PROBLÈME GÉNÉRAL

Pour y parvenir, il suffit d'étudier un des problèmes généraux les plus simples de la théorie analytique de la chaleur, celui qui concerne l’équilibre des tempér^ures d’un corps solide homogène, soumis à des sources calorifiques constantes. La solution de ce problème pour le prisme 'rectangle conduit aux séries de Fourier. La solution pour la sphère introduit les séries de Laplaçe. Enfin c’est en résolvant le même problème pour l’ellipsoïde à trois axes ■inégaux, qu’on arrive aux séries correspondantes des fonctions elliptiques.

II s’agit, dans les. trois cas, d’intégrer, sous certaines conditions, l’équation aux difl’érences partielles A*V = o, du § 1 , exprimée en coordonnées rectilignes pour le prisme rectangle, en coordonnées sphériques pour la sphère, en coordonnées elliptiques pour l’ellipsoïde, Les deux dernières expressions se déduiraient de la première à l’aide des formules de transformation (ay), § 105, et (d)^ § 81>

Mais on peut établir successivement ces trois équations, en, partant dire< temeilt pour chacune du système de coordon- ' nées qu’elle emploie; méthode que nous préférons, et que ^ nous allons suivre. Facilement applicable à tout autre système de coordonnées curvilignes, celte méthode directe a l’inappréciable avantage d’éviter tout passage par l’antique système des cordonnées rectilignes: instrument- désormais impuissant et stérile , dont l’emploi abusif sera plutôt un • obstacle qu’un secours pour les progrès futurs des diverses 'branches de la physique mathématique.

, sim LES FOflCTlOWS INTERSËS, ETC. 1 97

. Il esl nécessaire de rappeler d’abord deux propositions' élémentaires de la théorie analytique de la chalenr, qui définissent et évaluent les conductibilités cl les flpx de chaleur. • .