DÉDUCTION DE

* ' JT I

Avec relie valeur de /, ou peut changer à-la fois - en -7 et

■ïen-5 non-seulemeul dans l’équation (i5)i mais aussi dans

l’é([uation (17), qui peut être considérée comme étant une conséquence de la première. Par ce double changement, l’équation (17) devient, en multipliant de part et d’autre

par V — t •

.t‘ A' ( P — 2 / 1)1 A’ ( 2 /If)

sJ I —

X n A’(h/if).nA’(// — 2 /i)f

A’ (2 ni)

puis, multipliant par l’équation (i 5 ), membre à membre, on aura simplement

jz — .r. z; V /

SL'IS ttS ^■0^CT10«S Ift VERSES, RTC. 1 4<J

• ar, d après la valeur (i6) de ni el la valeur (i8) de /, on a

ni II A'-‘ ( 2 «/ ) . II A’ []> — 2 « ) / /

«j C’.XVl.

VÉHIFICATION DK LA SOLUTION.

.\iiisi, le grouj)e eoiii[)lei des é<|ualiuiis (i 5 ), (17), (1,0)5 avec les valeurs (it>) de ni, (18) de /, est une consé<jueiiee nécessaire, soit de l'étjuation |)Oséo(u»), soit de ré<juation d<’*duile (l 5 ). Or, si l'on pose

A.rn ( I

les trois équations de ce groupe sont, plus siniplement ,

menant dans les deux dernières la valeur de j, donnée par la première, multipliant ces deux équ.itious l’une par l'autre, élevant au carré, et chassant les dénominateurs, on aura

(22) (/O'--U 0 (V'-U-) = (X'-a-)(i-a;=)(QQ')’. '

l5o I.EÇOWS

C’est-à-dire ([ue les polynômes IJ, V, T= QQ', (ao), vérifient l’équation (- 3 ) dn théorème primitif; et comme, pour X = O , on a ’

fit mk' ^ h

il résulte du corollaire qui suit ce théorème qu’en prenant la constante M de l’équation (2) égale à

la valeur (i 5 ) dej^, avec le module l (18), donne une solution du problème de la transformation des transcendantes et des fonctions elliptiques. '

Cette solution, mémorable dans l’histoire des mathéma- . tiques , est d’une généralité plus grande encore qu’elle ne parait au premier abord : car les facteurs des constantes m et / sont des fonctions algébriques assignables du nombre A (j )■, qui , pour un même entier /t, a, comme nous le verrons, plusieurs valeurs égalemeiit admissibles. Si l’on adopte pour i, ainsi que nous l’avons supposé, la fraction

-» CT étant le même nombre (lue dans les leçons précé-

dentes , il en résulte que le nouveau module / est moindre que l’ancien A', car la valeur (18) peut se mettre sous la forme

le nombre des facteurs du produit H étant ^ — Î-; or A est

nroindre que l’unité, tandis que les A (/> — an)/, tous réels, ne sauraient surpasser le module A. Pour d’autres valeurs du nombre A (/), le contraire a lieu, c’est-à-dire

SUR LES FOMCTIÜ^S INVERSES, ETC. l5i

f|ue le nouveau module peul surpasser l’ancien ; ce qui donne deux genres de transformation des traiiseendantes et des fonctions elliptiques, en quelque sorte op^Hjsés, et dont l’étude. comparative fera l’objet de la procliaiiie leçon.