la première , tant que A n’est pas nul.

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SUB LF.S FO^■CTIO^S INVEnSF-S, ETC.