SECONDS DÉVELOPPEMENTS

De cette nouvelle solution résulte cet autre corollaire, qu’une fonction paire P (x) peut être développée par la formule

P(^) = — P(“)da . , '

-I > cos — X I rialcos — a., (la.

et une fonction impaire I (x) par celle-ci

(M) 7 W = ^ ^ ‘ W si" —

bytjooglt

SUR LES FONC.TIOMS IjNNERSliS, ETC. aaii

('es Jeux Jéveloppetncnls sout conjugués ; ni l’uii ni l’aulre ne s’évanouit aux limites x = ± u, tandis que leurs dérivées en x s’annulent ensemble aux mêmes limites. Kt de cette concordance même résulte leur association dans le développement général. . . (a5)

F(a)cosî^a,/a

I • V’ • 2 / ' + > . îf i' ^ 1 • 2 ; -4- I . TT

IH y Sin — X / Fia)sir> a.rfa,

I 2<i ' ' 2rt

(jui seul permet à la fonction V {in) de vérilier la dernière condition , en même temps que les premières.

Une fonction quelcoïKjue F {x) estaussi exprimée par une série de sinus et de cosinus, en prenant le développement de la partie paire dans le groupe (i4) i (• 5 ) , et celui de la partie impaire dans le groupe (23), ( 24 ), ou inversement; ce qui donne, par des réduetions faciles, les formules suivantes ;

H Ç ¥('x)cos — (.r — a) f/a,

ûC ^

— iV C F (a) cos (fc— a)f/a.

fï ,/ — a- .

Mais ces développements hybrides et composés, qui ont pu être 1 occasion de recherches intéressantes an point de vue

purement analytique , ne sauraient cire d’aucune utilité en physique mathématique ; car, dans chacun d’eux, la partie paire répond à une question, la partie impaire à une autre toute différente, et en quelque sorte opposée à la première. Sur ce terrain des mathématiques appliquées, il faut s eu , tenir aux développements (16) et (aS) , moins simples en apparence, mais dont l’homogénéité appartient au fond , non à la forme.