ÉNONCÉ DE LA SOLUTION DE JACOBI

Soit maiutenant ]> = ±.1 un nombre entier, impair

et quelconque; désignons par i la fraction on aura A (/>'■) = A(ra) = / ,

et l’on se rappellera que , d’après le § 42,

Cela posé, x étant A (e) , la solution de Jacobi est donnée par l’équation

où le dernier facteur est csscntielletnent

[-xfoT

les signes alternatifs supérieurs ayant lieu si /> est de la forme 4 y + i > et les signes inférieurs si ce nombre est de la forme 4 / — de telle sorte qu’au dernier facteur il y ait toujours le signe — . II s’agit de faire voir <[ue la valeur de y, donnée par cette écpialion (lo), vérifie réellement la relation (2), avec une constante M et un module / convenablement déterminés.

§ ex.

TK.tNSFOKMATIO.N DK f.KT fi.NONCK.

La formule ( 8 ), en y faisant « =£, /3 = 2 ni, et A (e) = x, devient

— a/;)/] p=pA(s —

2 «/)][/- qi A (s -t- 2 /nj J

A* (2 ni )

B’ (2 ni j

et si l’on substitue à chatjue fraction du second membre de l’équation (10) sa valeur transformée à l’aide de la formule (1 1) , on parviendra toujours à mettre cette équation (lo) sous la forme importante

* 7“ B’Ce-')*

Deux exemples ne laisseront aucun doute sur la généralité de cette transformation. Soit p = 5 = 4 -H~ï> l’équation posée (10) est

et, par un double usage de (i 1), le second membre devient [*- A («)] (A A (s -5 1 )H* A (s 1 < )l [* — A (e - 4 <)1 iA - A (e -t- '| i )1

Or, en ajoulanl à s, 10/ ou 2 u dans le second cl le Iroisième facteur du nnniéraleur, 20/ ou4cr dans le quatrième, et ayant égard aux relations (g), on peut, en ordonnant les facteurs, mettre la valeur précédente sous la forme

[4 - iV (s)] L* - A (sH- 4 0 1 [A —A (t-+- S 01 [4 A (j -t- 1 a i)H 4 — A (t -4- 1 G 01 4K‘(ai).B'(4i)

Soit jt = j = 4.2 — 1; le second membre de l'équation (10) sera

L' Mÿ] [''*'A(3f)J [' .'(,)]■

par un triple usage de la formule (ti), cette expression prend la forme d’une seule fra»'lion, ayant pour dénominateur