NEUVIÈME LEÇON
Kêsuni» du système {jénèral. — ladctcrniinntion aux limites du rapport A,-— Transformation des (A, B, C) en <tl>a ; des H,, C,) en lll) ^3. — Systèmes des ellipsoïdes planétaires et ovaires. — Dérormatioiis des(A^., IL, ly . — Système sphérique général.
§ KCIII.
UÉSUMÉ DU SVSTÉ.MK ÜKNÉHAL.
11 ist nécessaire de rapprocher plusieurs tableaux disséminés dans les leçons précédentes, et de résumer en peu de mots notre étude actuelle afin de faciliter ses dernières conséquences. Ayant pris pour exemjile la famille de suVl'aces au paramètre A représentée par l’écpialion
où la constante ù est moindre (|ue c-, on vérifie sur elle la
condition de l’isothermie, in trouvant pour le rapport
O - — : s , la somme
ait‘ \ au j
fonction de
À seid. Celle somme égalée à sert à déterminer la fonc-
tion (fc (lui , substituée dans l’intégrale / —i doit donnei’ le
paramètre ihcrmométrique £. 'l'rois cas se présentent suivant que le paramètre géoniétri([ue À est inférieur .à b, compris entre /> et <% supérieur à c; désignani respeclivcinent , dans ces trois cas, [>ar v, a, c les valeurs de/, par ar, |3, y
celles de e , ou a
LEÇOSS
'h Vu* — — (i*
Ki
< c qui douiie trois familles de surfaces isothermes comprises dans l’équation (i). Tous les axes de ces surfaces sont des paramètres géométriques importants; égalant doue chacun d eux à la constante c multipliée par une fonction inverse spéciale , on a le tableau '
^ .v=;cA(a), Vè’— v’ = cB (a), yc’— 7'=:cC (a) ; (3) < p = cA,(flj, v'p’— è» = cB,(p), p= = cC,(p);
p = cA,(y), Vp’— ^’= cB,( 7), y/pi c!z=cCj{7) ;
et désignant par k le rapport -, les relations
I \]-B\ = k\ a; + C;=i, B:4-CÎ = X";
. Représentant par CT et n' les intégrales définies suivantes;
f'' d-j ^ ,lo
’ ~Jo \/c'—y' ~ V^p’-c'
— ---TT^ ~=cf
Jh vp’— è’Vc’— p’ Jp
Digitüed by’Cwogl
on démontre que les neuf fonctions inverses (3) ont toutes une période réelle qui est : 4 pour (A, B, A,, Bj), 2 cr pour (C, Cj), 4f5'pour(Bi, C,), 2 ci' pour A,-, qu’elles ont toutes aussi une période imaginaire, qui est ; 4o^ ^ — 1 pour (B, C, Bj, C,), 2 vs' \/ — 1 pour (A , A,) , 4 ^ ^ — * pour (A,, B,), 2 crv^ — 1 pour C,. T.es fonctions (A, B,, C*) sont seules impaires : les six autres sont paires.
Les équations des trois familles de surfaces et les formules de transformation que réliininalion en déduit, sont ,
/r k' y = cBB, B,, /■' Z z= cCC, C,.
Ces familles de surfaces sont orthogonales, et leurs paramètres («, (5, y) forment un système de coordonnées; « et y variant de — ci à-|-o, fi de — cj'à-f- ra', dans ce système.
On passe de la première famille à la seconde, de la seconde à la troisième, par l’intermédiaire de deux courbes, dont les équations sont
en (a.
a =: rj ,
La première est l’hyperbole ombilicale (lieu géométrique des ombilics de tous les ellipsoïdes de la troisième famille).
I a4 LEÇOMS
La sccomle courbe est l ellipse locale (ayant pour loyers et pour somiiKUs les six loyers constauls du système).
