CVII

T H f: 0 R iî M E P R f: r . I M I N A 1 R E .

Théorème. — Si l’on a obtenu trois polynômes U, V, T, ne contenant (pie des iniissances entières et positives de x ,

SIR l.ES roIVCTIOXS IRVERSES, ETC. 1 3g

cl qui vcrlfienl l’cnjuation

(3) (/’V>— IP)(V” — U>)z=(P— ,r’)(i — x’j'P,

le troisième polynôme T sera iicccssaircment égal à pression

ex-

dédullc des deux autres, multipliée par un facteur cons tant.

Démonstration. ■ — ■ On peut admettre que U et \ sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils ne sont plus divisibles par un même polynôme en x. Conséquemment les quatre polynômes

(4) (/v-t-u), (/v-u), (v-Hir), (v-u),

diviseurs du premier membre (3), sont aussi premiers entre eux. De là résulte que cliaijuc facteur simple de T (de la forme ax -t- b), tpii est double dans T*, sera aussi double dans celui des polynômes (4) cpi’il divisera. Soient p, et// égal ou inférieur à p, les degrés de U et \ ; 4 P sera le degré du premier membre (3), cl ip — a celui de T ; T aura donc a /> — a facteurs, lesquels seront doubles dans les polynômes (4).

D’un autre côté, ces derniers pt)lynômes donnent, par la dilTérenlialion ,

(/VdiU)

dx

dx

f/(/V±:lI)

dx

ax dx

identités d’où résulte cpie tout facteur double dans l’un de ces polynômes, lequel divise sa dérivée, divisera nécessairement l’expression

I^U LKÇ0^S

(juc nous désignerons par AV. Ainsi AV sera divisible par tous les facteurs de T, et son degré q devra être au moins ip — 2. Mais les degrés de IJ etV'étant /), et// égal ou inférieurà p ; i“si p' = p, les termes dont l’exposant est ip — i seront égaux dans les deux parties de la dill’érence AV^, et se détruiront, d’où q ■= ip — 2; 2” si p'=zp — i, il ji’y aura pas de disparition analogue, et q sera p -h p — 2, ou encore 2p — 2; 3 “ si p' était inoindi-e cjuc p — i, q = p p ' — I serait moindre que 'ip — u, ce qui ne saurait être. Donc // sera égal , ou à /;, ou à /; — 1, et dans les deux cas le degré de AV sera ip — 2. Donc enfin l’expression AV et le polynôme T, qui ont le même degré et les mêmes diviseurs, ne peuvent dillérer c(uc par un facteur constant.

Corollaire. — J’uiscjue l’on doit avoir identiquement

rlj-

si l’on substitue cette valeur dans l’équation ( 3 ), on en déduit facilement

sans que V le soit, on aura une solution du problème de la transformation. Puis, pour déterminer la constante M , ou fera X = O dans l’identité c|ui donne T, d’où

Sl'K LES FONCTIONS INVERSES, ETC.

§ CVllI.

r.ONSfcQUEXCK D’LNE DES FOEMUEES D EULEU.

Avant (l'aborder la solution géiu’ralc donnée par Jacobi, il y a encore une proposition à démontrer. Continuant de désigner par A (s) la fonction inverse dont le module est A , la première des formules d’Eulcr, au § 41, en posant

devient (5) A

Ou eu déduit successivement

[A A(<t)] [A^ a (5)] = A=:^ A [A ((t) 4- A i5)] -t- A (ct) A(()') 2 A (g) B (P) C (P) , A^(g)B’(p)C’(p)-A»(p)B^(g)C=(«)1

LA’-A>(a)A^(p)p

Or, en exprimant le numérateur de la dernière fraction en A seulement, à l’aide des relations

on reconnaît tout de suite, comme au § 70, que ce numérateur est le produit de [A* (a) — A* ((3)] par le dénominateur de la fraction ( 5 ) , ce <pii donne , après réduction ,

[AzFA(^)KA=pA{^)]

A' -A» (g) AMP)

^ ,, BMp)4-AM«)CMP) + ^B(P)A(g)C(p)

/■=— AM«) AMP)

[B(p)q=A(g)C( p)r - . A’— AM*)AMP) '

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Fin s’aidant <>ni-ore des lelnliotis (6'), et rappelant la première fornmle (i3) du § (jui est

on aura définitivement