PRISME RECTANGLE. SECOND CAS

Exemple II. — Une poulrc reclaiigulaire, de inèine iialure et de mêmes dimensions que celle de l’exemple précédent, a aussi scs deux faces, = — b ety= -+- 5, entretenues, la première à la température constante zéro, la seconde à des températures diveises F (a); mais scs deux autres faces, x— — a etx=-|-a, sont tellement disposées, que les Ilux de chaleur sont nuis sur tous leurs éléments. (C’est ce qui aura lieu, par exemple, si cette poutre' fait partie d’un plancher indéfini, formé de poutres égales et juxtaposées , qui soient, en outre, soumises aux mêmes sources de chaleur par leurs faces libres.)

Il s’agit de déterminer une fonction V de (-f, y) : qui

vérifie l’équation (i); 2 “ dont la dérivée ^ s’annule, quel

que soit >•, pour x=±a-, 3° qui s’annule elle-même, quel que soit X, pour y = — 4” enfin qui se ‘réduise

à F (a:) pour y = b. Suivant strictement la même marche que dans l’exemple précédent, le facteur Y, du terme simple U = XY, restera le même; mais X, devant maintcnantétre tel que sa dérivée première soit zéro pour a;=zta,

sera nécessairement eos/tt — , ou sin-

2 y I . ir .T

La fonc-

tion V, toujours composée de deux sériés' partielles, sera de la forme . “ .

r = y M 7. cos ITT-'

Digitjzea üy Gpogle

Sün I.ES FONCTIONS INVERSES, ETC. 221

l,a (|uatriènie condition à remplir exigera (jue l’on ail

(i8) ^ M eus ITT i 2 N sin f = F ( x) ,

ou plus sim[)lemeul

X et X' facteurs variables de deux termes , correspondants à •des valeurs dillércnles m et /«', vérifieront encore les deux é(|uations (fi) et (7) ;'la même combinaison donnera encore l’etpiatiou (8), que l’on multipliera pariir pour l’intégrer outre — a et -f-n; alors rintégralc"iiidéfinie du second membre, qui sera toujoui's

s’évanouira encore aux deux limites , mais ici ce sera par

■ -7- et -7— On aura donc encore le théorème (o).

' dx • <hc ■ I

Poursuivant, on conclura que les valeurs générales des

coefiieients ÎM et IN sont

i r /*”*"'* ' /TT

M, — — I F ( r 1 cos —T X . flx,

i?lj = - f^“¥ (xj sin y .. tJ l Z .c.dx,

I “J- a 2rt . ■ ,

avec cette seule dilTérencequela première série partielle (17) comprend actuellement un terme correspondant à 1 = o, qui est

et dont le coefficient a la valeur

M. = -- / ..F(.r)rf.r,

22a LEÇONS

que l’on oblienl en mulliplianl l’équalion (i8) par r/jc et intégrant entre — a et + a, ce qui fait disparaître évidemment tous les autres termes du prcTuier membre.

Les valeurs (21) et (20) étant portées dan^les deux séries partielles, la série totale (17) sera définitivement la nouvelle fonction V cherchée. En substituant à F (x) ,^sous les intégrales (21) et {20) , la somme P (x) -t- I (x) de *ses deux parties paire et impaire, on a séparément

Par ces valeurs, la première série partielle de V {17) emploie le développement de la partie paire de F (x) , la seconde celui de la partie impaire. • '